專題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù).如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù).知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；(2)任意兩個(gè)自變量且；(3)都有；(4)圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過(guò)函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來(lái)描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.(2)已知解析式，如何判斷一個(gè)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？3.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；(3)定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；(4)得出結(jié)論.4.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷。(2)圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性。(3)直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間。(4)記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).5．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性。一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)。列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減。因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無(wú)法確定的單調(diào)性。（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)。6．利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值。常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值。（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值。若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值。（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是。（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是。7．利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解。（1）在上恒成立在上的最大值。（2）在上恒成立在上的最小值。實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)二：基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).2．一次函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).3．反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.4．二次函數(shù)若a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的最大值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①，都有；②，使得.那么，稱M是函數(shù)的最大值．(2)幾何意義：函數(shù)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)的最小值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①，都有；②，使得.那么，稱M是函數(shù)的最小值．(2)幾何意義：函數(shù)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)五：函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1．函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為奇函數(shù).知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)六：判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.知識(shí)點(diǎn)七：關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間和上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間和上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.題型一：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的值域?yàn)?，求a的取值集合；(2)若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型二：利用函數(shù)單調(diào)性求最值、求參數(shù)1．已知函數(shù)，則的最小值（

）A． B． C．0 D．12．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．3．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________．4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.6．設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若，求函數(shù)的最大值.7．已知函數(shù)，．(1)若的值域?yàn)?，求a的值．(2)證明：對(duì)任意，總存在，使得成立．題型三：利用函數(shù)奇偶性求值、求表達(dá)式、求參數(shù)1．設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．2．已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．3．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．4．）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式．題型四：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題經(jīng)典例題：1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)B．若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．4．若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．5．設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的周期是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域是R，為偶函數(shù)，，成立，，則（

）A．-1 B．1 C．-2 D．28．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，并且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，若，則的解集為（

）A． B． C． D．10．設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，．若函數(shù)對(duì)所有的都成立，則當(dāng)時(shí)，t的取值范圍是（

）A． B．C．，或，或 D．，或，或11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題13．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減C．的解集為 D．存在實(shí)數(shù)滿足14．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的最小正周期為4 D．對(duì)任意都有四、解答題15．已知函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)若關(guān)于a的方程的一個(gè)實(shí)根是1，求的值；(3)在（2）的條件下，已知，解關(guān)于x的不等式．16．已知函數(shù)，（）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍．一、單選題1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或3．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的周期是（

）A． B． C． D．5．若定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)在上單調(diào)遞減且，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)9．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．在是增函數(shù) B．在是增函數(shù)C．不等式的解集為 D．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)10．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋沂桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的定義域?yàn)?3．若是偶函數(shù)，且、都有，若，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．14．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，下列說(shuō)法：①；②若在上有最小值，則在上有最大值；③若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．15．若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對(duì)于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．二、多選題17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)， D．，18．已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，且.則下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的有（

）A．為奇函數(shù) B．周期為2C． D．是奇函數(shù)19．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．4是函數(shù)的一個(gè)周期B．直線，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上有26個(gè)零點(diǎn)20．若函數(shù)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的周期為1C． D．21．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（

）A．的最小值為-1B．在上單調(diào)遞減C．的解集為D．存在實(shí)數(shù)x滿足22．已知是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)