切線長(zhǎng)定理1．（2025?綿陽(yáng)三模）如圖，是的直徑，，是的兩條切線，點(diǎn)，為切點(diǎn)，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接．（1）連接交于點(diǎn)，求證：；（2）設(shè)，求的值；（3）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)，連接，求的長(zhǎng)．2．（2025?肇東市校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，過(guò)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．

3．（2025?東莞市校級(jí)二模）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．小明決定研究一下圓，如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接、、，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與、、重合），求的值．4．（2025?利川市一模）如圖，在中，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）若，求證：．

5．（2024?梁子湖區(qū)校級(jí)自主招生）等腰直角和如圖放置，已知，，的半徑為1，圓心與直線的距離為5．現(xiàn)以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)的邊長(zhǎng)、又以每秒0.5個(gè)單位沿、方向增大．（1）當(dāng)?shù)倪呥叧猓┡c圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)了多少距離？（2）若在移動(dòng)的同時(shí)，也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則從開(kāi)始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，與的公共部分等于的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2009?肇慶）如圖，的直徑，和是它的兩條切線，切于，交于，交于．設(shè)，．（1）求證：；（2）求關(guān)于的關(guān)系式；（3）求四邊形的面積，并證明：．

7．（2007秋?張家港市期末）如圖，中，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；（1）求證：；（2）若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，的半徑為，求的面積；（3）若，，求的半徑的長(zhǎng)．8．（2007?河池）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)不與，重合），以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，切點(diǎn)為．（1）除正方形的四邊和中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）；（2）求四邊形的周長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，如圖2所示．是否存在點(diǎn)，使？如果存在，試求此時(shí)的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．（2007?廈門(mén)）已知：如圖，、是的切線；、是切點(diǎn)；連接、、，（1）若，求的度數(shù)；（2）過(guò)作、分別交、于、兩點(diǎn)，①若，求證：；②連接，設(shè)的周長(zhǎng)為，若，判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．（2004?奉賢區(qū)二模）如圖，已知在邊長(zhǎng)為1的正方形中，以為圓心、為半徑畫(huà)弧，是上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的切線交于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連，過(guò)作的垂線交與，交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：，；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；（3）在圖中，除以外，是否還存在與相等的線段，是哪些？試證明或說(shuō)明理由；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

11．（2025?惠來(lái)縣模擬）如圖，是的直徑，且，點(diǎn)為外一點(diǎn)，且，分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)是兩條線段與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為等邊三角形，求的長(zhǎng)．12．（2025春?余干縣期中）如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，連接，且，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）連接交于點(diǎn)，求證：；（3）若，求的值．

13．（2025?南充模擬）如圖，是的切線，是的直徑，與交于，弧上一點(diǎn)，使得點(diǎn)成為弧的中點(diǎn)，連接與交于．（1）比較與的長(zhǎng)度．并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．14．（2025?游仙區(qū)模擬）是等邊三角形，過(guò)、兩點(diǎn)作，與相切，是弦上一點(diǎn)，射線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求；（3）求當(dāng)時(shí)，的值．

15．（2025秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）【數(shù)學(xué)概念】我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱(chēng)為雙圓四邊形．例如，如圖①，四邊形內(nèi)接于，且每條邊均與相切，切點(diǎn)分別為，，，，因此該四邊形是雙圓四邊形．【性質(zhì)初探】（1）雙圓四邊形的對(duì)角的數(shù)量關(guān)系是，依據(jù)是．（2）直接寫(xiě)出雙圓四邊形的邊的性質(zhì)．（用文字表述）（3）在圖①中，連接，，求證．【揭示關(guān)系】（4）根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫(huà)出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示．【特例研究】（5）已知，分別是雙圓四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若，，，則的長(zhǎng)為．16．（2025?新華區(qū)校級(jí)四模）如圖1，在中，，，，點(diǎn)在邊上，由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．以點(diǎn)為圓心，為半徑在的下方作半圓，半圓與交于點(diǎn)．，，如圖1，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)到半圓的最短距離；（2）半圓與相切時(shí)，求的長(zhǎng)？（3）如圖2，半圓與交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求扇形的面積？（4）以，為邊矩形，當(dāng)半圓與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是17．（2025?青山區(qū)模擬）如圖，是的直徑，是的切線，交于，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．18．（2025?威海一模）如圖，的直徑，，是的兩條切線，切于，交于，設(shè)，．（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）若，是方程的兩個(gè)根，求的面積．（已知：如果，為方程的兩實(shí)數(shù)根，則

19．（2025?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，直線與過(guò)點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）已知，，，求．20．（2025?石家莊模擬）如圖，半圓的直徑，射線和是半圓的兩條切線，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．（1）求證：．（2）設(shè)，．①求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．

21．（2025?長(zhǎng)沙模擬）如圖1，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓與，相切于點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交于點(diǎn)，點(diǎn)是切點(diǎn)．，的長(zhǎng)度是關(guān)于的一元二次方程的兩根．（1）求的值；（2）如圖2，連接線段，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的值；（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指明自變量的取值范圍（解析式中可以含有字母．22．（2025?海珠區(qū)一模）在中，，以長(zhǎng)為半徑作．（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)畫(huà)法）；（2）在（1）的條件下，若線段與交于點(diǎn)，連接．①求證：與相切；②如果，，與交于點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．

23．（2025秋?科爾沁區(qū)校級(jí)月考）如圖，是的直徑，且，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）連接，若，求證：是等邊三角形；（2）填空．①當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．24．（2025?漣源市三模）如圖，是的直徑，，弦與交于點(diǎn)過(guò)圓心作，交過(guò)點(diǎn)所作的切線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若且的半徑為6，求的長(zhǎng)．

25．（2025秋?溫州期中）如圖，已知，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，過(guò)，兩點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖1，當(dāng)圓心在上且點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，三點(diǎn)、、組成的三角形是等腰三角形？（3）如圖2，當(dāng)圓心不在上且動(dòng)圓與相交于點(diǎn)時(shí)，過(guò)作（垂足為并交于點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)變動(dòng)時(shí)，的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．3804

1．（2025?綿陽(yáng)三模）如圖，是的直徑，，是的兩條切線，點(diǎn)，為切點(diǎn)，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接．（1）連接交于點(diǎn)，求證：；（2）設(shè)，求的值；（3）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)，連接，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，是的兩條切線，，，，，點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，垂直平分，即，是的直徑，，．（2）解：，，，，，，，，．（3）解：連接，，如圖所示：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)，過(guò)圓心，且為的直徑，，由（2）得，，即，，又，設(shè)，，由得，，即，（舍去負(fù)值），即，，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，如圖所示：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，在中，，（負(fù)值舍去）．2．（2025?肇東市校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，過(guò)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接．是的切線，，，，，，，．（2）證明：如圖，連接．是直徑，，，，，，，，，，，．（3）解：過(guò)點(diǎn)作于．是的切線，，，可以假設(shè)，，則，，，，，，，或（舍棄），，，，，，．3．（2025?東莞市校級(jí)二模）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．小明決定研究一下圓，如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接、、，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與、、重合），求的值．【解答】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，即，，是的半徑，是的切線；（2）證明：，，，，，是等邊三角形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）解：連接，，，，，，，，，，即的值為．4．（2025?利川市一模）如圖，在中，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）若，求證：．【解答】證明：（1）如圖所示，連接，，，，，即，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）如圖所示，連接，，，，，，，，，，，，，；（3）是直徑，，，，在中，，可設(shè)，，，，，，在中，，，，，，．5．（2024?梁子湖區(qū)校級(jí)自主招生）等腰直角和如圖放置，已知，，的半徑為1，圓心與直線的距離為5．現(xiàn)以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)的邊長(zhǎng)、又以每秒0.5個(gè)單位沿、方向增大．（1）當(dāng)?shù)倪呥叧猓┡c圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)了多少距離？（2）若在移動(dòng)的同時(shí)，也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則從開(kāi)始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，與的公共部分等于的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)第一次相切時(shí)，移至△處，與切于點(diǎn)，連并延長(zhǎng)，交于．設(shè)與直線切于點(diǎn)，連，則，直線．由切線長(zhǎng)定理可知’，設(shè)，則，易知．，，’．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為．（2）與從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，是與圓相切，且圓在的左側(cè)，故路程差為6，速度差為1，從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒．（3）與從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切時(shí)，路程差為4，速度差為1，從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切的時(shí)間為4秒，此時(shí)移至△處，．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，易證，且．此時(shí)與相交，不存在．6．（2009?肇慶）如圖，的直徑，和是它的兩條切線，切于，交于，交于．設(shè)，．（1）求證：；（2）求關(guān)于的關(guān)系式；（3）求四邊形的面積，并證明：．【解答】（1）證明：是直徑，、是切線，，，．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，則．由（1），四邊形為矩形．，．、，、都是切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得，．在中，，，，，化簡(jiǎn)，得．（3）解：由（1）、（2）得，四邊形的面積，即．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．，即．7．（2007秋?張家港市期末）如圖，中，，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；（1）求證：；（2）若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，的半徑為，求的面積；（3）若，，求的半徑的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，由是直徑知；、都是切線，所以，；又，；所以，所以，從而；（2）解：連接，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，；從而，即是一個(gè)等腰直角三角形；，；（3）解：若，，則；在中，；所以；在中，，即，；另解：設(shè)，；由，得，；則：，解得；即．8．（2007?河池）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)不與，重合），以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，切點(diǎn)為．（1）除正方形的四邊和中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）；（2）求四邊形的周長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，如圖2所示．是否存在點(diǎn)，使？如果存在，試求此時(shí)的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），．（2）四邊形的周長(zhǎng)為．（3）存在．，在中，在中．9．（2007?廈門(mén)）已知：如圖，、是的切線；、是切點(diǎn)；連接、、，（1）若，求的度數(shù)；（2）過(guò)作、分別交、于、兩點(diǎn)，①若，求證：；②連接，設(shè)的周長(zhǎng)為，若，判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）為的切線，；又，；由切線長(zhǎng)定理知，；又，；．（2）①證明：由（1）中知；，又；，而，，；；②延長(zhǎng)射線到使，，；；；的周長(zhǎng)為，，；，，；又，；；所以和邊上所對(duì)應(yīng)的高也應(yīng)該相等．過(guò)于，則為半徑長(zhǎng)度）；所以與相切．10．（2004?奉賢區(qū)二模）如圖，已知在邊長(zhǎng)為1的正方形中，以為圓心、為半徑畫(huà)弧，是上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的切線交于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連，過(guò)作的垂線交與，交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：，；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；（3）在圖中，除以外，是否還存在與相等的線段，是哪些？試證明或說(shuō)明理由；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）由于、、都是圓的切線，且、、是切點(diǎn)，因此根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得出，；（2）設(shè)，，，，在直角三角形中，，解出，；（3）存在，，是的切線，，連，那么平分弧，且，，，，，，，；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，只能有，，，，，．11．（2025?惠來(lái)縣模擬）如圖，是的直徑，且，點(diǎn)為外一點(diǎn)，且，分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)是兩條線段與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為等邊三角形，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，分別切于點(diǎn)、，，，，，，，，，，，；（2）如圖，連接，是的直徑，，是等邊三角形，，，在中，，在中，，．12．（2025春?余干縣期中）如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，連接，且，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）連接交于點(diǎn)，求證：；（3）若，求的值．【解答】（1）證明：是的直徑，，，，，即，半徑，是的切線；（2）證明：如圖，連接，、分別與相切于點(diǎn)、，，，，，，，，，，，，即，；（3）由（2）知：，，，，，設(shè)，則，，是的切線，，，，，，，，．13．（2025?南充模擬）如圖，是的切線，是的直徑，與交于，弧上一點(diǎn)，使得點(diǎn)成為弧的中點(diǎn)，連接與交于．（1）比較與的長(zhǎng)度．并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）．理由：連接．是的切線，，即．．是的直徑，．．．為的中點(diǎn)，．．，．．（2），，．．．．由（1）知，且，．．．即的長(zhǎng)為2.8．14．（2025?游仙區(qū)模擬）是等邊三角形，過(guò)、兩點(diǎn)作，與相切，是弦上一點(diǎn)，射線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求；（3）求當(dāng)時(shí)，的值．【解答】（1）證明：連接、、，如圖所示，是的切線，．．又是等邊三角形，．在和中，．．，且是的半徑．是的切線．（2）解：若與相交于點(diǎn)，、與相切，．，，．設(shè)，，，．，是等邊三角形，．．在中，，．在中，．，．（3），．，，．．即．，，．，．．．，即．．在中，，，．．．15．（2025秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）【數(shù)學(xué)概念】我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱(chēng)為雙圓四邊形．例如，如圖①，四邊形內(nèi)接于，且每條邊均與相切，切點(diǎn)分別為，，，，因此該四邊形是雙圓四邊形．【性質(zhì)初探】（1）雙圓四邊形的對(duì)角的數(shù)量關(guān)系是互補(bǔ)，依據(jù)是．（2）直接寫(xiě)出雙圓四邊形的邊的性質(zhì)．（用文字表述）（3）在圖①中，連接，，求證．【揭示關(guān)系】（4）根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫(huà)出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示．【特例研究】（5）已知，分別是雙圓四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若，，，則的長(zhǎng)為．【解答】（1）解：雙圓四邊形的對(duì)角的數(shù)量關(guān)系是：對(duì)角互補(bǔ)，理由：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）解：雙圓四邊形的邊的性質(zhì)：雙圓四邊形的對(duì)邊之和相等；（3）證明：連接，，，，，設(shè)，交于點(diǎn)，如圖，為的切線，，同理：，，，．，．同理：．，，．，，，，；（4）解：雙圓四邊形的大致區(qū)域，用陰影表示如下：（5）解：連接，，，如圖，四邊形是雙圓四邊形，，，，為的直徑．，為的切線，平分，同理：為的平分線，利用對(duì)稱(chēng)性可知：，，，在一條直線上，，，在中，，．．，為的切線，，，，四邊形為矩形，，四邊形為正方形，．設(shè)，則，，，，．．，，在中，，．．故答案為：．16．（2025?新華區(qū)校級(jí)四模）如圖1，在中，，，，點(diǎn)在邊上，由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．以點(diǎn)為圓心，為半徑在的下方作半圓，半圓與交于點(diǎn)．，，如圖1，當(dāng)時(shí)，30，點(diǎn)到半圓的最短距離；（2）半圓與相切時(shí)，求的長(zhǎng)？（3）如圖2，半圓與交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求扇形的面積？（4）以，為邊矩形，當(dāng)半圓與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是【解答】解：（1）連接，與半圓交于點(diǎn)，在中，，．在中，，．，，點(diǎn)到半圓的最短距離，故答案為：30；；（2）當(dāng)半圓與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接，，如圖，，為半圓的切線，為半圓的切線，，．設(shè)，，．為半圓的切線，．，，解得：．；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖，則，，，，，，．，，解得：或（不合題意，舍去），，，，，三點(diǎn)重合，．扇形的面積；（4）如圖，當(dāng)與邊相切與點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，由（2）知：．當(dāng)與邊相切與點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，與有三個(gè)公共點(diǎn)，．當(dāng)圓心在與之間時(shí)，半圓與有兩個(gè)公共點(diǎn)，；當(dāng)?shù)膱A心在與點(diǎn)之間時(shí)，此時(shí)與有兩個(gè)或三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與有三個(gè)公共點(diǎn)，，，，，解得：．當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，綜上，當(dāng)半圓與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．故答案為：或．17．（2025?青山區(qū)模擬）如圖，是的直徑，是的切線，交于，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【解答】（1）證明：連接，，如圖，是的切線，，．在和中，，．，，為的半徑，是的切線；（2）解：作圓的直徑，連接，，它們交于點(diǎn)，連接，，如圖，，，，．，，，，，．，是的切線，平分，，，．為的直徑，，，，，，，．在中，．是的切線，，．18．（2025?威海一模）如圖，的直徑，，是的兩條切線，切于，交于，設(shè)，．（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）若，是方程的兩個(gè)根，求的面積．（已知：如果，為方程的兩實(shí)數(shù)根，則【解答】（1）證明：如圖，連接，，；、、與相切于、、點(diǎn)，，，在和中，，，，同理可得，，，，，在中，，，，，，，，，，，即：；（2）解：如圖1，作交于，、與切于點(diǎn)定、，，．又，，四邊形是矩形，，，，；切于，，則，在中，由勾股定理得：，整理得：，與的函數(shù)關(guān)系式是．（3）解：如圖2，連接，，，由（2）知，，是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理知，，即，原方程為，解得，或，，，，，是的切線，，，，，，．19．（2025?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知：是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，直線與過(guò)點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）已知，，，求．【解答】（1）證明：連接，，如圖，是圓的切線，，，，，是的中位線，，，．，，．在和中，，．，，為圓的半徑，是的切線；（2）解：連接，，如圖，，，，，是圓的切線，是的切線，，．，，，，，．是的切線，，，，，設(shè)，則，，，（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．．20．（2025?石家莊模擬）如圖，半圓的直徑，射線和是半圓的兩條切線，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．（1）求證：．（2）設(shè)，．①求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接，，，如圖，射線和是半圓的兩條切線，，，．在和中，，．，在和中，，．；（2）解：①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，四邊形為矩形，，．，，，．在中，，，．與之間的函數(shù)關(guān)系式為；②當(dāng)時(shí)，，與重合，此時(shí)四邊形為矩形，連接，則四邊形為正方形，如圖，，，．21．（2025?長(zhǎng)沙模擬）如圖1，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓與，相切于點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交于點(diǎn)，點(diǎn)是切點(diǎn)．，的長(zhǎng)度是關(guān)于的一元二次方程的兩根．（1）求的值；（2）如圖2，連接線段，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的值；（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指明自變量的取值范圍（解析式中可以含有字母．【解答】解：（1），，，是的切線，如圖1，，，，，的長(zhǎng)度是關(guān)于的一元二次方程的兩根，，，，在中，，；（2）連接，如圖2，、分別與相切于、，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，、、分別與相切于、、，平分，平分，，，，，，，；（3）如圖3，連接，由（2）知：，，，，，，，，、是的切線，，，，，，，，，，，，，在中，，，．22．（2025?海珠區(qū)一模）在中，，以長(zhǎng)為半徑作．（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)畫(huà)法）；（2）在（1）的條件下，若線段與交于點(diǎn)，連接．①求證：與相切；②如果，，與交于點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）取與的交點(diǎn)為，①以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)、；③作直線；④以為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于；⑤連接；則△即為所求，如圖所示：（2）①△是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成，且，，，點(diǎn)在上，，在和