2025年全國成人高等學校招生考試（數(shù)學（理）-高起點）經(jīng)典試題及答案一一、選擇題（本大題共17小題，每小題5分，共85分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：B解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合。集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，共同的元素是\(2\)和\(3\)，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((-\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)答案：D解析：要使根式有意義，則根號下的數(shù)必須大于等于\(0\)，即\(x-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,-1)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((4,1)\)B.\((4,-3)\)C.\((2,1)\)D.\((2,-3)\)答案：A解析：根據(jù)向量加法的坐標運算規(guī)則，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,-1)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1+3,2+(-1))=(4,1)\)。4.不等式\(\vertx-2\vert\lt3\)的解集是（）A.\((-1,5)\)B.\((-5,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(5,+\infty)\)D.\((-\infty,-5)\cup(1,+\infty)\)答案：A解析：由\(\vertx-2\vert\lt3\)可得\(-3\ltx-2\lt3\)，不等式同時加\(2\)，得到\(-3+2\ltx-2+2\lt3+2\)，即\(-1\ltx\lt5\)，所以不等式\(\vertx-2\vert\lt3\)的解集是\((-1,5)\)。5.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(a_2\)等于（）A.4B.5C.8D.10答案：A解析：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，特別地，若\(m+q=2n\)，則\(a_m+a_q=2a_n\)。因為\(1+3=2\times2\)，所以\(a_1+a_3=2a_2\)，已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(2a_2=2+6=8\)，解得\(a_2=4\)。6.函數(shù)\(y=\sin2x\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：對于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\neq0,\omega\gt0\)），其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。在函數(shù)\(y=\sin2x\)中，\(\omega=2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。7.已知\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.6B.8C.9D.12答案：B解析：根據(jù)對數(shù)的定義，若\(\log_aN=b\)（\(a\gt0,a\neq1,N\gt0\)），則\(N=a^b\)。已知\(\log_2x=3\)，所以\(x=2^3=8\)。8.過點\((1,2)\)且與直線\(2x+y-3=0\)平行的直線方程是（）A.\(2x+y-4=0\)B.\(2x-y=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x-2y+3=0\)答案：A解析：若兩條直線平行，則它們的斜率相等。直線\(2x+y-3=0\)可化為\(y=-2x+3\)，其斜率為\(-2\)。設(shè)所求直線方程為\(y=-2x+b\)，因為直線過點\((1,2)\)，將點代入方程可得\(2=-2\times1+b\)，解得\(b=4\)，所以所求直線方程為\(y=-2x+4\)，即\(2x+y-4=0\)。9.已知拋物線\(y^2=8x\)的焦點為\(F\)，準線為\(l\)，點\(P\)在拋物線上，且\(PA\perpl\)，\(A\)為垂足。若直線\(AF\)的斜率為\(-\sqrt{3}\)，則\(\vertPF\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.\(\frac{16}{3}\)答案：B解析：對于拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)，其焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)，準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)。在拋物線\(y^2=8x\)中，\(2p=8\)，\(p=4\)，焦點\(F(2,0)\)，準線\(l:x=-2\)。設(shè)\(A(-2,m)\)，因為直線\(AF\)的斜率為\(-\sqrt{3}\)，根據(jù)斜率公式\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，可得\(\frac{m-0}{-2-2}=-\sqrt{3}\)，解得\(m=4\sqrt{3}\)。因為點\(P\)在拋物線上且\(PA\perpl\)，所以點\(P\)的縱坐標為\(4\sqrt{3}\)，代入拋物線方程\(y^2=8x\)，可得\((4\sqrt{3})^2=8x\)，解得\(x=6\)。根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以\(\vertPF\vert=\vertPA\vert=6-(-2)=8\)。10.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-3)\)和\((3,+\infty)\)D.\((-3,3)\)答案：B解析：對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)求導，根據(jù)求導公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，可得\(f^\prime(x)=3x^2-3\)。令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x^2-3\lt0\)，化簡得\(x^2-1\lt0\)，因式分解為\((x+1)(x-1)\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt1\)，所以\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)。11.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\sin2\alpha\)等于（）A.\(\frac{12}{25}\)B.\(\frac{24}{25}\)C.\(-\frac{12}{25}\)D.\(-\frac{24}{25}\)答案：B解析：因為\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，根據(jù)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)。再根據(jù)二倍角公式\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，可得\(\sin2\alpha=2\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\)。12.已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)與直線\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)平行，則\(a\)的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2答案：A解析：若兩條直線\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。對于直線\(l_1:ax+2y+6=0\)與直線\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，有\(zhòng)(\frac{a}{1}=\frac{2}{a-1}\neq\frac{6}{a^2-1}\)。由\(\frac{a}{1}=\frac{2}{a-1}\)，可得\(a(a-1)=2\)，即\(a^2-a-2=0\)，因式分解得\((a-2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=-1\)。當\(a=2\)時，\(\frac{6}{a^2-1}=\frac{6}{2^2-1}=2\)，\(\frac{2}{a-1}=2\)，不滿足\(\frac{2}{a-1}\neq\frac{6}{a^2-1}\)，舍去；當\(a=-1\)時，滿足條件，所以\(a=-1\)。13.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)等于（）A.-3B.-1C.1D.3答案：B解析：因為\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，所以\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(-1)=-f(1)\)。當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，所以\(f(1)=1^2-2\times1=-1\)，那么\(f(-1)=-f(1)=-(-1)=1\)。14.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選出\(3\)人參加某項活動，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.45B.56C.30D.10答案：A解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”的對立事件是“沒有女生”，即全是男生。從\(8\)人中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種；從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有\(zhòng)(C_{8}^3-C_{5}^3=56-10=45\)種。15.已知球的半徑為\(3\)，則球的表面積為（）A.\(9\pi\)B.\(18\pi\)C.\(36\pi\)D.\(72\pi\)答案：C解析：球的表面積公式為\(S=4\piR^2\)（\(R\)為球的半徑）。已知球的半徑\(R=3\)，則球的表面積\(S=4\pi\times3^2=36\pi\)。16.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)等于（）A.3B.-3C.\(\frac{1}{3}\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A解析：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)（因為\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，代入可得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。17.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象經(jīng)過點\((0,1)\)，則函數(shù)\(y=f(x+1)\)的圖象經(jīng)過點（）A.\((-1,1)\)B.\((1,1)\)C.\((0,2)\)D.\((0,0)\)答案：A解析：函數(shù)圖象的平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”。對于函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象向左平移\(1\)個單位得到\(y=f(x+1)\)的圖象。已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象經(jīng)過點\((0,1)\)，那么將點\((0,1)\)向左平移\(1\)個單位，橫坐標減\(1\)，縱坐標不變，得到點\((-1,1)\)，所以函數(shù)\(y=f(x+1)\)的圖象經(jīng)過點\((-1,1)\)。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.已知\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x\)的值為______。答案：\(-4\)解析：若兩個向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)平行，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow=(x,6)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，所以\(2\times6-x\times(-3)=0\)，即\(12+3x=0\)，解得\(x=-4\)。2.函數(shù)\(y=3\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)的最大值是______。答案：\(3\)解析：因為\(-1\leqslant\cos(2x+\frac{\pi}{3})\leqslant1\)，所以當\(\cos(2x+\frac{\pi}{3})=1\)時，函數(shù)\(y=3\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)取得最大值，最大值為\(3\times1=3\)。3.已知圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標為______。答案：\((2,-3)\)解析：將圓的方程\(x^2+y^2-4x+6y=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標準方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標，\(r\)為半徑）。配方可得\(x^2-4x+4+y^2+6y+9=4+9\)，即\((x-2)^2+(y+3)^2=13\)，所以圓心坐標為\((2,-3)\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+2n\)，則\(a_3\)的值為______。答案：\(7\)解析：\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqslant2)\)，\(a_1=S_1\)。\(a_3=S_3-S_2\)，\(S_3=3^2+2\times3=9+6=15\)，\(S_2=2^2+2\times2=4+4=8\)，所以\(a_3=S_3-S_2=15-8=7\)。三、解答題（本大題共4小題，共49分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）1.（本題滿分12分）已知\(\triangleABC\)中，\(A=\frac{\pi}{3}\)，\(AB=2\)，\(BC=\sqrt{3}\)，求\(AC\)的長。解：根據(jù)余弦定理\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdotAC\cdot\cosA\)。已知\(A=\frac{\pi}{3}\)，\(AB=2\)，\(BC=\sqrt{3}\)，代入可得\((\sqrt{3})^{2}=2^{2}+AC^{2}-2\times2\timesAC\times\cos\frac{\pi}{3}\)。即\(3=4+AC^{2}-2AC\)，移項得\(AC^{2}-2AC+1=0\)。根據(jù)完全平方公式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，上式可化為\((AC-1)^{2}=0\)，解得\(AC=1\)。2.（本題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值和最小值。解：（1）對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導，\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-6x=0\)，提取公因式\(3x\)得\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)時，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間是\((0,2)\)。（2）計算函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的值。\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)；\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=8-12+2=-2\)；\(f(3)=3^3-3\times3^2+2=27-27+2=2\)。比較這些值的大小，可得函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。3.（本題滿分12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點，\(O\)為坐標原點，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(m\)與\(k\)的關(guān)系。解：（1）因為橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(c^2=a^2-b^2\)，所以\((\frac{c}{a})^2=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\)，化簡得\(a^2=4b^2\)。橢圓過點\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，將點代入橢圓方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，可得\(\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\)。把\(a^2=4b^2\)代入\(\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\)，得\(\frac{1}{4b^2}+\frac{3}{4b^2}=1\)，即\(\frac{4}{4b^2}=1\)，解得\(b^2=1\)，則\(a^2=4\)。所以橢圓\(C\)的方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。（2）設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，聯(lián)立直線\(l\)與橢圓\(C\)的方程\(\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)。將\(y=kx+m\)代入\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，得\(\frac{x^2}{4}+(kx+m)^2=1\)。展開并整理得\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)。根據(jù)韋達定理，\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)。\(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2\)\(=k^2\times\frac{4m^2-4}{1+4k^2}+km\times(-\frac{8km}{1+4k^2})+m^2\)\(=\frac{4k^2m^2-4k^2-8k^2m^2+m^2+4k^2m^2}{1+4k^2}=\frac{m^2-4k^2}{1+4k^2}\)。因為\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，所以\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。即\(\frac{4m^2-4}{1+4k^2}+\frac{m^2-4k^2}{1+4k^2}=0\)，\(4m^2-4+m^2-4k^2=0\)