24.2.2(第3課時(shí))切線長定理及三角形的內(nèi)切圓

第二十四章

圓

人教版2024·九年級(jí)上冊(cè)情境導(dǎo)入

滾鐵環(huán)是90后童年最有趣的玩具之一，觀察圖片，你能找到圖中直線和圓的位置關(guān)系嗎？知識(shí)建構(gòu)OP作圖解答：過⊙O外一點(diǎn)P能夠畫圓的幾條切線呢？劣弧與優(yōu)弧切線長P

經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．AO知識(shí)建構(gòu)思考：切線與切線長有什么區(qū)別？（2）切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.（1）切線是一條與圓相切的直線，不能度量；知識(shí)建構(gòu)思考：如圖，已知⊙O及⊙O外的一點(diǎn)P，PA與⊙O相切于A點(diǎn)，

PB與⊙O相切于B點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系？利用圓的軸對(duì)稱性進(jìn)行度量或者通過折疊等方式，猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO你能證明你的猜想嗎？知識(shí)建構(gòu)已知PA,PB分別為圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.求證：PA=PB，∠APO=∠BPOAPOB證明：連接OA、OB、OP∵PA、PB與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，

OA、OB為半徑∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°在Rt△AOP和Rt△BOP中∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB，∠APO=∠BPO如何用文字語言敘述該結(jié)論？劣弧與優(yōu)弧切線長定理

過圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.∵PA、PB分別切

☉O于

A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPB幾何語言：BPOA切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.知識(shí)建構(gòu)思考：若連接兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢?請(qǐng)證明你的猜想.證明：∵PA，PB是⊙O的切線，

點(diǎn)A、B是切點(diǎn)

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB（切線長定理）

∴△PAB是等腰三角形，PO為頂角的平分線

∴OP垂直平分AB（等腰三角形三線合一）猜想：OP垂直平分AB例題講解

例1下列說法正確的是(

)A．過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線B．圓的切線長就是圓的切線的長度C．過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等D．過圓外一點(diǎn)所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑C（過圓外一點(diǎn)）（圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長度）（不能確定大小關(guān)系）例題講解

例2

C例題講解

例3

E例題講解

例4

例題講解

例5例題講解

例5例題講解

例6

劣弧與優(yōu)弧歸納拓展PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交☉O于點(diǎn)D、E，交AB于C.BPOACED（1）圖中所有的垂直關(guān)系：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）圖中與∠OAC和∠AOC相等的角：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC（3）圖中所有的相等的線段：PA=PB，AC=BC，OA=OB.（4）圖中所有的全等三角形:△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（5）圖中所有的等腰三角形:△ABP△AOB劣弧與優(yōu)弧切線的基本模型APOB（1）連接圓心和切點(diǎn)，得到直角；APOB（2）連接兩切點(diǎn)，構(gòu)建等腰三角形；APOB（3）連接圓心和圓外一點(diǎn)，得到角平分線.在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要構(gòu)建以下三個(gè)基本圖形：知識(shí)建構(gòu)

小華家里最近在裝修，他對(duì)木工非常感興趣，木工師傅裝修的廢料中有一塊三角形的模板，小華想利用三角形模板裁剪出一個(gè)最大的圓形模板出來，你能幫助小華設(shè)計(jì)裁剪方法嗎？知識(shí)建構(gòu)思考：

如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO知識(shí)建構(gòu)已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓

O.MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分線

BM和

CN，交點(diǎn)為

O.2.過點(diǎn)

O作OD⊥BC，垂足為

D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO劣弧與優(yōu)弧劣弧與優(yōu)弧1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)

I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.知識(shí)建構(gòu)思考：

如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，那么

AO、BO、CO有什么特點(diǎn)？BACIAO、BO、CO分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACI知識(shí)建構(gòu)思考：如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，過點(diǎn)

O分別作

AB、AC、BC的垂線，垂足分別為

E、F、G，那么線段

OE、OF、OG之間有什么數(shù)量關(guān)系？EFGOE=OF=OG.劣弧與優(yōu)弧三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.BACIAI、BI、CI分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.劣弧與優(yōu)弧外接圓與內(nèi)切圓名稱外心(三角形的外接圓圓心，即三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)).內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心，即三角形三條角平分線的交點(diǎn)).圖形性質(zhì)位置角度關(guān)系三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.外心不一定在三角形的內(nèi)部.內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部.

∠BOC=2∠A.例題講解

例7例題講解

例8如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，（1）若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的長．（2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的長．（3）若△ABC的周長為33，OE=4，求△ABC的面積.例題講解

例8求AB,BC,ACAB=9,BC=14,AC=13求BF,CD,AE459

切線長定理495切線長

邊長如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，（1）若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的長．例題講解

例8如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，（2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的長．yzz邊長

切線長91314xxyAF=4，BD=5，CE=9例題講解

例8面積OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB(底？高？)rrr如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，（3）若△ABC的周長為33，OE=4，求△ABC的面積.周長、內(nèi)切圓半徑劣弧與優(yōu)弧三角形內(nèi)切圓半徑b-rrrb-ra-ra-rrrr特別地，在直角三角形中，有例題講解

例9本課小結(jié)切線切線長定理作用圖形的軸對(duì)稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點(diǎn)；連接兩切點(diǎn)；連接圓心和圓外一點(diǎn).三角形內(nèi)切圓運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.有關(guān)概念內(nèi)心概念及性質(zhì)應(yīng)用課后鞏固1.如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，

OP交⊙O于點(diǎn)C