11.3.2兩數(shù)和（差）的平方（華東師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)）教學(xué)課件幻燈片分頁(yè)內(nèi)容第1頁(yè)：封面主標(biāo)題：用加粗宋體呈現(xiàn)“11.3.2兩數(shù)和（差）的平方”，字體顏色為深藍(lán)色，下方用小字標(biāo)注“——特殊多項(xiàng)式乘法的再探究（完全平方公式）”，明確本節(jié)課核心是完全平方公式的學(xué)習(xí)。副標(biāo)題：華東師大版

八年級(jí)上冊(cè)

數(shù)學(xué)署名：授課教師：XXX授課日期：XXX背景：淺灰色漸變背景，左側(cè)繪制幾何圖形（邊長(zhǎng)為a+b的正方形，分割為a2、ab、ab、b2

四個(gè)部分，標(biāo)注“(a+b)2=a2+2ab+b2”），右側(cè)點(diǎn)綴運(yùn)算示例（如(x+2)2、(3m-n)2），下方添加“生活中的應(yīng)用：正方形場(chǎng)地?cái)U(kuò)建（邊長(zhǎng)增加b，求擴(kuò)建后面積）、禮盒包裝（邊長(zhǎng)為a-b的正方形禮盒，求表面積）”小圖標(biāo)，體現(xiàn)公式的實(shí)際意義，營(yíng)造嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)氛圍。第2頁(yè)：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解兩數(shù)和（差）的平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握公式結(jié)構(gòu)（(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2）；能準(zhǔn)確識(shí)別公式中的“a”和“b”，熟練運(yùn)用公式進(jìn)行整式乘法運(yùn)算，包括基礎(chǔ)運(yùn)算與公式變形；能運(yùn)用完全平方公式解決實(shí)際問(wèn)題（如面積計(jì)算、數(shù)量關(guān)系分析），體會(huì)公式簡(jiǎn)化運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)。過(guò)程與方法：通過(guò)“幾何面積建?！鷶?shù)運(yùn)算驗(yàn)證→公式歸納→變形應(yīng)用”的過(guò)程，培養(yǎng)邏輯推理與抽象概括能力，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”思想；借助對(duì)比練習(xí)（普通多項(xiàng)式乘法與公式運(yùn)算對(duì)比），提升對(duì)公式特征的敏感度，學(xué)會(huì)靈活選擇運(yùn)算方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)潔性與嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)對(duì)特殊運(yùn)算規(guī)律的探索興趣；在公式應(yīng)用與問(wèn)題解決中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的自信心，培養(yǎng)細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。第3頁(yè)：情境導(dǎo)入——從“正方形擴(kuò)建”到“公式猜想”標(biāo)題：“思考：擴(kuò)建后的正方形場(chǎng)地面積如何計(jì)算？”情境呈現(xiàn)：展示幾何模型1（兩數(shù)和的平方）：一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形場(chǎng)地，現(xiàn)向兩邊各擴(kuò)建b，形成邊長(zhǎng)為(a+b)的大正方形。提問(wèn)1：“用兩種方法表示大正方形的面積：①整體計(jì)算；②分割為小圖形求和。”（引導(dǎo)學(xué)生得出：①整體面積=(a+b)2；②分割面積=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2）展示幾何模型2（兩數(shù)差的平方）：一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形場(chǎng)地，現(xiàn)從兩邊各縮減b（a>b），形成邊長(zhǎng)為(a-b)的小正方形。提問(wèn)2：“同理，用兩種方法表示小正方形的面積，你能得出什么等式？”（引導(dǎo)學(xué)生猜想：(a-b)2=a2-2ab+b2）過(guò)渡引導(dǎo)：“通過(guò)正方形面積的計(jì)算，我們初步猜想了兩數(shù)和（差）的平方公式。接下來(lái)，我們將從代數(shù)運(yùn)算的角度驗(yàn)證公式，并學(xué)習(xí)如何靈活運(yùn)用它們?！痹O(shè)計(jì)：兩個(gè)正方形模型用不同顏色標(biāo)注分割部分，清晰標(biāo)注各部分邊長(zhǎng)與面積，直觀呈現(xiàn)“整體面積=部分面積和”，為公式推導(dǎo)鋪墊。第4頁(yè)：新知探究1——完全平方公式的推導(dǎo)（數(shù)形結(jié)合）標(biāo)題：“公式推導(dǎo)：兩數(shù)和（差）的平方的本質(zhì)”一、兩數(shù)和的平方公式推導(dǎo)：代數(shù)驗(yàn)證（基于多項(xiàng)式乘法法則）：計(jì)算(a+b)2：因(a+b)2=(a+b)(a+b)，按多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)：(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b2（兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍）。幾何驗(yàn)證（回顧情境模型）：邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，分割為1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、2個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形、1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，面積和為a2+2ab+b2，與代數(shù)結(jié)果一致，驗(yàn)證公式合理性。二、兩數(shù)差的平方公式推導(dǎo)：代數(shù)驗(yàn)證（兩種方法）：方法1（多項(xiàng)式乘法）：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2；方法2（公式變形）：將(a-b)看作[a+(-b)]，套用兩數(shù)和的平方公式：(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2×a×(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2；結(jié)論：(a-b)2=a2-2ab+b2（兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩數(shù)積的2倍）。幾何驗(yàn)證（情境模型）：邊長(zhǎng)為(a-b)的正方形，可看作邊長(zhǎng)為a的正方形減去2個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形，再加上1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（避免重復(fù)減去），面積為a2-2ab+b2，與代數(shù)結(jié)果一致。公式特征總結(jié)（表格對(duì)比）：公式類(lèi)型左邊結(jié)構(gòu)右邊結(jié)構(gòu)（核心：平方和

±2倍積）關(guān)鍵詞兩數(shù)和的平方(a+b)2a2+2ab+b2平方和+2倍積兩數(shù)差的平方(a-b)2a2-2ab+b2平方和-2倍積小練習(xí)：“根據(jù)公式填空：①(x+3)2=；②(2m-n)2=；③(a+1/2b)2=______”（答案：①x2+6x+9；②4m2-4mn+n2；③a2+ab+1/4b2），強(qiáng)化公式結(jié)構(gòu)記憶。第5頁(yè)：新知探究2——公式的靈活應(yīng)用（基礎(chǔ)與變形）標(biāo)題：“公式應(yīng)用：從基礎(chǔ)運(yùn)算到復(fù)雜變形”一、基礎(chǔ)應(yīng)用（直接套用公式，準(zhǔn)確識(shí)別a、b）：示例1（a、b為單項(xiàng)式）：計(jì)算(3x+2y)2解析：a=3x，b=2y，代入和的平方公式：(3x+2y)2=(3x)2+2×3x×2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2。示例2（b為常數(shù)）：計(jì)算(x-5)2解析：a=x，b=5，代入差的平方公式：(x-5)2=x2-2×x×5+52=x2-10x+25。二、公式變形應(yīng)用（a、b為多項(xiàng)式或特殊形式）：a為多項(xiàng)式，b為單項(xiàng)式：示例：計(jì)算[(x+y)+2]2=(x+y)2+2×(x+y)×2+22=x2+2xy+y2+4x+4y+4（將(x+y)看作整體a，2看作b）。符號(hào)變形（含負(fù)號(hào)）：示例：計(jì)算(-2a-3b)2=[(-2a)+(-3b)]2=(-2a)2+2×(-2a)×(-3b)+(-3b)2=4a2+12ab+9b2（或看作(2a+3b)2，因平方結(jié)果非負(fù)）。系數(shù)變形（含分?jǐn)?shù)、小數(shù)）：示例：計(jì)算(0.5m-0.1n)2=(0.5m)2-2×0.5m×0.1n+(0.1n)2=0.25m2-0.1mn+0.01n2。三、易錯(cuò)點(diǎn)預(yù)警：常見(jiàn)錯(cuò)誤1：漏寫(xiě)“2倍積”項(xiàng)，如(x+2)2

錯(cuò)算為x2+4（遺漏4x）；常見(jiàn)錯(cuò)誤2：符號(hào)錯(cuò)誤，如(a-b)2

錯(cuò)算為a2-b2（應(yīng)為a2-2ab+b2）；常見(jiàn)錯(cuò)誤3：系數(shù)平方錯(cuò)誤，如(2x)2

錯(cuò)算為2x2（應(yīng)為4x2）。第6頁(yè)：例題講解——綜合運(yùn)算與實(shí)際應(yīng)用標(biāo)題：“例題解析：公式的綜合運(yùn)用與實(shí)際價(jià)值”例題1（公式與整式加減結(jié)合）：計(jì)算(2x+3)2-(2x-3)2解題步驟：分別用完全平方公式展開(kāi)：(2x+3)2=4x2+12x+9；(2x-3)2=4x2-12x+9；去括號(hào)并合并同類(lèi)項(xiàng)：(4x2+12x+9)-(4x2-12x+9)=4x2+12x+9-4x2+12x-9=24x；答：結(jié)果為24x。點(diǎn)撥：“此類(lèi)題目需先分別展開(kāi)兩個(gè)完全平方，再注意去括號(hào)時(shí)的符號(hào)變化，避免漏項(xiàng)。”例題2（實(shí)際應(yīng)用：面積計(jì)算）：題目：一個(gè)正方形花園的邊長(zhǎng)為(x+2)米，現(xiàn)計(jì)劃在花園外圍修一條寬1米的小路，求小路的面積（用含x的代數(shù)式表示）。解題步驟：確定大正方形（花園+小路）的邊長(zhǎng)：(x+2)+2×1=x+4（小路寬1米，兩邊各加1米）；計(jì)算大正方形面積：(x+4)2=x2+8x+16；計(jì)算花園面積：(x+2)2=x2+4x+4；小路面積=大正方形面積-花園面積：(x2+8x+16)-(x2+4x+4)=4x+12；答：小路的面積為(4x+12)平方米。強(qiáng)調(diào)：“實(shí)際問(wèn)題中，需先明確圖形邊長(zhǎng)的變化關(guān)系，再用完全平方公式計(jì)算面積，最后通過(guò)面積差求解目標(biāo)量?！钡?頁(yè)：易錯(cuò)點(diǎn)辨析——避開(kāi)公式應(yīng)用的誤區(qū)標(biāo)題：“避坑指南：完全平方公式的常見(jiàn)錯(cuò)誤與糾正”易錯(cuò)點(diǎn)分類(lèi)解析（錯(cuò)誤示例+正確解析+糾正策略）：漏寫(xiě)“2倍積”項(xiàng)（最高頻錯(cuò)誤）：錯(cuò)誤示例：(m+3)2=m2+9（遺漏2×m×3=6m）；正確解析：(m+3)2=m2+6m+9；糾正策略：“牢記公式右邊‘平方和

±2倍積’的結(jié)構(gòu)，展開(kāi)時(shí)先寫(xiě)‘a(chǎn)2+b2’，再補(bǔ)‘±2ab’，避免漏項(xiàng)?！被煜巴耆椒焦健迸c“平方差公式”：錯(cuò)誤示例：(a-b)2=a2-b2（誤用作平方差公式）；正確解析：(a-b)2=a2-2ab+b2；糾正策略：“對(duì)比兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征——平方差公式右邊是‘平方差’（無(wú)中間項(xiàng)），完全平方公式右邊是‘平方和

±2倍積’（有中間項(xiàng)），根據(jù)是否有中間項(xiàng)判斷公式類(lèi)型?！毕禂?shù)或符號(hào)平方錯(cuò)誤：錯(cuò)誤示例：(-2x+y)2=-4x2+4xy+y2（(-2x)2

錯(cuò)算為-4x2）；正確解析：(-2x+y)2=(2x-y)2=4x2-4xy+y2（或直接展開(kāi)：(-2x)2+2×(-2x)×y+y2=4x2-4xy+y2）；糾正策略：“平方運(yùn)算時(shí)，先確定符號(hào)（任何數(shù)的平方均為非負(fù)），再計(jì)算系數(shù)的平方，單獨(dú)書(shū)寫(xiě)系數(shù)平方步驟，避免符號(hào)與系數(shù)混淆?！盿、b識(shí)別錯(cuò)誤（含多項(xiàng)式時(shí)）：錯(cuò)誤示例：(x+y+1)2=x2+y2+1+2xy（誤將“x+y”拆分為a，1為b，卻漏寫(xiě)2×(x+y)×1）；正確解析：(x+y+1)2=[(x+y)+1]2=(x+y)2+2×(x+y)×1+12=x2+2xy+y2+2x+2y+1；糾正策略：“當(dāng)a或b為多項(xiàng)式時(shí)，用括號(hào)將其視為‘整體’，明確標(biāo)注‘整體a=？’‘b=？’，再套用公式，避免拆分錯(cuò)誤。”第8頁(yè)：課堂練習(xí)——分層鞏固（基礎(chǔ)到拓展）標(biāo)題：“分層練習(xí)：夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力”基礎(chǔ)題（直接套用公式）：計(jì)算：①(2a+3b)2；②(x-1/3)2；③(-m+n)2（答案：①4a2+12ab+9b2；②x2-2/3x+1/9；③m2-2mn+n2）。提升題（公式變形與綜合運(yùn)算）：計(jì)算：①(3x-2y)2-(3x+2y)(3x-2y)；②(a+b+c)2（提示：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2）；答案：①(9x2-12xy+4y2)-(9x2-4y2)=-12xy+8y2；②a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。拓展題（實(shí)際應(yīng)用）：題目：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多3，設(shè)寬為x，求長(zhǎng)方形面積與邊長(zhǎng)為x的正方形面積的差（用完全平方公式表示）。解題步驟：①長(zhǎng)方形長(zhǎng)=x+3，面積=x(x+3)=x2+3x；②正方形面積=x2；③面積差=(x2+3x)-x2=3x；或用(x+3)x-x2=x2+3x-x2=3x；答案：3x。設(shè)計(jì)：題目旁標(biāo)注“解題關(guān)鍵”（如“識(shí)別a、b為整體”“注意符號(hào)平方”），拓展題給出思路提示，答案用折疊框隱藏，便于課堂互動(dòng)核對(duì)。第9頁(yè)：課堂總結(jié)（構(gòu)建特殊整式乘法體系）標(biāo)題：“知識(shí)梳理：特殊多項(xiàng)式乘法的完整框架”思維導(dǎo)圖總結(jié)（中心主題“特殊多項(xiàng)式乘法”）：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2特征：兩數(shù)和

×

兩數(shù)差，右邊為平方差（無(wú)中間項(xiàng)）；應(yīng)用場(chǎng)景：含“和”與“差”的乘積運(yùn)算。完全平方公式：和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2；差的平方：(a-b)2=a2-2ab+b2；特征：兩數(shù)和（差）的平方，右邊為平方和

±2【2025-2026學(xué)年】華東師大版

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

11.3.2兩數(shù)和（差）的平方第11章

整式的乘除aiTujmiaNg1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋并能夠靈活應(yīng)用.2.理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用完全平方公式.溫故知新1.問(wèn)：平方差公式是怎樣的？(a+b)(a?b)=a2?b22.利用平方差公式計(jì)算：（1）(2x+7b)(2x–7b)；（2）(－m+3n)(m+3n).

3.你能快速的計(jì)算201×199嗎？4x2－49b29n2－m2

新課學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)1

兩數(shù)和的平方

(2)由(1)我們得到兩數(shù)和的平方公式：_________________________，即兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上它們的積的2倍.

(3)請(qǐng)你根據(jù)下圖解釋兩數(shù)和的平方公式.

練1

［華師8上P38例4］計(jì)算：

知識(shí)點(diǎn)2

兩數(shù)差的平方例2

請(qǐng)類(lèi)比例1推導(dǎo)兩數(shù)差的平方公式.方法一：____________________________________________________________.方法二：________________________________________________________________.

練2

［華師8上P40例5］計(jì)算：

知識(shí)點(diǎn)3

兩數(shù)和的平方與兩數(shù)差的平方的關(guān)系

深挖拓展

仿照以上方法，解答下列問(wèn)題：

課堂小測(cè)1.下列計(jì)算正確的是(

)C

2.計(jì)算：

4.計(jì)算：

知識(shí)點(diǎn)1

兩數(shù)和（差）的平方的幾何意義1.如圖所示的圖形可以驗(yàn)證下列哪個(gè)乘法公式？(

)C

返回2.［2025鶴壁期中］如圖，將圖①中的正方形沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小正方形，然后拼成圖②所示的大正方形.（1）圖①中陰影部分的面積可表示為_(kāi)_________，圖②中陰影部分的面積可表示為_(kāi)_____________；

（2）根據(jù)（1）中得到的結(jié)果，我們可以驗(yàn)證一個(gè)等式：_________________________.

返回知識(shí)點(diǎn)2

兩數(shù)和（差）的平方公式

D

返