北師大版2024·八年級上冊2.3二次根式的混合運(yùn)算

（第3課時(shí)）

第二章

實(shí)數(shù)

章節(jié)導(dǎo)讀實(shí)數(shù)2.1認(rèn)識實(shí)數(shù)2.2平方根與立方根無理數(shù)平方根立方根二次根式算術(shù)平方根平方根立方根無限不循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)2.3二次根數(shù)二次根式的乘除最簡二次根式二次根式的混合運(yùn)算無理數(shù)數(shù)的估算與比較2.3.1學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)（P45-P46）123理解并應(yīng)用二次根式的四則運(yùn)算法則，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，提升運(yùn)算能力；掌握混合運(yùn)算的步驟和策略，運(yùn)用分類討論思想和整體思想，提升邏輯思維能力；解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，提升問題解決能力和合作意識.情景引入梯田A：上底=6m，下底=10m，高=4m梯田A的面積是多少？

梯田B的面積是多少？

梯田B的面積該如何計(jì)算？本節(jié)課將解決這一問題！溫故知新通過以上問題，猜測一下：如何進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算1.最簡二次根式的判斷標(biāo)準(zhǔn)：①開方數(shù)不含分母②被開方數(shù)不含開得盡的因數(shù)或因式2.判斷同類二次根式：①先將二次根式化到最簡②再對比被開方數(shù)是否一致3.二次根式的乘除法則

4.同類二次根式的加減法則：系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)保持不變※問題1如何處理混合運(yùn)算中分母含有無理數(shù)問題?新知探究探究1二次根式的混合運(yùn)算

②二次根式的運(yùn)算的需要化簡，分式的加減需要通分基于以上分析可以發(fā)現(xiàn)，解決此題的難點(diǎn)是主要是：在這兩個(gè)式子中，分母都有根號，這直接導(dǎo)致二次根式的化簡與通分困難，進(jìn)而影響分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算如何解決這個(gè)問題？下面我們先看看小明的做法※問題1如何處理混合運(yùn)算中分母含有無理數(shù)問題?新知探究探究1二次根式的混合運(yùn)算2.仔細(xì)觀察小明對（1）式的計(jì)算步驟，回答下列問題：

分母含有無理數(shù)的分式，分子分母同乘它的無理數(shù)部分

化為同分母分?jǐn)?shù)相加

分母相同，分子相加減※問題1如何處理混合運(yùn)算中分母含有無理數(shù)問題?新知探究探究1二次根式的混合運(yùn)算

解：方法一：先化簡再合并

※問題1如何處理混合運(yùn)算中分母含有無理數(shù)問題?新知探究探究1二次根式的混合運(yùn)算5.通過以上探索，我們發(fā)現(xiàn)處理混合運(yùn)算中分母含有無理數(shù)問題主要通過分母有理化，分母有理話具體如何操作？①當(dāng)式子中的分母為單項(xiàng)式時(shí)只需分子分母同乘分母中的無理數(shù)即可②當(dāng)式子中的分母為多項(xiàng)式時(shí)則需要借助平方差公式，化無理式為有理式.你認(rèn)為“分母有理化”有何意義？新知探究探究1二次根式的混合運(yùn)算分母有理化的意義：分母有理化是數(shù)學(xué)中的一種重要變形方法；其核心意義在于將分母中含有的無理數(shù)（如根號形式）轉(zhuǎn)化為有理數(shù)從而簡化表達(dá)式、方便后續(xù)的計(jì)算和分析即時(shí)訓(xùn)練探究1二次根式的概念

典例分析

典例分析

（5）對于（3）的計(jì)算，你還有其他方法嗎？先化簡括號內(nèi)的式子，在進(jìn)行除法運(yùn)算

一化：把所有二次根式化為最簡二次根式二算：按四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算，加減時(shí)，只有被開方數(shù)相同的最簡二次根式（即同類二次根式）才能合并三簡：計(jì)算中隨時(shí)約分、通分簡化，結(jié)果要最簡方法技巧※問題2二次根式的混合運(yùn)算在化簡以及數(shù)形結(jié)合方面的應(yīng)用.新知探究探究2二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用

解：①先化簡

②代值

方法技巧在代值求解的計(jì)算中，通常先化簡，再將已知的值代入，不僅能夠大大地簡化計(jì)算，更能夠提升正確率※問題2二次根式的混合運(yùn)算在化簡以及數(shù)形結(jié)合方面的應(yīng)用.新知探究探究2二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用2.如圖，方格紙中每個(gè)小方格的邊長均為1。（1）求梯形ABCD的周長。（2）求梯形ABCD的面積。你有哪些求解方法？與同伴進(jìn)行交流。解：（1）周長是四邊長度之和，

方法技巧在求邊長時(shí)，要注意結(jié)合勾股定理求一些不能直接數(shù)出來的邊長※問題2二次根式的混合運(yùn)算在化簡以及數(shù)形結(jié)合方面的應(yīng)用.新知探究探究2二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用2.如圖，方格紙中每個(gè)小方格的邊長均為1。（1）求梯形ABCD的周長。（2）求梯形ABCD的面積。你有哪些求解方法？與同伴進(jìn)行交流。解：（2）方法1：“梯形公式法”（直接數(shù)底和高）

代入公式得：

※問題2二次根式的混合運(yùn)算在化簡以及數(shù)形結(jié)合方面的應(yīng)用.新知探究探究2二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用2.如圖，方格紙中每個(gè)小方格的邊長均為1。（1）求梯形ABCD的周長。（2）求梯形ABCD的面積。你有哪些求解方法？與同伴進(jìn)行交流。方法2：“分割法”（數(shù)完整格子）將梯形分割為“矩形+兩個(gè)直角三角形”，分別數(shù)各部分的格子數(shù)：

總面積3+6+9=18※問題2二次根式的混合運(yùn)算在化簡以及數(shù)形結(jié)合方面的應(yīng)用.新知探究探究2二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用3.通過以上學(xué)習(xí)，請你談?wù)勄髨D形的面積有哪些方法？①整體法：可直接用面積公式求出，也可以利用填補(bǔ)的思路，看作一個(gè)規(guī)則圖形，在不填補(bǔ)的部分減去②切割法：將圖形切割為幾個(gè)比較好求的部分，再計(jì)算出其面積即可.4.對比有理數(shù)和實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)過程，你對“數(shù)”的擴(kuò)充有什么感悟？①數(shù)的擴(kuò)充是“解決矛盾”的必然結(jié)果②數(shù)的擴(kuò)充保持“運(yùn)算一致性”③數(shù)的擴(kuò)充提升“描述準(zhǔn)確性”④數(shù)的擴(kuò)充體現(xiàn)“嚴(yán)謹(jǐn)性”的提升拓展提升

應(yīng)用新知

題型總結(jié)

題型總結(jié)

解：長方形的對角線可用勾股定理來求，

類型四：規(guī)律探究類

真題感知

AA真題感知