第一章集合與常用邏輯用語新（定義，文化）高觀點必刷必過題一、單選題1．已知集合，若，，則與集合間的關(guān)系正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】中，，，故．中，，，故．故選：B．2．設(shè)為任一實數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【詳解】當(dāng)，時，滿足，但，，即；當(dāng)時必有，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：C．3．若整數(shù)集的子集滿足條件：對任何，，都有，就稱是封閉集．下列命題中錯誤的是A．若是封閉集且，則一定是無限集B．對任意整數(shù)，，是封閉集C．若是封閉集，則存在整數(shù)，使得中任何元素都是的整數(shù)倍D．存在非零整數(shù)，和封閉集，使得，，但，的最大公約數(shù)【答案】D【詳解】解：由封閉集定義可得，若非零整數(shù)，則即，進一步得和，從而，，，都在中可知A正確，對于B，由，，可得，可知B正確，對于D，設(shè)、，與為互質(zhì)的整數(shù)，顯然由B知，故D錯誤，C正確；故選：D4．設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】C【詳解】解：對子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{3，4}時，此時B可以為{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4結(jié)果；當(dāng)A是三元集{1，3，4}時，此時B可以為{2，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是三元集{2，3，4}時，此時B可以為{1，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是四元集{1，2，3，4}時，此時B取{3，4}，有1種結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理知共有4+2+2+1＝9種結(jié)果．故選：C．5．設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的，有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若、是Z的兩個沒有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同時，任意的，有，則下列結(jié)論恒成立的是(

)A．、中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．、中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．、中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．、中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A【詳解】若為奇數(shù)集，為偶數(shù)集，滿足題意，此時與關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；若為負整數(shù)集，為非負整數(shù)集，也滿足題意，此時只有關(guān)于乘法是封閉的，排除D；從而可得、中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的，A正確.故選：A．6．在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【詳解】因為，故，故①錯誤；而，故，故②正確；由“類”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確若整數(shù)a，b屬于同一“類”，設(shè)此類為，則，故即，若，故為的倍數(shù)，故a，b除以4的余數(shù)相同，故a，b屬于同一“類”，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件為，故④正確；故選:7．當(dāng)一個非空數(shù)集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域；⑤任何一個有限數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù)，其中正確的選項是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【詳解】對于①，當(dāng)且時，由數(shù)域定義知：，是任何數(shù)域的元素，①正確；對于②，當(dāng)且時，由數(shù)域定義知：，，，，…，，②正確；對于③，當(dāng)，時，，③錯誤；對于④，若，則，且當(dāng)時，，則有理數(shù)集是一個數(shù)域，④正確；對于⑤，，若且，則，則這個數(shù)不為則必成對出現(xiàn)，數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù)，⑤正確.故選：D.8．對于任意兩個數(shù)，定義某種運算“◎”如下：①當(dāng)或時，；②當(dāng)時，.則集合A＝的子集個數(shù)是（

）A．214個 B．213個 C．211個 D．27個【答案】C【詳解】根據(jù)條件中的定義可知，當(dāng)，且同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)時，有，當(dāng)，且為偶數(shù)，為奇數(shù)時，有，故集合中，當(dāng)同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)時，，可取，，，，，，，，，當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，可取，，所以可取的情況共有11種，即集合中有11個元素，所以集合得子集個數(shù)為.故選：C.9．對于集合、，定義集合運算且，給出下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則；則其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【詳解】如圖：若，不具有包含關(guān)系，由韋恩圖分別表示集合，，，若，具有包含關(guān)系，不妨設(shè)是的真子集，對于（1）:圖中，，圖中，所以，故（1）正確；對于（2）：圖中，成立，圖中，，，所以成立，故（2）正確；對于（3）：若，則；故（3）正確；所以其中所有正確結(jié)論的序號是（1）（2）（3），故選：D.10．設(shè)U是一個非空集合，F(xiàn)是U的子集構(gòu)成的集合，如果F同時滿足：①，②若，則且，那么稱F是U的一個環(huán)，下列說法錯誤的是（

）A．若，則是U的一個環(huán)B．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有8個元素C．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有4個元素且D．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有7個元素且【答案】D【詳解】對A，由題意可得滿足環(huán)的兩個要求，故F是U的一個環(huán)，故A正確，不符合題意；對B，若，則U的子集有8個，則U的所有子集構(gòu)成的集合F滿足環(huán)的定義，且有8個元素，故B正確，不符合題意；對C，如滿足環(huán)的要求，且含有4個元素，，故C正確，不符合題意.對D，，，，，，，再加上，中至少8個元素，故D錯誤，符合題意.故選：D.11．設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果且，那么稱k是集合A的一個“好元素”．給定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【詳解】根據(jù)“好元素”定義，可知由S中的3個元素構(gòu)成的集合中，不含“好元素”，則這3個元素一定是相連的3個數(shù)，所以不含“好元素”的集合共有，，，，，，共個.故選：.二、多選題12．非空集合關(guān)于運算滿足：對于任意的、，都有，則稱集合關(guān)于運算為“回歸集”．下列集合關(guān)于運算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實數(shù)的乘法【答案】BC【詳解】對于A選項，若，為自然數(shù)的減法，則，A不滿足條件；對于B選項，若，對任意的、，則，B滿足條件；對于C選項，若，對任意的、，則，C滿足條件；對于D選項，已知全集，集合，，取，，則，D不滿足條件.故選：BC.13．1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（

）A．，滿足戴德金分割B．沒有最大元素，有一個最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素D．沒有最大元素，也沒有最小元素【答案】BD【詳解】對于選項A，因為，，，故A錯誤；對于選項B，設(shè)，，滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；對于選項C，若有一個最大元素，有一個最小元素，若，一定存在使不成立；若，則不成立，故C錯誤；對于選項D，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時沒有最大元素，也沒有最小元素，故D正確．故選:BD．14．在整數(shù)集中，被6除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，5，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在一個數(shù)，使得B．對于任意一個數(shù)，都能使成立C．“”是“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件D．“整數(shù)，滿足，”的必要條件是“”【答案】CD【詳解】對于A，假設(shè)存在一個數(shù)，使得，則，，，顯然不成立，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若整數(shù)，屬于同一“類”，則整數(shù)，被6除所得余數(shù)相同，從而被6除所得余數(shù)為0，即，若，則被6除所得余數(shù)為0，則整數(shù)，被6除所得余數(shù)相同，故“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件是“”，故C正確；對于D，若整數(shù)，滿足，，則，，，，所以，，所以，故D正確．故選：CD．15．整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)a，b屬同一類【答案】ACD【詳解】對A，，即余數(shù)為1，正確；對B，，即余數(shù)為3，錯誤；對C，易知，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，正確；對D，由題意能被5整除，則分別被5整除的余數(shù)相同，正確.故選：ACD.16．在整數(shù)集中被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，????.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．“整數(shù)?屬于同一類”的充要條件是“”【答案】ACD【詳解】解：對于A選項，，，，故A正確；對于B選項，，，，故B不正確；對于C選項，整數(shù)集中的數(shù)，被除所得余數(shù)只能為0，1，2，3，4，所以，故C正確；對于D選項，若整數(shù)?屬于同一類，則，所以，反之，若，則，整數(shù)?屬于同一類，故D正確，故選：ACD.17．在整數(shù)集中，被7除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，給出如下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)a，b屬于同一類【答案】ACD【詳解】對于A：因為，所以，故選項A正確；對于B：因為，所以，故選項B錯誤；對于C：根據(jù)“類”的概念知正確，故選項C正確；對于D：若，設(shè)，即，不妨令，，，，，，5,6，則，，，所以與屬于同一類，故選項D正確；故選：ACD18．對于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫作集合M與N的“差集”，記作，即，且；把集合M與N中所有不屬于的元素組成的集合叫作集合M與N的“對稱差集”，記作，即，且.下列四個選項中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ACD【詳解】若，則，A正確；當(dāng)時，，B錯誤；，且，C正確；和均表示集合中陰影部分，D正確.故選：ACD.19．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓．過點作的垂線交半圓于，連接，，，過點作的垂線，垂足為．則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，，根據(jù)圖形，在中，由射影定理得，所以，由，且，得：（，），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即A正確；在中，同理得，所以，又，所以（，），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即C正確；故選：AC.20．當(dāng)一個非空數(shù)集滿足條件“若，，則，，，且當(dāng)時，”時，稱為一個數(shù)域，以下說法正確的是（

）A．是任何數(shù)域的元素B．若數(shù)域有非零元素，則C．集合為數(shù)域D．有理數(shù)集為數(shù)域【答案】ABD【詳解】解：對于A，若，則，故A正確；對于B，若且，則，，，依此類推，可得，故B正確；對于C，，，，但，故不是數(shù)域，C錯誤；對于D，若，是兩個有理數(shù)，則，，，都是有理數(shù)，所以有理數(shù)集是數(shù)域，D正確．故選：ABD．21．設(shè)非空集合為實數(shù)集的子集，若滿足下列兩個條件：（1），；（2）對任意，都有，，，，則稱為一個數(shù)域．則下列命題中為真命題的是（

）A．有理數(shù)集是一個數(shù)域B．若為一個數(shù)域，則C．若，都是數(shù)域，那么也是一個數(shù)域D．若，都是數(shù)域，那么也是一個數(shù)域【答案】ABC【詳解】由已知中數(shù)域的定義可得：由于，；且對任意，都有，，，有理數(shù)集滿足定義，是一個數(shù)域，故A正確；若為一個數(shù)域，則，；由于，，故；由于，故任意一個分數(shù)都可以構(gòu)造出來，則中包含任意整數(shù)和分數(shù)，故，故B正確；由于，，故，且對任意，都有，，，，因此，，，故中的元素滿足定義，也是一個數(shù)域，故C正確；設(shè)，都是數(shù)域，令，故不一定是一個數(shù)域，故D錯誤故選：ABC22．對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（

）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得【答案】ABD【詳解】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即選項A正確；對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；對于D選項，時，，，D正確；故選：ABD．23．若非空集合G和G上的二元運算“”滿足：①，；②，對，：③，使，，有；④，，則稱構(gòu)成一個群.下列選項對應(yīng)的構(gòu)成一個群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運算B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運算C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運算D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)【答案】BCD【詳解】A．時，不滿足③，若，則由得，若，則在中設(shè)，由得，所以不能構(gòu)成群；B．G為正有理數(shù)集，①任意兩個正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然，對任意，，③對任意正有理數(shù)，也是正有理數(shù)，且，即，④有理數(shù)的乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；C．(i為虛數(shù)單位)，①可驗證中任意兩數(shù)（可相等）的乘積仍然屬于；②，滿足任意，有；③，滿足任意，存在，有，實質(zhì)上有；④復(fù)數(shù)的乘法運算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；D．，①任意兩個整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于，②，滿足對任意，，③，，，除以7余數(shù)為0；④加法滿足交換律，又除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)加除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此，，D中可構(gòu)造群；故選：BCD．三、填空題24．戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．【答案】，（答案不唯一）【詳解】解：以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）25．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則“”是“”的______條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）【答案】必要不充分【詳解】，即或，當(dāng)時，可推出；但當(dāng)時，如，，此時，所以“”不能推出“”，即充分性不成立.，即或，當(dāng)時，必有；當(dāng)時，可推出或，所以“”能推出“”，即必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分.26．給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結(jié)論：①集合A＝{0}為閉集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；④若集合A1、A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中所有正確結(jié)論的序號是__．【答案】①③【詳解】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正確；②當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣2時，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6?A，故不是閉集合，∴②錯誤；③由于任意兩個3的倍數(shù)，它們的和、差仍是3的倍數(shù)，故是閉集合，∴③正確；④假設(shè)A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5?A1∪A2，則A1∪A2不是閉集合，∴④錯誤．正確結(jié)論的序號是①③．故答案為：①③.27．已知，記集合，例如，…．現(xiàn)有一款名稱為“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”網(wǎng)絡(luò)游戲，它的激活碼為集合A2的各元素之和，則該游戲的激活碼為________．【答案】22【詳解】解：由已知得或，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，該游戲的激活碼為，故答案為：22.28．已知表示不超過的最大整數(shù).例如，，，若，，是的充分不必要條件，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】∵表示不超過的最大整數(shù)，∴，，即，又是的充分不必要條件，，∴AB，故，即的取值范圍是.故答案為：.29．設(shè)集合，對其子集引進“勢”的概念；①空集的“勢”最??；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，以此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________.【答案】【詳解】根據(jù)題意，將全部的子集按“勢”從小到大順序排列為：，，，，，，，.故排在第6的子集為.故答案為：30．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并