第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)2025屆高三下學(xué)期考前保溫?cái)?shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={y|y=x2?1,y∈N}，B={x|1?x|≤2}，那么A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.[?1,3] 2.若復(fù)數(shù)z=1?ia+i為純虛數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的虛部為A.1 B.i C.?1 D.?3.已知a為單位向量，|b|=2，|a+b|=6，則aA.14 B.12 C.14.從?2，?1，1，2，3，4，5，6這8個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差或等比數(shù)列的概率是(

)A.956 B.528 C.11565.已知梯形ABCD的外接圓直徑為4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，則梯形A.2 B.3 C.2 6.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上有一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，若MF⊥NF，|MF|=2|NF|=5，則p=(

A.14 B.12 C.17.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在?π6,πA.23 B.43 C.2 8.設(shè)函數(shù)f(x)=(2x?1)ex?a+a(a<1)，若f(x)≤0有且僅有2個(gè)整數(shù)解，則A.14e B.12e C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.在一次問(wèn)答競(jìng)賽中，已知A組的成績(jī)X與B組的成績(jī)Y均服從正態(tài)分布，且X～N(130,25)，Y～N(135,36)，則(

)A.E(X)=130 B.D(Y)=6

C.P(X<110)+P(X≤150)=1 10.如圖，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，AB=4，半圓面APD⊥平面ABCD，動(dòng)點(diǎn)P在半圓弧AD?上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段PB上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(

)

A.平面PBD⊥平面PAB

B.存在點(diǎn)P使得PA⊥BD

C.當(dāng)三棱錐體積VP?ABD最大時(shí)，二面角P?BD?A的正切值為2

D.當(dāng)三棱錐體積VP?ABD最大時(shí)，11.如圖，在一處四周都是鏡子的暗房里，在A點(diǎn)平行于地面發(fā)出一條射線α，α與AB的夾角為θ，在AB中點(diǎn)處有一個(gè)感應(yīng)器P(體積忽略不計(jì))，已知AB=12，AD=m，則下列說(shuō)法正確的是(

)

A.若m=3，射線α經(jīng)過(guò)一次反射就被感應(yīng)器捕捉到，則θ=π3

B.若m=8，射線α第一個(gè)反射點(diǎn)在BC邊上，則最少需要折射三次才能被感應(yīng)器捕捉到

C.無(wú)論AD長(zhǎng)度如何變化，必定存在θ使得射線α反射兩次就可以被感應(yīng)器捕捉到

D.存在θ，使得射線α依次經(jīng)過(guò)BC，AD，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線l:ax+2by=1的截距之和為2，且ab>0，則2a+b的最小值為13.已知函數(shù)f(x)=log2x+log4(4?ax)的值域?yàn)?4.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種特殊的粒子，現(xiàn)在把該粒子放在依次排開的1～5號(hào)密封箱子中，兩個(gè)箱子之間只有一條通道相連，該粒子每天只會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)箱子里，第二天會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)在相鄰箱子中的一個(gè)，若科學(xué)家每天只能觀察一個(gè)箱子，則至少需要

天才能確保觀測(cè)到該粒子.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，a(1)求an(2)若bn=16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；(2)若f(x)<0恒成立，求a的取值范圍17.(本小題15分)有一款網(wǎng)絡(luò)答題競(jìng)賽游戲，答題類型有科普類與文學(xué)類兩種，隨機(jī)抽取了50名參賽人員進(jìn)行答題偏好的問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查所得數(shù)據(jù)如下表：科普類文學(xué)類合計(jì)男生5女生10合計(jì)2550(1)完成以上列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.01的χ2(2)隨著參賽人員越多，題庫(kù)提供的題量越多，某同學(xué)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)參賽人數(shù)分別為2～6人時(shí)，題庫(kù)給出的題量y的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到答題量y關(guān)于參賽人數(shù)x的回歸直線方程為y=bx?16，已知該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r=0.99，題量y的方差sy2=600附：參考公式：χ2=回歸系數(shù)b=i=1nx參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小題17分)已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦點(diǎn)分別為F1(0,c)、F2(0,?c)，離心率為62，點(diǎn)F1到漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)F(1)求雙曲線C的方程；(2)若PF1?(3)證明：MF1+19.(本小題17分)如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF，EF，將△AEF沿著折線EF翻折，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1位置，連接A1(1)若E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的中點(diǎn)，A1E⊥CF，求此時(shí)三棱錐(2)若EF=BE+DF，O是AC的中點(diǎn).(ⅰ)求∠ECF的大??；(ⅱ)若正方形邊長(zhǎng)為2+1，當(dāng)S△CEF取最小值，VA1?CEF取最大值時(shí)，求此時(shí)直線A答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由A={y|y=x2?1,y∈N}，

則y可以取0，1，2，?，

由B={x||1?x|≤2}，得?2≤1?x≤2，

解得故選：B.2.【答案】A

【解析】解：由題意得，z=1?ia+i=所以a?1a2+1=0，a+1a2+1≠0，

所以a=1，所以z=?i故選：A.3.【答案】A

【解析】解：由|a+b|=又|a|=1,|b于是a在b上的投影向量的長(zhǎng)度為|故選：A.4.【答案】C

【解析】解：從8個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)共有C8能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：公差為1或?1的有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，公差為2或?2的有{?1,1,3}，{1,3,5}，{2,4,6}，公差為3或?3的有{?2,1,4}，{?1,2,5}，公差為4或?4的有{?2,2,6}，共10種情況，能構(gòu)成等比數(shù)列的情況有：公比為?12或?2的有公比為12或2的有{1,2,4}，共2但{4,?所以構(gòu)成等差或等比數(shù)列的概率是11故選：C.5.【答案】B

【解析】解：如圖，

若梯形ABCD有外接圓，則梯形ABCD為等腰梯形，設(shè)梯形ABCD的外接圓半徑為R，則由正弦定理得2R=BDsin?在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2解得AD=4，則梯形ABCD的高為?=ADsin?πS梯形ABCD設(shè)梯形ABCD的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)等面積法，有S梯形ABCD=12故選：B.6.【答案】D

【解析】解：如圖，過(guò)M作MM1⊥l由拋物線的定義知MM1=|MF|=5，

又MF⊥NF設(shè)∠FMN=α，則∠M1MN=α，

則|MN|=所以sin?α=|NF||MN|=1所以∠MFx=∠M1MF=2α，

則|MF|cos?∠MFx=3，

所以p+3=|M故選：D.7.【答案】B

【解析】解：由f(x)=f(5π3?x)即f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π6對(duì)稱，且故{?2πω3+φ=k即ω=2由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在?π得T2≥π所以0<ω?2，0<23(k+12)?2，

解得?12<k?當(dāng)k=0時(shí)，ω=13，則?2π9+φ=k3π，此時(shí)f(x)=sin?(13x+2π9由于y=sin?x在π6,π3上單調(diào)遞增，當(dāng)k=1時(shí)，ω=1，則?2π3+φ=k4π，k4此時(shí)f(x)=sin?(x+2π3)，

由于y=sinx在π2,π上單調(diào)遞減，

故當(dāng)k=2時(shí)，ω=53，?10π9+φ=k5π，此時(shí)f(x)=sin?(53x+π9由于y=sin?x在?π6,2π3綜上，ω=13或1，則ω故選：B.8.【答案】C

【解析】解：f(x)=(2x?1)(e令g(x)=(2x?1)ex，則當(dāng)x<?12時(shí)，g′(x)<0，

當(dāng)x>?12時(shí)，g′(x)>0，

由f(x)=(2x?1)ex?2ax+2a?0，

根據(jù)題意，存在2個(gè)整數(shù)解使得(2x?1)e則函數(shù)g(x)與直線y=2ax?2a的圖象有2個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的交點(diǎn)，

直線y=2ax?2a必過(guò)(1,0)點(diǎn)，函數(shù)g(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)g′(0)=1，

則切線方程為y=x?1且經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即此時(shí)直線y=2ax?2a與g(x)相切，此時(shí)a=12，

又因?yàn)閍<1，分析圖象可知，

另一個(gè)交點(diǎn)只能在即a可以取最大值，g(?1)=?3e，

當(dāng)直線y=2a(x?1)過(guò)點(diǎn)(?1,?3e)時(shí)，故選：C.9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，B，因?yàn)閄～N(130,52)所以E(X)=130，D(Y)=36，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镻(X<110)+P(X?150)=P(X>150)+P(X?150)=1，故C正確；對(duì)于D，P(X<140)=P(X<130+2×5)=P(Y<135+2×6)>P(Y<145)，故D正確.故選：ACD.10.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AB⊥AD，

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，對(duì)于A，因?yàn)锳B⊥平面PAD，PD?平面PAD，

所以PD⊥AB，因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

所以PD⊥平面PAB，因?yàn)镻D?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PA⊥BD，

由圓的幾何性質(zhì)可知PA⊥PD，因?yàn)锽D∩PD=D，BD、PD?平面PBD，

所以PA⊥平面PBD，因?yàn)镻B?平面PBD，所以PA⊥PB，因?yàn)锳B⊥平面PAD，PA?平面PAD，

所以AB⊥PA，這與PA⊥PB矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖1，取線段AD的中點(diǎn)O，連接PO，

過(guò)點(diǎn)O在平面ABCD內(nèi)作ON⊥BD，垂足為點(diǎn)N，連接PN，當(dāng)三棱錐體積VP?ABD最大時(shí)即點(diǎn)P為半圓弧的中點(diǎn)，PA=PD因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)锽D?平面ABCD，所以BD⊥PO，因?yàn)镺N⊥BD，PO∩ON=O，OP、ON?平面PON，

所以BD⊥平面PON，因?yàn)镻N?平面PON，所以PN⊥BD，所以二面角P?BD?A的平面角為∠PNO，因?yàn)閟in?∠ADB=ABBD=ON所以，tan?∠PNO=POON=22=對(duì)于D，將平面PAB與平面PBD展開成平面圖，連接AD，如圖2所示，

此時(shí)|AQ|+|DQ|最小，

由題意可知PA=PD=22，PB=26，BD=42，

cos?∠APD=再由余弦定理可知AD即(AQ+DQ)2的最小值為16+166故選：ACD.11.【答案】BC

【解析】解：由于該射線平行于地面，

根據(jù)題意可視為射線α在平面四邊形ABCD內(nèi)部發(fā)生反射，對(duì)于A，當(dāng)m=3時(shí)，發(fā)出射線α使其反射點(diǎn)在AB靠近A端的四等分點(diǎn)，反射后再正好被感應(yīng)器P捕捉，所以tanθ=33=1，則對(duì)于B，當(dāng)m=8時(shí)，第一次反射在BC邊上，

所以不可能只反射一次就被感應(yīng)器P捕捉，如圖1，假設(shè)反射兩次后被感應(yīng)器P捕捉，則第二次反射一定在CD邊上，將平面依次向右、向上翻折一次，P到達(dá)P′觀察線段AP設(shè)直線kAP′=2AD32AB=所以線段不可能完全在平面與翻折平面構(gòu)成圖形的內(nèi)部，即不可能經(jīng)過(guò)兩次反射后被感應(yīng)器P捕捉；如圖2，計(jì)算得：tanθ=8+812+12+6=815時(shí)可以反射三次后被感應(yīng)器P捕捉(線段對(duì)于C，如圖3，依次將平面向上、向右翻折，連接AP′，

觀察線段PP所以AP′與直線CD的交點(diǎn)M在線段故線段AP意味著射線α將依次經(jīng)過(guò)CD、BC反射后被感應(yīng)器P捕捉，反射了兩次，故C正確；對(duì)于D，如圖4，同C翻折，同理分析，觀察線段P′所以線段AP′一定不可能完全在平面與翻折平面構(gòu)成圖形的內(nèi)部，故D故選：BC.12.【答案】94【解析】解：將直線l轉(zhuǎn)換為截距式，即x1a+由2a+b=1當(dāng)且僅當(dāng)ba=a故得2a+b的最小值為9故答案為：913.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閒(x)=log2?即log4?(4x?ax2)≤1，

又y=log4則a>0，

由y=4x?ax2=?a(x?2a)2+此時(shí)f(x)=log2?f(x)=log4(?x2則得f(x)≤f(2)=1，符合題意.故答案為：1.14.【答案】6

【解析】解：假設(shè)考慮最壞情況，粒子會(huì)以對(duì)抗方式移動(dòng)以盡可能避免被觀測(cè)，科學(xué)家第一天查看2號(hào)或者4號(hào)箱子，以2號(hào)箱子為例，如果沒(méi)觀察到粒子，則粒子一定在1，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第二天粒子一定會(huì)在2，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第二天科學(xué)家去3號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在2，4，5這三個(gè)箱子中的一個(gè)，所以第三天粒子一定會(huì)在1，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第三天科學(xué)家去4號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在1，3，5這三個(gè)箱子中的一個(gè)，所以第四天粒子一定在2，4這兩個(gè)箱子中的一個(gè)，第四天科學(xué)家去2號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在4號(hào)箱子，則第5天粒子一定在3，5這兩個(gè)箱子中的一個(gè)，第五天科學(xué)家去3號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在5號(hào)箱子，第六天一定在4號(hào)箱子，因此科學(xué)家第六天去4號(hào)箱子一定能觀察到它，這時(shí)6天一定可以確保觀察到粒子，其他情況確保觀察到粒子都不少于6天.故答案為：6.15.【答案】解：(1)由題意得4S所以2Sn?12=a所以2Sn當(dāng)n≥2時(shí)，有4S所以2a所以an?an?1=2，

故數(shù)列a所以an(2)證明：由(1)得bn所以1b所以1b裂項(xiàng)得12(

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】16.【答案】解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xex+x+則f所以f(1)=e，f所以切線方程為y?e=(2e+2)(x?1)，(2)解法一：f(x)=xeax+ax+f′(x)=eax當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，則當(dāng)x>1時(shí)，不滿足f(x)<當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x=?1當(dāng)0<x<?1a時(shí)，f′(x)>當(dāng)x>?1a時(shí)，f′(x)<則f(x)的最大值為f(?1依題意ln(?1令t=?1a，g(t)=lnt+1則g′(t)=1又g(e)=lne+1e×e?2=0，

故g(t)所以0<?1a<e即a<?1e，則a的取值范圍是解法二：由題意得f(x)=e設(shè)t=lnx+ax，則又因?yàn)閒′(t)=et+1又f(0)=0，所以要使f(t)<0恒成立，需使t<即lnx+ax<0，得a<?lnx設(shè)?(x)=?ln?xx當(dāng)0<x<e時(shí)，?′(x)<0，當(dāng)故?(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在所以?(x)從而a<?1e，即a

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】17.【答案】解：(1)完成列聯(lián)表如下：科普類文學(xué)類合計(jì)男生15520女生102030合計(jì)252550零假設(shè)為H0χ2根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，

即認(rèn)為該游戲的答題偏好與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于(2)由題意可得：x=15因?yàn)閟y2=又因?yàn)閞=i=1可得i=15所以b

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】18.【答案】解：(1)由題意得雙曲線的一條漸近線方程為y=abx則焦點(diǎn)F1到漸近線的距離為|bc|又因?yàn)殡p曲線C的離心率e=ca=62，a2則雙曲線C的方程為y2(2)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)因?yàn)閗PF1=y1?3又因?yàn)閗PF1=kQF2，即又因?yàn)镹Q與F1F2互相平分，

所以四邊形F所以PF設(shè)PF1的直線方程為代入雙曲線方程整理得：(k所以{k2?2≠0故x1+x直線PF1與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以x1由弦長(zhǎng)公式得：|PF1|?|N則2k4+7且由題意可知|PF