第7章拉伸與壓縮工程力學（材料力學）EngineeringMechanics(mechanicsofmaterials)知識點2：截面上的應(yīng)力7-2-1橫截面上的應(yīng)力7-2-2斜截面上的應(yīng)力第7章拉伸與壓縮知識點2：截面上的應(yīng)力7-2-1橫截面上的應(yīng)力軸向拉伸、壓縮桿件橫截面上的內(nèi)力—軸力FN，顯然是橫截面上法向分布內(nèi)力的合力。

要判斷一根桿件是否會因強度不足而破壞，還必須聯(lián)系桿件橫截面的幾何尺寸、分布內(nèi)力的變化規(guī)律找出分布內(nèi)力在各點處的集度——應(yīng)力。桿件橫截面上一點處法向分布內(nèi)力的集度稱為正應(yīng)力，以符號s

表示。定義：法向分布內(nèi)力的集度—

mm截面C點處的正應(yīng)力s

為：mmC（1）ΔFN是矢量，因而正應(yīng)力s也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正應(yīng)力的量綱為[力]/[長度]2。在國際單位制中，應(yīng)力的單位為帕斯卡(Pascal)，其中文代號是帕，國際代號是Pa

（1Pa=1N/m2）。mmC受力后受力前由于應(yīng)力在截面上的變化規(guī)律還不知道，所以無法求出。解決此問題的常用方法是，以桿件在受力變形后表面上的變形情況為根據(jù)，由表及里地作出內(nèi)部變形情況的幾何假設(shè)，再根據(jù)分布內(nèi)力與變形間的物性關(guān)系，得到應(yīng)力在截面上的變化規(guī)律，然后再通過靜力學中求合力的概念得到以內(nèi)力表示應(yīng)力的公式。在桿受軸向拉伸時，兩橫向周線雖然相對平移，但每一條周線仍位于一個平面內(nèi)。受力前受力后

平面假設(shè)：原為平面的橫截面A和B，在桿變形后仍為平面，且仍與桿的軸線垂直。這意味著桿件受軸向拉伸時兩橫截面之間的所有縱向線段其絕對伸長相同，伸長變形的程度也相等。受力后在工程上常假設(shè)材料是均勻的，連續(xù)的,而且是各向同性的。于是根據(jù)拉桿的變形情況，可以推斷，橫截面上各點處的正應(yīng)力處處相等。按靜力學求合力的概念可知：（2）式中，F(xiàn)N

為軸力，A

為橫截面面積。對于軸向壓縮的桿件，如果它具有足夠的抵抗彎曲的剛度，上式同樣適用。對應(yīng)于伸長變形的拉應(yīng)力為正，對應(yīng)于縮短變形的壓應(yīng)力為負。注意上式只在桿上離外力作用點稍遠的部分才正確，而在外力作用點附近的應(yīng)力情況比較復雜。外力作用于桿端的方式（例如，外力作用在桿件端面的局部或者整個端面），在一般情況下只會影響外力作用處附近橫截面上的應(yīng)力分布情況，而影響范圍不大于桿的橫向尺寸。圣維南原理：}FFFF影響區(qū)影響區(qū)（3）此最大軸力所在橫截面稱為危險截面，由此式算得的正應(yīng)力即危險截面上的正應(yīng)力，稱為最大工作應(yīng)力。當桿受幾個軸向外力作用時，從截面法可求得其最大軸力；對等直桿來講，將它代入公式,即得桿內(nèi)的最大應(yīng)力為：一橫截面面積A=400mm2的等直桿，其受力如圖所示。試求此桿的最大工作應(yīng)力。20kN20kN30kN.ABCD例題7-

2-1解：此桿的最大軸力為：最大工作應(yīng)力為：20kN20kN30kNABCDFN（kN）x3020O一橫截面為正方形的磚柱分上下兩段，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖所示。已知F=50kN,試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。例題7-2-1370FFF30004000240長度單位:mm解：首先作軸力圖。由于此柱為變截面桿，因此要求出每段柱的橫截面上的正應(yīng)力，從而確定全柱的最大工作應(yīng)力。50kN150kN370FFF30004000240長度單位:mm比較以上計算結(jié)果，得最大工作應(yīng)力為：50kN150kN370FFF30004000240長度單位:mm

拉、壓桿橫截面上正應(yīng)力的計算公式是建立在變形符合平面假設(shè)的基礎(chǔ)上的，即拉壓桿只有在變形符合這一假設(shè)，且材料均勻連續(xù)的條件下,才能應(yīng)用該公式。工程上常見的帶有切口、油孔等的軸向受拉桿件，在上述那些部位，由于截面尺寸急劇變化，同一橫截面上的正應(yīng)力并非處處相等，而有局部增大現(xiàn)象，即產(chǎn)生所謂“應(yīng)力集中”。應(yīng)力集中處的局部最大應(yīng)力smax與按等截面桿算得的應(yīng)力s0之比稱為應(yīng)力集中系數(shù)a

。最大應(yīng)力smax與按等截面桿算得的應(yīng)力s0之比即應(yīng)力集中系數(shù)a

：7-2-2斜截面上的應(yīng)力現(xiàn)討論斜截面上的應(yīng)力。則kFkFakFFk由圖知：仿求正應(yīng)力的分析過程，同樣可知斜截面上的應(yīng)力處處相等。則(A為橫截面的面積)kFkFaAp

用兩個分量來表示：正應(yīng)力

，切應(yīng)力

。則以上兩式表達了通過拉桿內(nèi)任一點的不同斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力隨a

角而改變的規(guī)律。FF可知：由式拉（壓）桿最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成±45o

的斜截面上，其大小為最大正應(yīng)力的一半。（3）拉（壓）桿任意兩個互相垂直的截面k-k

和

n-n

上的切應(yīng)力為：kFFknn切應(yīng)力互等定理:任何受力物體內(nèi)一點處，兩個相互垂直截面上與這兩個面的交線垂直方向的切應(yīng)力，也必定大小相等，而指向都對著（或都背離）這兩個垂直截面的交線。