第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年江蘇省南通市如東縣高三（上）學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M=(?1,1)，N=[0,2)，則M∩N=(

)A.[?1,2] B.[0,1) C.(0,1) D.(?1,0]2.已知a，b為實(shí)數(shù)，“a≠0”是“ab≠0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(ex)=x+1，則f′(e)=A.1 B.2 C.e D.14.聲強(qiáng)級(jí)LI(單位：dB)由公式：LI=10lg(I10?12)給出，其中I為聲強(qiáng)(單位：W/m2).若某音源的聲強(qiáng)由A.I2=I1+20 B.I25.已知函數(shù)f(x)=?x2+2x的定義域是A，則函數(shù)A.?4 B.0 C.32 D.606.已知a，b>0，且ab=a+b+3，則a+4b的最小值是(

)A.6 B.9 C.13 D.7+47.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+12)是奇函數(shù)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)=3?2x，則f(?A.?13 B.?113 C.8.已知lnx5=x?5且x<5，lny4=y?4且y<4，lnA.z<y<x B.y<z<x C.x<z<y D.x<y<z二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a+1A.a+1a=7 B.a2+110.已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=1，PD=AB=2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，則(

)A.PD//平面ACE

B.平面ACP⊥平面PBD

C.二面角A?CP?D的正切值為22

D.過點(diǎn)E且與平面PAD11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(12)≠0，若f(x)f(y)?f(x+y)=4xy，則A.f(0)=0 B.f(?12)=0

C.f(x?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.eln2+lo13.若直線y=2x?4是曲線y=lnx+x+a的切線，則實(shí)數(shù)a的值是______．14.已知正數(shù)a，b，c滿足4a2+b2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

甲、乙兩人投籃命中率分別為12和13，并且他們投籃互不影響，現(xiàn)每人分別投籃2次．

(1)記甲投籃命中的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和期望；

16.(本小題15分)

已知冪函數(shù)f(x)=(m2+m?1)xm+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)求關(guān)于17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x3?3x2?ax+a．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求過點(diǎn)(0,2)且與曲線y=f(x)相切的直線方程；

(2)若x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)．

①18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面ABC⊥平面PAB，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，∠APB=90°，AB=23，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．

(1)證明：BC⊥PM；

(2)設(shè)點(diǎn)P，A，B，C均在球O的球面上．

①證明：點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)；

②求直線OP與平面19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)的定義域是D，對(duì)于t∈D，定義集合Sf(t)={x|f(x)≥f(t)}．

(1)已知函數(shù)f(x)=2x?1x?1，求Sf(0)；

(2)已知函數(shù)f(x)=?x2+(m?2)x+3+2m，且Sf(1)?[?1,1]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)=xlnx?(1+a)x+2ax，對(duì)任意的參考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.BCD

12.21413.?3

14.8915.(1)由題意，甲投籃命中次數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=(1?12)2=14，P(X=1)=X012P111E(X)=0×14+1×12+2×14=1．

(2)甲、乙兩人投籃命中率分別為12和13，并且他們投籃互不影響，

現(xiàn)每人分別投籃2次，甲比乙進(jìn)球數(shù)多包含以下三種情況：

①甲進(jìn)1球，乙進(jìn)0球，概率為P1=C21×12(1?12)(1?1316.(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為冪函數(shù)，

所以m2+m?1=1，解得m=1或m=?2，

當(dāng)m=?2時(shí)，f(x)=x?1，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；

當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x2，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，符合題意；

所以m=1；

(2)由(1)知f(x)=x2，由f(x)<x+a2?a，

得x2?x?(a2?a)<0?(x?a)[x+(a?1)]<0，

當(dāng)a=1?a，即a=12時(shí)，不等式x2?x?(a2?a)<0無(wú)解；

當(dāng)a<1?a，即a<12時(shí)，不等式x2?x?(a2?a)<0解為a<x<1?a；

當(dāng)a>1?a，即17.(1)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x3?3x2?x+1，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2?6x?1，

設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，那么k=f′(x0)=3x02?6x0?1，

那么切線為y?y0=(3x02?6x0?1)(x?x0)，

代入(0,2)，那么可得2?y0=(3x02?6x0?1)(?x0)，

化簡(jiǎn)可得：2x03?3x02+1=0，

所以3x03?3x02+1?x03=0，可得(x0?1)2(2x0+1)=018.(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，

且△PAB是等腰直角三角形，∠APB=90°，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，所以PM⊥AB，

所以PM⊥平面ABC，所以BC⊥PM；

(2)①證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

所以AB⊥CM，所以以點(diǎn)M為原點(diǎn)，MC,MB,MP為x，y，z軸的正方向，建系如圖：

則C(3,0,0)，B(0,3,0)，A(0,?3,0)，P(0,0,3)

設(shè)O(x,y,z)，

由條件可知|OA|=|OB|=|OC|=|OP|，

所以x2+(y+3)2+z2=x2+(y?3)2+z2=(x?3)2+y2+19.(1)已知函數(shù)f(x)=2x?1x?1，因此f(0)=2×0?10?1=1，

因此f(x)≥f(0)，即2x?1x?1≥1，

因此2x?1x?1?1≥0，即xx?1≥0，解得x≤0或x>1，

因此Sf(0)=(?∞,0]∪(1，+∞)；

(2)因?yàn)閒(1)=?1+m?2+3+2m=3m，

因此f(x)≥f(1)，即?x2+(m?2)x+3?m≥0，即(x?1)[x?(m?3)]≤0，

①當(dāng)m?3<1，即m<4時(shí)，上面不等式的解集為[m?3,1]，

因?yàn)镾f(1)?[?1,1]，因此[m?3,1]?[?1,1]，則m?3≥?1，即m≥2，

因此2≤m<4；

②當(dāng)m?3=1，即m=4時(shí)，不等式(x?1)[x?(m?3)]≤0的解集為{x|x=1}，滿足Sf(1)?[?1,1]；

③當(dāng)m?3>1，即m>4時(shí)，不等式(x?1)[x?(m?3)]≤0的解集為[1,m?3]，

不滿足Sf(1)?[?1,1]，不合題意，

綜上，滿足Sf(1)?[?1,1]的實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2,4]；

(3)由題，對(duì)任意的t1，t2∈D，且t1<t2，都有Sf(t2)?Sf(t1)，

若x∈Sf(t2)，則x∈Sf(t1)，即由f(x)≥f(t2)，則f(x)≥f(t1)，

因此f(t2)≥f(t1)，結(jié)合t1<t2，可知f(x)在定義域D上單調(diào)遞增，

即f′(x)≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，又f′(x)=lnx?a+ax(?)，

即lnx?a