微專題6平面向量中的綜合問題【備選理由】例1、例2以“奔馳定理”“歐拉線”為背景命題,是對(duì)三角形“四心”問題的拓展.1[配合微點(diǎn)三、四使用](多選題)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是 (ACD)A.若AM=13AB+13AC,則點(diǎn)MB.若AM=2AB-AC,則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C.若O在△ABC所在的平面內(nèi),2OA+2OB+OC=0,則S△OBC=25S△D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則△MBC的面積是△ABC的面積的[解析]對(duì)于A,由AM=13AB+13AC,得AB+AC則MA+MB+MC=-AM+(AB-AM)+(AC-AM)=AB+AC-3AM=0,所以點(diǎn)M是△ABC的重心,故A正確.對(duì)于B,若AM=2AB-AC,則BM=AM-AB=2AB-AC-AB=AB-AC=-BC,所以點(diǎn)M在邊BC的反向延長線上,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,如圖①,延長OA到點(diǎn)D,使OD=2OA,延長OB到點(diǎn)E,使OE=2OB,連接CD,DE,EC,因?yàn)?OA+2OB+OC=0,所以O(shè)D+OE+OC=0,以O(shè)D,OE為鄰邊作平行四邊形ODGE,則OG=OD+OE,則OG=-OC,即|OC|=|OG|,所以S△OBC=12S△OEC=12S△同理S△OAC=12S△OGD=12S△設(shè)OG∩AB=H,因?yàn)镾△ABC=S△CHB+S△CHA=54S△OBC+54S△OAC=58S△OGE+58S△OGD=5所以S△OBC=25S△ABC,故C正確對(duì)于D,如圖②,設(shè)M為AD的中點(diǎn),因?yàn)锳M=xAB+yAC,所以2AM=2xAB+2yAC,即AD=2xAB+2yAC,因?yàn)閤+y=12,所以2x+2y=1,所以D,C,B三點(diǎn)共線所以S△MBC=12S△ABC,故D正確故選ACD.2[配合微點(diǎn)四使用](多選題)“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志而得名,是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著緊密的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是:已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),△BMC,△AMC,△AMB的面積分別為SA,SB,SC,且SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下說法正確的是 (ABD)A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,則M為△ABC的重心B.若M為△ABC的內(nèi)心,則BC·MA+AC·MB+AB·MC=0C.若∠BAC=45°,∠ABC=60°,M為△ABC的外心,則SA∶SB∶SC=1∶3∶2D.若M為△ABC的垂心,2MA+3MB+4MC=0,則cos∠AMB=-7[解析]對(duì)于A,若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,則由SA·MA+SB·MB+SC·MC=0,得MA+MB+MC=0,則M為△ABC的重心,故A正確.對(duì)于B,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,由SA·MA+SB·MB+SC·MC=0,得r2·BC·MA+r2·CA·MB+r2·AB·MC=0,則BC·MA+CA·MB+AB·MC=0,故對(duì)于C,如圖①,設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,則SA∶SB∶SC=R22sin∠BMC∶R22sin∠CMA∶=sin2∠BAC∶sin2∠ABC∶sin2∠ACB=sin90°∶sin120°∶sin150°=2∶3∶1,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,由2MA+3MB+4MC=0,得2MA+3(MA+AB)+4(MA+AC)=0,則AM=32+3+4AB+42+3+4AC,又32+3+4和42+3+4都是正數(shù)且相加小于1,所以M在△ABC內(nèi)部由M在△ABC內(nèi)部,得SA·MA+SB·MB+SC·MC=0,同理可由SA·MA+SB·MB+SC·MC=0,得AM=SBSA由AB,AC不共線,知{AB,AC}是一個(gè)基底,則SBSA+SB+SC=32+3+4,SCSA+SB+SC如圖②,設(shè)點(diǎn)A,B,C到對(duì)邊的投影分別是D,E,F,△ABC的面積為S,不妨將∠BAC,∠ABC,∠BCA分別簡記為角A,B,C,在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.因?yàn)椤螹BC=90°-∠BCA=∠MAC,∠MDB=90°=∠ADC,所以△MBD∽△CAD,所以MDBD=CD則MD=BD·CDAD=c所以SA=12a·MD=a2bccosBcosC4S,同理S則2∶3∶4=SA∶SB∶SC=acosBcosC∶bcosCcosA∶ccosAcosB=acosA∶bcosB∶ccosC=sinAcosA∶sinBcosB設(shè)tanA=2t,tanB=3t,tanC=4t,其中t>0,則4t=tanC=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB