概率目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】超幾何分布型分布列 ①殘差（其中）：實(shí)際值與估計(jì)值之間的差.殘差平方和Q=i=1②相關(guān)指數(shù)R2=1?∑ni可以看出，越接近于1，表示殘差平方和越小，表示模型的擬合效果越好.（5）非線性回歸分析在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程．常見的非線性回歸轉(zhuǎn)化方法有：①y=c1ec2②y=c3x2+c三、獨(dú)立性檢驗(yàn)流程問法：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩個(gè)分類變量和是否有關(guān)/有差異？解決上述問題的基本流程如下：．分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表：yy總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d ．零假設(shè)為：假設(shè)和無關(guān)或無差異或相互獨(dú)立．計(jì)算．查表，比較與臨界值0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．下結(jié)論:（1）若計(jì)算出的，則：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，即認(rèn)為變量和有關(guān)，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；（2）若計(jì)算出的，則：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)證明零假設(shè)不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為變量和無關(guān)．四、古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.(2)古典概型事件A的概率P(A)=五、二項(xiàng)分布（放回抽?。賜重伯努利試驗(yàn)（1）我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn),比如產(chǎn)品的合格或不合格,醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果的陽(yáng)性或陰性；（2）將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn),（3）n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征第一：同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；第二：各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立；②二項(xiàng)分布概念一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件AP此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X～B(n,p),并稱p為成功概率.隨機(jī)變量X的分布列如下：X01?k?nPCC?C?C(其中q=1?p)由二項(xiàng)式定理,可得k=0③二項(xiàng)分布的期望與方差一般地,如果X～B(n,p),那么E下面對(duì)期望進(jìn)行證明證明：令q=1?p,由kE令k?1=m,E六、超幾何分布（不放回，一次性抽?。俑拍钜话愕?假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品,從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為：P其中n,M,N∈N如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.②超幾何分布的期望與方差設(shè)隨機(jī)變量X～H(n,M,N),則.證明:令=maxE因?yàn)閗=mrE備注：方差的公式解答題中是不能直接使用的，了解即可．七、類超幾何分布（不放回抽取，一次一次抽取）例：一個(gè)袋中裝有形狀大小完全相同的球9個(gè)，其中紅球3個(gè)，白球6個(gè)，從袋中不放回地取球，每次隨機(jī)取1個(gè)，直到取出3次紅球即停止，求恰好取4次停止的概率．解：（分子分母都帶順序，把相同球看成不同球）【題型一】超幾何分布型分布列總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件，，其中為與的較小者，，稱服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，此時(shí)有公式。一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為，，，，，.其中n，N，，，，，.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布_..1.（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某區(qū)域中的物種擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某生物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉個(gè)物種，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的生物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為，每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，；（ⅰ）證明：，；（ⅱ）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.2.（23·24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個(gè)紅球，則分得個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目.(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.3.（2024·廣東廣州·二模）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.(1)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；(2)已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)【題型二】二項(xiàng)分布型分布列若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次概率，稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作，=，.1.（2024·云南昆明·一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%.(1)求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某地文旅部門為了增強(qiáng)游客對(duì)本地旅游景區(qū)的了解，提高旅游景區(qū)的知名度和吸引力，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展，在2023年中秋國(guó)慶雙節(jié)之際舉辦“十佳旅游景區(qū)”評(píng)選活動(dòng)，在堅(jiān)持“公平、公正公開”的前提下，經(jīng)過景區(qū)介紹、景區(qū)參觀、評(píng)選投票、結(jié)果發(fā)布、頒發(fā)獎(jiǎng)牌等環(huán)節(jié)，當(dāng)?shù)氐?個(gè)“自然景觀類景區(qū)”和4個(gè)“人文景觀類景區(qū)”榮獲“十佳旅游景區(qū)”的稱號(hào)．評(píng)選活動(dòng)結(jié)束后，文旅部門為了進(jìn)一步提升“十佳旅游景區(qū)”的影響力和美譽(yù)度，擬從這10個(gè)景區(qū)中選取部分景區(qū)進(jìn)行重點(diǎn)推介.(1)若文旅部門從這10個(gè)景區(qū)中先隨機(jī)選取1個(gè)景區(qū)面向本地的大學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介、再選取另一個(gè)景區(qū)面向本地的中學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介，記面向大學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“自然景觀類景區(qū)”為事件A，面向中學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“人文景觀類景區(qū)”為事件B，求，；(2)現(xiàn)需要從“十佳旅游景區(qū)”中選4個(gè)景區(qū)，且每次選1個(gè)景區(qū)（可以重復(fù)），分別向北京、上海、廣州、深圳這四個(gè)一線城市進(jìn)行重點(diǎn)推介，記選取的景區(qū)中“人文景觀類景區(qū)”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3.（2023·廣東肇慶·二模）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)1的次數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求(2)已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值.【題型三】正態(tài)分布型（1）若是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，（其中是參數(shù)，且，）。其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：=1\*GB3①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對(duì)稱；=2\*GB3②曲線在處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；=3\*GB3③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；=4\*GB3④圖像與軸之間的面積為1.（2）=，=，記作.當(dāng)時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作.（3），則在，，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。1.從某酒店開車到機(jī)場(chǎng)有兩條路線，為了解兩條路線的通行情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了走這兩條路線各10次的全程時(shí)間（單位：min），數(shù)據(jù)如下表：路線一44586650344250386256路線二62566862586161526159將路線一和路線二的全程時(shí)間的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和.(1)求.(2)假設(shè)路線一的全程時(shí)間X服從正態(tài)分布，路線二的全程時(shí)間Y服從正態(tài)分布，分別用作為的估計(jì)值.現(xiàn)有甲?乙兩人各自從該酒店打車去機(jī)場(chǎng)，甲要求路上時(shí)間不超過，乙要求路上時(shí)間不超過，為盡可能滿足客人要求，司機(jī)送甲?乙去機(jī)場(chǎng)應(yīng)該分別選哪條路線？2.2020年我國(guó)科技成果斐然，其中北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)7月31日正式開通．北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于10米，實(shí)測(cè)的導(dǎo)航定位精度都是2~3米，全球服務(wù)可用性99%，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．（Ⅰ）南美地區(qū)某城市通過對(duì)1000輛家用汽車進(jìn)行定位測(cè)試，發(fā)現(xiàn)定位精確度近似滿足，預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人員30顆衛(wèi)星中隨機(jī)選取4顆衛(wèi)星進(jìn)行信號(hào)分析，選取的4顆衛(wèi)星中含3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個(gè)基地同時(shí)獨(dú)立隨機(jī)選取1顆衛(wèi)星進(jìn)行信號(hào)分析，選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目記為，求的數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．3.據(jù)相關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，隨著電商網(wǎng)購(gòu)的快速普及，快遞包裝業(yè)近年來實(shí)現(xiàn)了超過的高速年均增長(zhǎng)．針對(duì)這種大好形式，某化工廠引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為萬個(gè)包裝膠帶的生產(chǎn)線．已知該包裝膠帶的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)．為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該化工廠先進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了個(gè)包裝膠帶，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)包裝膠帶的質(zhì)量指標(biāo)值，并分成以下組：，，…，，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果及產(chǎn)品等級(jí)劃分如下表所示：質(zhì)量指標(biāo)值產(chǎn)品等級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)廢品頻數(shù)試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計(jì)總體的概率分布，并解決下列問題（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）：（1）由頻數(shù)分布表可認(rèn)為，該包裝膠帶的質(zhì)量指標(biāo)值近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．求的值；（2）已知每個(gè)包裝膠帶的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（單位：元）的關(guān)系如下表所示：（）質(zhì)量指標(biāo)值利潤(rùn)假定該化工廠所生產(chǎn)的包裝膠帶都能銷售出去，且這一年的總投資為萬元（含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等等一切費(fèi)用在內(nèi)），問：該化工廠能否在一年之內(nèi)通過生產(chǎn)包裝膠帶收回投資？試說明理由．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，，．江蘇省南通市西亭高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期省?？寄M二數(shù)學(xué)試題【題型四】分布列均值與方差（1）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，總體的平均數(shù)為，則稱_為總體方差，_為總體標(biāo)準(zhǔn)差．（2）總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有個(gè)，不妨記為，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為，則總體方差為_．（3）設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為，兩層的平均數(shù)分別為，方差分別為，，則這個(gè)樣本的方差為．1.（2021·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動(dòng)物試驗(yàn)階段，將1000只動(dòng)物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗(yàn)．第一輪注射，對(duì)該組的每只動(dòng)物都注射一次，若檢驗(yàn)出該組中有9只或10只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗(yàn)終止；否則對(duì)沒有產(chǎn)生抗體的動(dòng)物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗(yàn)．如果被二次注射的動(dòng)物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動(dòng)物是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率（用含的多項(xiàng)式表示）；（2）記該組動(dòng)物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．2.（22-23高二下·福建福州·期末）某疫苗生產(chǎn)單位通過驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；(2)現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若，求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗(yàn)總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：．3.（23-24高三上·四川成都·開學(xué)考試）在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中．而在n維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)與坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時(shí)，隨機(jī)變量X的方差小于．（已知對(duì)于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為）【題型五】競(jìng)技比賽型分布列1.（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測(cè)）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國(guó)的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績(jī)打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手．(1)小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？2.（2021·山東·模擬預(yù)測(cè)）國(guó)際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場(chǎng)比賽的失敗者直接淘汰，常見的有等等．表示雙方進(jìn)行一局比賽，獲勝者晉級(jí)．表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級(jí)；若前兩局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù)．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級(jí)，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨(dú)立．（1）在C進(jìn)入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．3.（23·24高三下·浙江·開學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場(chǎng)比賽勝者積2分，負(fù)者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空；積分首先累計(jì)到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.(1)若，求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望；(2)若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.【題型六】多人比賽競(jìng)技型分布列比賽模式，要考慮：比賽幾局？“誰贏了”；有沒有平局贏了的必贏最后一局；比賽為啥結(jié)束？1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知甲?乙?丙三人進(jìn)行一個(gè)項(xiàng)目的比賽.在一輪比賽中，每?jī)扇酥g均進(jìn)行一場(chǎng)比賽，且每場(chǎng)比賽均無平局出現(xiàn)，三場(chǎng)比賽結(jié)束后，若有人贏得兩場(chǎng)比賽，則該人獲勝，比賽結(jié)束：若三人各贏得一場(chǎng)比賽，則三人繼續(xù)進(jìn)行下一輪比賽，以此類推，直至有人在其中一輪比賽中贏得兩場(chǎng)比賽，該人獲勝，比賽結(jié)束.已知甲勝乙?甲勝丙?乙勝丙的概率分別為(1)求恰好在兩輪比賽后比賽結(jié)束的概率；(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，共進(jìn)行了輪比賽，且當(dāng)進(jìn)行了四輪比賽后仍無人贏得比賽則通過抽簽決出勝負(fù)，不再進(jìn)行第五輪比賽，求的分布列及數(shù)學(xué)期望，2.（23·24高三·海南?？凇るA段練習(xí)）甲、乙兩隊(duì)舉行圍棋擂臺(tái)賽，比賽規(guī)則如下：兩隊(duì)各出三人參加比賽，并按1，2，3號(hào)排定先后出場(chǎng)次序，第一局由雙方1號(hào)隊(duì)員出場(chǎng)比賽.每場(chǎng)比賽后，獲勝的隊(duì)員留下繼續(xù)比賽，告負(fù)的隊(duì)員淘汰出局，由該隊(duì)下一號(hào)隊(duì)員上場(chǎng)比賽.當(dāng)某隊(duì)三名隊(duì)員都被淘汰出局時(shí)比賽結(jié)束，有隊(duì)員未被淘汰的一方獲得擂臺(tái)賽勝利.假設(shè)各局比賽相互獨(dú)立，甲隊(duì)第m號(hào)隊(duì)員勝乙隊(duì)第n號(hào)隊(duì)員的概率為下表中第m行、第n列中的數(shù)據(jù).第1列第2列第3列第1列0.50.30.2第2列0.60.50.3第3列0.80.70.6(1)求甲隊(duì)2號(hào)隊(duì)員把乙隊(duì)三名隊(duì)員都淘汰出局的概率；(2)在第三局比賽中，甲隊(duì)和乙隊(duì)哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性更大?說明你的理由.3.（23·24高三·江蘇·開學(xué)考試）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉辦．中國(guó)田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級(jí)才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級(jí)與否互不影響．(1)試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大??；(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望．【題型七】遞推數(shù)列型馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)馬爾科夫不等式設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．證明：當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．的影響，與之前的無關(guān).1.（23·24高三上·湖北·期中）小明進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.(1)若小明共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；(2)若小明進(jìn)行兩組訓(xùn)練，第一組投籃3次，投中次，第二組投籃2次，投中次，求；(3)記表示小明投籃次，恰有2次投中的概率，記表示小明在投籃不超過n次的情況下，當(dāng)他投中2次后停止投籃，此時(shí)一共投籃的次數(shù)（當(dāng)投籃n次后，若投中的次數(shù)不足2次也不再繼續(xù)投），證明：.2.（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲n次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為.(1)求，，和；(2)寫出的遞推公式，并指出增減性.3.（20·21高三·福建福州·期中）一只螞蟻從正方形的頂點(diǎn)出發(fā)，每一次行動(dòng)順時(shí)針或逆時(shí)針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，其中順時(shí)針的概率為，逆時(shí)針的概率為，設(shè)螞蟻經(jīng)過步回到點(diǎn)的概率為.（1）求，；（2）設(shè)經(jīng)過步到達(dá)點(diǎn)的概率為，求的值；（3）求.【題型八】三人傳球遞推數(shù)列型多人比賽或者傳球模型，一般情況下涉及到獨(dú)立事件與互斥事件的識(shí)別，及概率運(yùn)算，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，如果符合常見的二項(xiàng)分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進(jìn)行運(yùn)算。如果限制條件較多，可以進(jìn)行羅列方式進(jìn)行分類討論計(jì)算1.（22·23高三·江蘇·）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?.（22·23高三山東濰坊·階段練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，…，30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號(hào)同學(xué)得到球后傳給號(hào)同學(xué)的概率為，傳給號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號(hào)的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大?。?.（22·23高三·廣東·階段練習(xí)）足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。绢}型九】導(dǎo)數(shù)計(jì)算型分布列最值1.（22-23高三浙江）某制藥公司研制了一款針對(duì)某種病毒的新疫苗.該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為，被感染的白鼠數(shù)用隨機(jī)變量X表示，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨(dú)立(1)若，求數(shù)學(xué)期望；(2)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為，現(xiàn)有兩個(gè)不同的研究團(tuán)隊(duì)理論研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關(guān).團(tuán)隊(duì)A提出函數(shù)模型為，團(tuán)隊(duì)B提出函數(shù)模型為.現(xiàn)將100只接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，將隨機(jī)變量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示.

（i）試寫出事件“”發(fā)生的概率表達(dá)式（用表示，組合數(shù)不必計(jì)算）；（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)使得概率最大，稱是的最大似然估計(jì).根據(jù)這一原理和團(tuán)隊(duì)A，B提出的函數(shù)模型，判斷哪個(gè)團(tuán)隊(duì)的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計(jì)，并求出最大似然估計(jì).參考數(shù)據(jù)：.2.（22-23高三·福建福州）某疫苗生產(chǎn)單位通過驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；(2)現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)