第二十五章概率初步

全章知識(shí)點(diǎn)梳理人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)一?選擇題1.小美和小好做“石頭?剪刀?布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢(shì)，這個(gè)事件是()A.隨機(jī)事件B.不可能事件C.必然事件D.確定性事件A2.

一個(gè)不透明袋子中裝有4個(gè)白球?3個(gè)紅球?2個(gè)綠球?1個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列事件發(fā)生的概率為的是(

)A.摸出白球B.摸出紅球C.摸出綠球D.摸出黑球B3.3月14日是國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，某學(xué)校在今年國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)策劃了“競(jìng)速華容道”“玩轉(zhuǎn)幻方”和“巧解魯班鎖”三個(gè)挑戰(zhàn)活動(dòng).如果小紅和小麗每人隨機(jī)選擇參加其中一個(gè)活動(dòng)，那么她們恰好選到同一個(gè)活動(dòng)的概率是(

)A.B.C.D.C4.如圖，用力轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)甲和轉(zhuǎn)盤(pán)乙的指針，則哪個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的指針停在白色區(qū)域的概率大()A.轉(zhuǎn)盤(pán)甲 B.轉(zhuǎn)盤(pán)乙 C.無(wú)法確定D.一樣大D5.數(shù)學(xué)課上，老師和同學(xué)們做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)”獲得的數(shù)據(jù)如表：若拋擲硬幣的次數(shù)為2000，則“正面朝上”的次數(shù)最接近()A.400B.600C.1000D.1600C6.

如圖，電路圖上有4個(gè)開(kāi)關(guān)S1、S2、S3、S4，電源、小燈泡和線路都能正常工作.若隨機(jī)閉合2個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為(

)A7.從－2，－1，0，1，2這五個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，滿足不等式2x＋3>0的概率是(

)

D8.從1，2，3，4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有實(shí)數(shù)解的概率為(

)C9.在盒子里放有三張分別寫(xiě)有整式a＋1，a＋2，2的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是(

)B10.平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對(duì)角線，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中隨機(jī)取出一個(gè)作為條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形的概率為(

)B二?填空題1.有四枚材質(zhì)?大小?背面圖案完全相同的中國(guó)象棋棋子，將它們背面朝上任意放置，從中隨機(jī)翻開(kāi)一枚，恰好翻到棋子的概率是____.2.五張不透明的卡片，正面分別寫(xiě)有實(shí)數(shù)－1，，5.060060006…(相鄰兩個(gè)6之間0的個(gè)數(shù)依次加1)，這五張卡片除正面的數(shù)不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張，取到的卡片正面的數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是____.

3.如圖，有5張不透明的卡片，除正面上的圖案不同外，其他均相同.將這5張卡片背面向上洗勻后放在桌面上.(1)從中隨機(jī)抽取1張卡片，卡片上的圖案是中心對(duì)稱圖形的概率為_(kāi)___； (2)若從中隨機(jī)抽取1張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取1張，兩次所抽取的卡片恰好都是軸對(duì)稱圖形的概率為_(kāi)___. 4.如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同.若某人向游戲板投擲飛鏢一次(假設(shè)飛鏢落在游戲板上)，則飛鏢落在陰影部分的概率為_(kāi)___.5.班級(jí)開(kāi)展迎新年聯(lián)歡晚會(huì)時(shí)，在教室懸掛了如圖所示的四個(gè)福袋A、B、C、D.在抽獎(jiǎng)時(shí)，每次隨機(jī)取下一個(gè)福袋，且取A之前需先取下B，取C之前需先取下D，直到4個(gè)福袋都被取下.(1)第一個(gè)取下的福袋是D的概率為_(kāi)___；

(2)第二個(gè)取下的福袋是A的概率為_(kāi)___.6.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，任選一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使圖中黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是_____.7.

已知不透明的袋子中只裝有黑?白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有4個(gè)，黑球有x個(gè).若隨機(jī)從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出黑球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則x的值為_(kāi)__.8.一個(gè)鞋柜里放有一雙白色運(yùn)動(dòng)鞋和一雙黑色皮鞋，如果從中隨機(jī)取出2只鞋子，那么取出的鞋子是同一雙的概率為_(kāi)__.69.

如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤(pán)ABCD內(nèi)，若飛鏢落在鏢盤(pán)內(nèi)各點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為_(kāi)___.10.

如圖，電路上有S1?S2?S3?S4四個(gè)斷開(kāi)的開(kāi)關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為_(kāi)___.三?解答題1.一個(gè)不透明的口袋里有10個(gè)除顏色外形狀大小都相同的球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)黃球.(1)若從中隨意摸出一個(gè)球，則摸出紅球的概率為_(kāi)___；(2)若從中隨意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，求袋子中需再加入幾個(gè)紅球.解：(2)設(shè)袋子中需再加入x個(gè)紅球.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原方程的解.依題意，得，解得x＝8.∴若從中隨意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，袋子中需再加入8個(gè)紅球.2.2024年“五一”假期，揚(yáng)州各旅游景區(qū)持續(xù)火熱.小明和小亮準(zhǔn)備到東關(guān)街?瘦西湖?運(yùn)河三灣風(fēng)景區(qū)?個(gè)園?何園(分別記作A?B?C?D?E)參加公益講解活動(dòng).(1)若小明在這5個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，則選中東關(guān)街的概率是____；(2)小明和小亮在C?D?E三個(gè)景區(qū)中，各自隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求小明和小亮選到相同景區(qū)的概率.解：(2)列表如表：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選到相同景區(qū)的結(jié)果有3種，∴小明和小亮選到相同景區(qū)的概率為.3.某游戲有個(gè)摸球的環(huán)節(jié)，現(xiàn)有四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字4，－2，3，－1的小球，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們放入一個(gè)不透明的布袋中，攪勻后從袋中隨機(jī)地摸取一個(gè)不放回，將該小球上的數(shù)字記為a，再隨機(jī)地摸取一個(gè)，將小球上的數(shù)字記為b.(1)請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法給出(a，b)所有可能的結(jié)果；解：(1)列表如表：(2)求所選出的a，b能使坐標(biāo)點(diǎn)(a，b)落在第二象限的概率.解：(2)由表知，共有12種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)(a，b)落在第二象限的概率為

.4.

某校一年級(jí)開(kāi)設(shè)人數(shù)相同的A?B?C?D四個(gè)班級(jí)，甲?乙兩位學(xué)生是該校一年級(jí)的新生，開(kāi)學(xué)初學(xué)校對(duì)所有一年級(jí)的新生進(jìn)行電腦隨機(jī)分班.(1)“學(xué)生甲分到A班”的概率是____；(2)請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求甲?乙兩位新生分到同一個(gè)班的概率.解：(2)列表如表：共有16種等可能的結(jié)果，其中甲?乙兩位新生分到同一個(gè)班的結(jié)果有4種，∴甲?乙兩位新生分到同一個(gè)班的概率為.5.

一個(gè)不透明的布袋里裝有若干個(gè)白球?1個(gè)紅球和1個(gè)黑球，它們除顏色外無(wú)其他差別，每次把布袋里的小球搖勻后，隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回布袋里，進(jìn)行了100次摸球試驗(yàn)，其中摸出紅球25次.(1)估計(jì)布袋里白球有__個(gè)；2解：(1)設(shè)布袋里白球有x個(gè).經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的解，即布袋里白球有2個(gè).故答案為2.依題意，得，解得x＝2.(2)先從布袋中摸出1個(gè)球后放回，再摸出1個(gè)球，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出兩次摸到的球都是白球的概率.共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球都是白球的結(jié)果有4種，∴兩次摸到的球都是白球的概率為.解：(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：6.小月和小浩分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，則可配成紫色，此時(shí)小月得2分，否則小浩得1分. (1)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求配成紫色的概率； 共有6種等可能的結(jié)果，配成紫色的有1種結(jié)果.

∴P(配成紫色)＝P(一紅一藍(lán))＝

；

解：(1)把B轉(zhuǎn)盤(pán)中的黃色區(qū)域平均分成兩部分，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

(2)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？若你認(rèn)為不公平，如何修改規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？ ∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.

修改規(guī)則為：配成紫色時(shí)小月得2分，配成同色時(shí)小浩得2分.

解：(2)由(1)得，不能配成紫色的概率為1－

，

∵

×2<

×1，

7.在甲、乙兩個(gè)不透明的口袋中，分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，先從甲口袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字為m，再?gòu)囊铱诖腥我饷鲆粋€(gè)小球，記下數(shù)字為n. (1)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法表示出所有(m，n)可能的結(jié)果；

解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖如下： (2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，則小明獲勝；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解，則小利獲勝.他們兩人誰(shuí)獲勝的概率大？

解：(2)∵m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，

∴m＝2或3，n＝2或3. 由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解的情況有4種，m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解的結(jié)果有2種.

∴小明獲勝的概率大.∴小明獲勝的概率為

，小利獲勝的概率為

.∵

，8.(1)如圖1，某科技館展覽大廳有A、B兩個(gè)入口，C、D、E三個(gè)出口，麗麗與歡歡相約去該科技館，他們從同一入口B進(jìn)入后分散參觀，結(jié)束后，隨機(jī)從一出口走出.請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法，求她們恰好從同一出口走出的概率； 共有9種等可能的結(jié)果，其中恰好從同一出口走出的結(jié)果有3種，∴她們恰好從同一出口走出的概率為

.解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：(2)(2024·鼓樓區(qū)校級(jí)月考)小王和小李兩名同學(xué)周末約好參觀展覽館，如圖2是該展覽館出入口示意圖.小王和小李分別從兩入口進(jìn)入?yún)⒂^.參觀結(jié)束后，隨機(jī)從一出口走出.請(qǐng)通過(guò)列表法求小王和小李恰好從同一出口走出的概率. 解：(2)列表如表： 共有9種等可能的結(jié)果，其中小王和小李恰好從同一出口走出的結(jié)果有3種，∴小王和小李恰好從同一出口走出的概率為.9.實(shí)施新課程改革后，學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流能力有很大提高.張老師為了了解所教班級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況，對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果分成四類：A.特別好；B.好；C.一般；D.較差，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.(1)本次調(diào)查中C類女生有___名，D類男生有___名，將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；2解：(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為(6＋4)÷50%＝20(人)，1∴本次調(diào)查中C類女生有20×25%－3＝2(人).∴D類男生有2