第九節(jié)函數(shù)與導數(shù)中的創(chuàng)新性問題高中總復習·數(shù)學重點解讀

函數(shù)與導數(shù)中的創(chuàng)新性問題以往在自主命題卷中出現(xiàn)較多，可以出現(xiàn)

在各個題型中，其題型靈活，可以單獨考查函數(shù)與導數(shù)知識，也可以與其

他知識交匯命題，還可以引用高等數(shù)學中的相關(guān)知識作為試題背景命題，

試題新穎，對考生的文字閱讀、信息提取、轉(zhuǎn)化與化歸能力的要求較高.目錄CONTENTS考點·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練

創(chuàng)設新定義（師生共研過關(guān)）

〔多選〕（2024·貴州天柱民族中學段考改編）若存在m，使得f

（x）≥m對任意x∈D恒成立，則函數(shù)f（x）在D上有下界，其中m為

函數(shù)f（x）的一個下界；若存在M，使得f（x）≤M對任意x∈D恒成

立，則函數(shù)f（x）在D上有上界，其中M為函數(shù)f（x）的一個上界.如果

一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.則下列說法正確的是（

）B.

函數(shù)f（x）＝xln

x有下界，無上界√√

解題技法

解決新定義問題，有時需要用類比的方法來理解新定義，這樣有

助于更為透徹地理解新定義.此類問題對閱讀理解能力有一定的要求，

但是要學會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，新定義問題考查的還是高中數(shù)學基礎(chǔ)知

識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好“四基”，以不變應

萬變才是制勝法寶.

創(chuàng)新情境設置（師生共研過關(guān)）

√

解題技法

解答此類問題的關(guān)鍵是認真閱讀題目情境表述，厘清已知條件、特定

規(guī)則及待求問題，從中獲取關(guān)鍵信息再將信息利用熟悉的知識和方法破

譯、轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式（或數(shù)學圖形），然后求解，得出結(jié)論，一般解題

步驟如下所示：

高數(shù)背景下的創(chuàng)新題（師生共研過關(guān)）

（2024·襄陽三模）柯西中值定理是數(shù)學的基本定理之一，在高等數(shù)

學中有著廣泛的應用.定理內(nèi)容為：設函數(shù)f（x），g（x）滿足：①圖象在[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在（a，b）內(nèi)可導；

解題技法

高數(shù)背景下的創(chuàng)新題很多，涉及到中學數(shù)學教材中出現(xiàn)過的就有十幾

處，如泰勒公式、拉格朗日中值定理、歐拉公式等，解決該類問題不必增

加高等數(shù)學的學習，而是把題目背景的條件，結(jié)論理解清楚（不必過多探

究為什么），重要的是將其轉(zhuǎn)化為用中學數(shù)學解決的問題.此類題目主要

考查創(chuàng)新思維與遷移能力.

（1）證明：ex≥1＋x；證明：

設h（x）＝ex－x－1，則h'（x）＝ex－1.當x＞0時，h'（x）＞0；當x＜0時，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x.

PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件√12345678910111213141516171819202022232425

2.

對于三次函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），給出定義：設f'

（x）是函數(shù)y＝f（x）的導數(shù)，f″（x）是f'（x）的導數(shù)，若方程f″

（x）＝0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐

點”，則下列命題中不正確的是（

）A.

任何一個三次函數(shù)都有“拐點”B.

任何一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心C.

任何一個三次函數(shù)都有極值D.

三次函數(shù)的“拐點”就是對稱中心√

3.

〔多選〕已知△ABC的面積為1，AB的平行線分別交AC，BC于點D，

E，連接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面積分別記為S1，S2，S3，則

（

）√√

A.

函數(shù)y1＝2x（x＞0）在坐標系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標系aOb內(nèi)的曲線是②B.

函數(shù)y2＝x2（x＞0）在坐標系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標系aOb內(nèi)的曲線是①C.

函數(shù)y3＝ex（x＞0）在坐標系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標系aOb內(nèi)的曲線是③D.

函數(shù)y4＝ln

x（x＞0）在坐標系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標系aOb內(nèi)的曲線是④√√

（2）已知函數(shù)g（x）＝cos

x＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最

大值.

（2）已知函數(shù)F（x）＝mx2＋nx＋xln

x，其中m，n∈R.

證明：對任意

兩個不相等的正數(shù)x1，x2，曲線y＝F（x）在點（x1，F(xiàn)（x1））和點

（x2，F(xiàn)（x2））處的切線均不重合.證明：

由題意得F'（x）＝2mx＋ln

x＋n＋1，不妨設0＜x1＜x2，則曲線y＝F（x）在點（x1，F(xiàn)（x1））處的切線l1：y－F（x1）＝F'（x1）（x－x1），即y＝F'（x1）x＋F（x1）－x1F