《全品高考復(fù)習(xí)方案》第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【課標(biāo)要求】1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).

2.了解對數(shù)函數(shù)的概念,能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù).1.對數(shù)概念如果(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù),記作x=,其中a叫作對數(shù)的,N叫作

性質(zhì)底數(shù)的限制:a>0,且a≠1對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?

負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)1的對數(shù)是:loga1=

底數(shù)的對數(shù)是:logaa=

對數(shù)恒等式:alogaN運(yùn)算性質(zhì)loga(M·N)=

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(n∈R)

換底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;2.對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)(1)對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是(0,+∞).(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域:

值域:R圖象過定點(diǎn),即恒有l(wèi)oga1=0

當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0在(0,+∞)上是

在(0,+∞)上是

注意當(dāng)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時(shí),需分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的定義域與值域正好互換,它們的圖象關(guān)于直線對稱.

常用結(jié)論1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab=1logba(a>0,且a≠1;b>0,(2)logambn=nmlogab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較:如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),從左到右的圖象所對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸增大.3.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.4.常用結(jié)論:當(dāng)x>0時(shí),有ex>x>lnx.題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說法是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)log3x2=2log3x. ()(2)y=loga(2x)(a>0,且a≠1)是對數(shù)函數(shù). ()(3)對數(shù)函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(0,1). ()(4)對數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸的右側(cè). ()(5)若函數(shù)y=log2ax是減函數(shù),則0<a<12. ()題組二教材改編1.若m2024=n(m>0且m≠1),則 ()A.logmn=2024 B.lognm=2024C.log2024m=n D.log2024n=m2.函數(shù)y=lg(1-x)的定義域是 ()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,1) D.(-∞,1]3.已知a=log0.23,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b4.設(shè)alog29=3,則3-2a= ()A.116 B.C.18 D.對數(shù)式的運(yùn)算例1(1)[2025·江西撫州期末]若15log1.52·t=6×10logA.60 B.45C.30 D.15(2)(多選題)下列說法中正確的有 ()A.lg2·lg5=1B.lg(lg10)=0C.若a=log32,則log23=1D.31+log總結(jié)反思解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法:(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡;(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并;(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用;(4)利用常用對數(shù)中的lg2+lg5=1.【對點(diǎn)演練1】(1)[2025·山東青島質(zhì)檢]下列說法中正確的是 ()A.log23=lg2B.4a3·aC.a2D.12log213+ln(2)[2025·河南名校聯(lián)盟模擬]若a≥0,b∈R,則化簡2log23+(a)2A.3+a+b B.3+a+|b|C.2+a+b D.2+a+|b|對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)函數(shù)f(x)=log2(2x)的大致圖象為 ()A BC D(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x,y=logax+12(a>0且a≠1)的圖象可能是A BC D總結(jié)反思對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用:(1)在識別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對數(shù)方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合求解.【對點(diǎn)演練2】(1)設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a·3a=b·log4b=c·log3c=1,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.b>c>a(2)已知指數(shù)函數(shù)y=ax,對數(shù)函數(shù)y=logbx的圖象如圖所示,則下列說法正確的是 ()A.0<a<b<1 B.0<a<1<bC.0<b<1<a D.1<b<a對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題型1比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小例3(1)已知ea=lg3,b=lg(ln3),c=ln13,則a,b,c的大小關(guān)系是 (A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a(2)[2024·天津卷]若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a題型2解對數(shù)方程或不等式例4(1)不等式log2(x2-1)<1的解集是 ()A.(-3,3)B.(1,3)C.(-3,0)∪(0,3)D.(-3,-1)∪(1,3)(2)已知log2m-log2n=1,則 ()A.mn=2 B.m-n=2C.2m=n D.m=2n(3)[2025·重慶南開中學(xué)期末]已知函數(shù)f(x)=32x+3-2,x≥-題型3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5(1)[2025·北京人大附中朝陽學(xué)校期末]已知f(x)=(3-a)x-a,x<1,logaxA.32,3 BC.(1,3) D.(1,+∞)(2)(多選題)已知函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1),則下列說法正確的有 ()A.當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞)B.函數(shù)f(x)有最小值C.當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽D.若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3]總結(jié)反思1.比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小,可以利用函數(shù)的單調(diào)性,引入中間量進(jìn)行比較,有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行比較.2.解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若指數(shù)相同而底數(shù)不同,則構(gòu)造冪函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同,則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),若引入中間量,一般選0或1.3.對數(shù)不等式的類型及解法類型求解方法logax>logab借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式,再借助y=logax的單調(diào)性求解4.解對數(shù)方程時(shí),一般將方程化為logaf(x)=logag(x)或logaf(x)=b的形式,再將對數(shù)符號去掉,轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x),f(x)>0,g(x)>0或f(x)=ab.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:【對點(diǎn)演練3】(1)函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) ()A.(1,0) B.(1,1)C.(-1,0) D.(2,2)(2)[2025·湖北孝感方子高級中學(xué)期末]函數(shù)f(x)=1-lnx+1xA.(-∞,1)∪(1,e) B.(-∞,e)C.(0,e)