北師大版2024·八年級(jí)上冊(cè)1.2一定是直角三角形嗎

第一章

勾股定理

章節(jié)導(dǎo)讀

三角形1.1探索勾股定理1.2勾股定理逆定理（判斷直角三角形）直角三角形邊角關(guān)系全等三角形邊角

關(guān)系勾股定理逆定理勾股數(shù)判斷直角三角形勾股定理解直角三角形勾股定理的證明

方法1.3勾股定理的應(yīng)用折疊問題大樹折斷/蘆葦問題幾何體表面最短路徑問題情景引入

提問：繩子上打結(jié)將繩子分成3:4:5的三段，拉直后圍成的三角形為什么是直角三角形呢？溫故知新勾股定理：

在一個(gè)直角三角形中，直角邊的平方和等于斜邊的平方，反過來，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？1.2學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)（P10-P11）124理解“直角三角形的判定定理”，能區(qū)分勾股定理及勾股定理逆定理的條件和結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系（勾股定理與勾股定理逆定理的互逆關(guān)系）；會(huì)根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形；應(yīng)用勾股定理及其逆定理，在會(huì)判定直角三角形的條件下，解決和直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，提高勾股定理的應(yīng)用意識(shí)并形成直角三角形的模型觀念。3理解直角三角形的判定定理的證明思路和方法，提高演繹推理能力；下面每組數(shù)分別是三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c：①3,4,5；

②5,12,13；

③8,15,17；

④7,24,25；⑤2,3,4。新知探究（一）實(shí)驗(yàn)操作，初步感知要求：(1)每個(gè)小組選擇2組數(shù)據(jù)，用尺規(guī)在紙上嘗試畫出相應(yīng)的三角形。(2)用量角器測(cè)量所畫三角形中最大邊所對(duì)的角。(3)計(jì)算每組數(shù)據(jù)中，兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方，比較它們的關(guān)系。問題1.計(jì)算三角形三邊長(zhǎng)的平方，判斷是否滿足a2+b2=c2？問題2.分別以每組數(shù)為邊長(zhǎng)畫出三角形，并判斷它們是直角三角形么？畫三角形方法提示：①先用有刻度的直尺作出三條符合數(shù)據(jù)的線段長(zhǎng)；②再用尺規(guī)作三角形。新知探究（一）實(shí)驗(yàn)操作，初步感知展示畫圖結(jié)果354512

13817

15725

24243

①

②

③

④

⑤新知探究(二)觀察比較，提出猜想問題1.畫出的三角形中，最大角是直角嗎？此時(shí)三邊平方有什么關(guān)系？

①

②

③

④

⑤354512

13817

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24243最大角為直角的有：①②③④；

三邊關(guān)系：

①32+42=25=52；②52+122=169=132；③82+152=289=172；④72+242=625=252問題2.哪些組畫出的三角形最大角不是直角？此時(shí)三邊平方有什么關(guān)系？⑤，22+32=13＜16=42問題3.滿足a2+b2=c2（c最長(zhǎng)）的幾組數(shù)據(jù)（①②③④），它們都能畫出直角三角形，由此你能得出什么結(jié)論？104.5°新知探究(二)觀察比較，提出猜想猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足

a2+b2=c2（其中c是最長(zhǎng)邊），那么這個(gè)三角形是直角三角形。這一猜想一定正確嗎？如何證明？求證：△ABC是直角三角形（即∠C=90°）。新知探究（三）推理論證，形成定理已知：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,且

a2+b2=c2(假設(shè)c是最長(zhǎng)邊)。能否構(gòu)造一個(gè)已知的直角三角形，使其與原三角形三邊對(duì)應(yīng)相等？c∴∠C

=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。新知探究（三）推理論證，形成定理勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。其中最長(zhǎng)邊

c

是斜邊。c勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a、b、c，稱為勾股數(shù)。提分筆記勾股數(shù)的兩個(gè)必要條件：

①a2+b2=c2；②正整數(shù)注意：斜邊是直角三角形中的最長(zhǎng)邊，在未判斷出直角三角形前，不能用斜邊的概念，只能使用最長(zhǎng)邊。繩子上打結(jié)將繩子分成3:4:5的三段，拉直后圍成的三角形為什么是直角三角形？應(yīng)用新知解：設(shè)三邊分別為5x、4x、3x導(dǎo)入問題的“埃及三角形”揭秘3x5x4x①確定最長(zhǎng)邊：5x②計(jì)算：(3x)2=9x2，(4x)2=16x2，

(5x)2=25x2③比較：9x2+16x2=25x2∴三邊滿足逆定理，它一定是直角三角形。應(yīng)用新知判斷零件的形狀是否滿足要求又∵52+122=25+144=169=132，∴△DBC為Rt△，∠DBC=90°，解：①確定最長(zhǎng)邊：在△ABD中BD是最長(zhǎng)邊，在△BCD中CD是最長(zhǎng)邊。②計(jì)算與比較：

∵32+42=9+16=25=52，∴△ABD為Rt△，∠A=90°，

∴這個(gè)零件符合要求。例2（課本P10例題）.一個(gè)零件的形狀如圖1-14所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖1-15所示，這個(gè)零件符合要求嗎?提分筆記判斷直角三角形的步驟：①確定三角形的最長(zhǎng)邊c；②計(jì)算各邊長(zhǎng)的平方：a2、b2、

c2；

③比較a2+b2和

c2（最長(zhǎng)邊的平方）題型一.判斷是否為直角三角形題型探究判斷△BEF的形狀：1.（課本P11隨堂練習(xí)1）下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)?說說你的理由。（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。2.（隨堂練習(xí)2）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形?你是如何判斷的?與同伴進(jìn)行交流。？224431題型一.勾股定理與等面積法求三角形一邊上的高題型探究24m7m15m20m題型二.應(yīng)用勾股定理及其逆定理求四邊形面積題型探究方法點(diǎn)撥：①求三角形三邊邊長(zhǎng)；②判斷三角形的形狀；③分別求兩個(gè)三角形的面積作和（差）。431312求△CBD的面積判斷△CBD的形狀勾股定理：求CB的長(zhǎng)343471思考與討論：勾股定理和勾股定理逆定理有什么關(guān)系？拓展提升Rt△ABC（∠C=90°）條件勾股定理：結(jié)論勾股定理：a2+b2=c2a2+b2=c2(c最長(zhǎng))Rt△（∠C=90°）問題1.它們的條件和結(jié)論分別是什么？有什么關(guān)系？勾股定理的條件是勾股定理逆定理的結(jié)論，勾股定理的結(jié)論是勾股定理逆定理的條件。勾股定理和其逆定理屬于互逆命題（互逆定理）。問題2.三角形的三邊a、b、c滿足a2+c2=b2

或b2+c2=a2

時(shí)，是否還是直角三角形？答：是直角三角形，

滿足a2+c2=b2時(shí)b為斜邊，滿足b2+c2=a2時(shí)a為斜邊。與勾股數(shù)有關(guān)的運(yùn)算問題拓展提升15（8）課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么重要定理？2.如何運(yùn)用這個(gè)定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形？3.它和勾股定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？4.探究過程中我們用了哪些方法？課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容