高考數(shù)學專項研究：導數(shù)（3）入門基礎第三節(jié)二次函數(shù)型導函數(shù)一、關于對稱軸1.(2010年大綱卷文數(shù))已知函數(shù)fx=3ax4?2解:由已知得f′x=4x當a=0時,恒成立;當a>0當a<0時,對稱軸x=?12在綜上,a2.設fx=x2?2mx+解:恒成立不等式為x2?2mx+（1）當m≤?1時,gx在∴（2）當m>?1時,gx在?∴∴m∈(?3.設fx=?13x3+解:f′x當2a<1?a時,即當2a>1?a時,由于a∈有f′2a4.(2016年全國III理數(shù))fx=a解:當a≥1此時當0<a令t=cosx當1?a4a≥由a<2?3a得fx由??1綜上,當0<a≤15時,當二、關于實數(shù)根(一)根的分布1.(類型一:兩根討論)fx=exx2?m+2x解:設f′x當0<m?1≤當1≤m?1<2當2≤m?綜上,m【同源練習】①(2014年大綱文數(shù))函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx在區(qū)間1,2解:(1)f′x=(i)若a≥1,則f′x≥0,且f′(ii)由于a≠0,故當a<1時,若0<a<1,則當x∈故fx在?∞,當x∈x2,x1時,(2)當a>0,x>0時,f′若a<0時,fx在區(qū)間1,2是增函數(shù)當且僅當f綜上,a的取值范圍是?52.(類型二)fx=ex?ax?1解:f′x=當a>0時,設x1<x0≤x1<ln故有f0≥f【同源練習】（2018年成都一診）fx=e有兩個零點x1、解:gx=x?1g則x2?x1>ln故只需證g令?m所以?x>?2=所以gm>g3.(類型三)fx明:4解:gx=x?′x=3a故?x在0,x0因為x0<x2又?1=?3a+12(二)根的范圍1.(類型一:單根分析出范圍)fx=lnx?x?1解:由于fx<x當k<1時,令g令g′x=0故gx在1,x2單調(diào)遞增,又gx【同源練習】①(2019年江蘇)fx=xx解:fx易知fx1=M當②(2011年大綱文數(shù))已知fx=x3+3ax2+解:由f′x=(i)當?2?1(ii)當a>2?1或x故x0=x當a>2?當a<?2?1時,解不等式綜合(i)(ii)得a的取值范圍是?5③(2015年重慶理數(shù))設函數(shù)fx=3x2求a的取值范圍.解:f′x=由gx=0當x<x1時,gx<當x1<x<x2時,當x>x2時,gx<由fx在[3,+∞)上為減函數(shù),知x故a的取值范圍為?92.(類型二:雙根討論出范圍)fx=xx1<x解:f′x=2所以0令當所以?x單調(diào)遞減,?x【同源練習】fx=alnx求a的最小值.解:f′x由圖像可得極小值點為x1,故而于是極小值f故原函數(shù)單調(diào)遞減,所以f三、降次與升次利用一元二次方程公式對一次式、二次式和參數(shù)進行代換,如a(一)換二次項一降次1.fx=xb、c解:由題意有f′x2又由g′x2<0得即4b當b=?12,c=?[提示:此處可以利用線性規(guī)劃],故?2.fx=13x3+x2+ax有兩個極值點x解:f由x1?故f同理得f故x1,又因為這條直線交x軸于a2a?2代入可得f得a23a3.fx=xf法一【降次】:f′xbx1所以fx1令gt所以gt解法二:f′x=2x所以f因為b>3解法三:f′x=2f4.(2017年江蘇卷)已知函數(shù)fx=x3+（1）求b關于a的函數(shù)關系式,并寫出定義域;（2）證明:b2（3）若fx,f′x解:(1)由fx=x當x=?a3時,f′x有極小值b所以f?a3=?a因為fx有極值,故f′x=0a=3時,f′x>0xa>3時,f′列表如下x?∞,xxxxf+0-0+f7極大值y極小值↗故fx的極值點是x1,x2.從而a（2）由（1）知,ba=2aa9當t∈362,+∞時,g因為a>3,所以aa>3因此b2（3）由（1）知,fx的極值點是x1,從而f==記fx,f因為f′x的極值為b?因為?′a=?29因為?6=?72,于是?a≥?(二)換一次項一一升次1.fx=x2解:x1、x2為2則b此時證f由x1+令x1x2=t,tx2?φ′t<0(三)換參數(shù)1.若a≤?1法一:令ff′x=2ax且?′0=1>0,故存在α使得又?0=1>即ax0?2fx法二:lnx2.fx=x?解:f′x=3x?12進而f又f且3?2x0因此x1=3.a>0,fx解:令?令qx=?x在0,x2單調(diào)遞減,在x?x2k′x=?12所以kx2≤k1=4.fx=x3+解:f當Δ≤0即?3≤當Δ>0即b<?3時,f易證f若fx2<?1,作圖像可得存在t若fx2≥?1,作圖像可得存在t因為b=?32x2+1x2要使t取得最大值,只需fx2=?1所以b=?154,fx=x5.(2020年鄭州三模理數(shù))存在正實數(shù)k使得gx=kx解:分離參數(shù)可得a=k(注:如果此處無法發(fā)現(xiàn)這種形式,那么就直接換元,令x=?′x(注意:不要約分,因為這個區(qū)別大了去了,這是2016年高考題的手法,在我們的書中對于分離參數(shù),專門做出了:全分參直接分參型、全分參討論分參型、半分參曲直結(jié)合型、倒數(shù)分參分母跨零型、導數(shù)分參局部隔離型,這不正是最后一種嘛!)設ft=lnt?3當k≥1e當0<k<1即?′x故而?x在0,x1遞增,在當k∈0,1(這里是虛設零點的代換,或者說是升次與降次中的換參數(shù))?x1同理可得?x2四、一元二次函數(shù)(一)類型一:f1.已知函數(shù)fx=x解:f′(i)設a=0,則(ii)設a>0,則當x∈?∞,1時,f′在?∞,1上單調(diào)遞減,在1又f1=?e,f2=fb>a(iii)設a<0,由f′x=若a≥?e2,則ln?2a≤1,故當x∈1,+∞時,f′若a<?e2,則ln?2a>1f′x>0.因此fx在時,fx<0綜上,a的取值范圍為0,+∞2.fx=恒成立,求b?解:fx≤【再復雜的也能合,如果不能合那就二階導,這是解題的重要意識】?x=lnx+x+即a=x0+lnx當x∈x0,+∞由fx≤gxb?2at′x=當x∈1所以b?2a3.(2018年浙江理數(shù))fx=x解:設x得12<xx>5則fx≥0,由4.fx=ex?e?解:gg當b≤2時,g′x≥0當b>2時,若2<e又g0=0,因此當綜上,b的最大值為25.(2017年山東卷)已知函數(shù)fx=x(I)求曲線y=fx(II)令?x=g解:(I)由題意fπ=π2?因此曲線y=fx在點π即y=(II)由題意得?x因為?=令mx=x?sinx,則m′x所以當x>0時,mx>0(1)當a≤0時,ex?a當x>0時,所以當x=0時?x(2)當a>0時,?′x=①當0<a<當x∈?∞,lna當x∈lna當x∈0,+∞所以當x=lna時極大值為?ln當x=0時?x②當a=1時,所以當x∈?∞,+∞時,?′x≥③當a>1所以當x∈?∞,0當x∈0,ln當x∈lna所以當x=0時?x當x=lna時極小值是?ln綜上所述:當a≤0時,?x在?∞,函數(shù)?x有極小值,極小值是?當0<a<1時,函數(shù)?x在?∞,lna和遞減,函數(shù)?x極大值是?ln極小值是?0當a=1時,函數(shù)?x當a>1時,函數(shù)?x在?∞,在0,lna上單調(diào)遞減,函數(shù)極大值是?0極小值是?ln(二)類型二:f1.(2017年全國I理數(shù))已知函數(shù)fx=