大一高數(shù)期中考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)是\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件4.設(shè)\(y=\sinx\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(\cosx\)B.-\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.-\(\sinx\)5.曲線(xiàn)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線(xiàn)斜率為（）A.1B.2C.3D.46.已知\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{2\Deltax}=（）\)A.1B.2C.4D.87.函數(shù)\(y=\frac{1}{3}x^3-x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)8.設(shè)\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(4x\)9.\(\int\cosxdx\)=（）A.\(\sinx+C\)B.-\(\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.-\(\cosx+C\)10.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無(wú)窮小的有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的等價(jià)條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)B.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在C.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)5.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極值點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)6.下列積分中，屬于不定積分的有（）A.\(\intf(x)dx\)B.\(\int_{a}^f(x)dx\)C.\(\int\sinxdx\)D.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)7.定積分的性質(zhì)有（）A.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）8.下列函數(shù)中，在\((-\infty,+\infty)\)上連續(xù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)C.\(f(x)\)的原函數(shù)一定存在D.\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在10.函數(shù)\(y=\cos2x\)的導(dǎo)數(shù)為（）A.-2\(\sin2x\)B.2\(\sin2x\)C.-\(\sin2x\)D.\(\sin2x\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域?yàn)榭占＃ǎ?.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）5.不定積分\(\intf(x)dx\)表示\(f(x)\)的某一個(gè)原函數(shù)。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)不存在。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)。（）10.曲線(xiàn)\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是\((0,0)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。-答案：利用重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(u\to0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}=3\)。2.求函數(shù)\(y=x^4-2x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(x^4)^\prime-2(x^2)^\prime+(5)^\prime=4x^3-4x\)。3.計(jì)算不定積分\(\intx\cosxdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)，\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。4.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型。-答案：\(x=1\)是間斷點(diǎn)。\(\lim\limits_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty\)，\(\lim\limits_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty\)，所以\(x=1\)是無(wú)窮間斷點(diǎn)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\x^2,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。-答案：\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=0+1=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0^2=0\)，左右極限不相等，不連續(xù)，不可導(dǎo)。2.結(jié)合實(shí)際例子說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。-答案：比如生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本與產(chǎn)量有關(guān)。通過(guò)求成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，可確定使成本最小的產(chǎn)量，從而優(yōu)化生產(chǎn)以降低成本。3.不定積分和定積分有哪些聯(lián)系與區(qū)別？-答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算可借助不定積分找到原函數(shù)來(lái)計(jì)算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，有積分上下限。4.討論函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系。-答案：若函數(shù)\(f(x)\)在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)<0\)，則\(f(x)\)在該區(qū)間單調(diào)遞減。