機械系統(tǒng)運動微分方程的求解3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動1.問題的提法工程中大量的動力學(xué)問題都可以歸結(jié)于圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學(xué)模型,其動力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型表示為常微分方程的初值問題圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學(xué)模型控制方程:滿足初始條件:3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2.單自由度振動系統(tǒng)簡諧激勵作用下的響應(yīng)圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學(xué)模型運動微分方程:滿足初始條件:根據(jù)微分方程理論,該方程解的形式為奇次通解與某個特解之和,即

為齊次通解,

為特解.3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動1）齊次通解

將奇次運動微分方程變成標(biāo)準(zhǔn)型:其中固有頻率：設(shè)方程的解為特征方程：阻尼比臨界阻尼特征根：3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動討論（1）過阻尼:根據(jù)初始條件可以得到系數(shù)A1,A2的表達式過阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動（2）欠阻尼利用欠阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動特征根：方程的通解

令,

，可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動（3）臨界阻尼利用臨界阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動特征方程有兩個重根即方程的通解

,

，可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應(yīng)用：固有頻率a)無阻尼自由振動方程的解

,

，b)阻尼對振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應(yīng)用：

,

，b)阻尼對振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大兩邊取自然對數(shù)，注意到為了提高測量精度，常取n次振幅波動后對數(shù)衰減率作為阻尼比的計算公式自由振動法測量單自由度振動系統(tǒng)的阻尼比3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應(yīng)用：

,

，c）從圖3-1-5可知，時系統(tǒng)的位移響應(yīng)回到平衡狀態(tài)的時間最短。因此對于指針式儀表讀數(shù)系統(tǒng)，常將系統(tǒng)的阻尼比調(diào)整為臨界阻尼，以達到穩(wěn)定讀數(shù)的目的3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

特解的求法很多，有比較系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)矢量法、拉氏變換法等，較簡單快捷的方法是旋轉(zhuǎn)矢量法設(shè)特解：代入方程作旋轉(zhuǎn)矢量圖3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

作旋轉(zhuǎn)矢量圖可得將

代入上式得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

位移動力放大系數(shù)

相位角3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動在初始條件為

欠阻尼條件下，方程的定解

上中的第一項為單自由度系統(tǒng)自由振動響應(yīng)，當(dāng)

時，該項趨近于0。第二項為穩(wěn)態(tài)解，表現(xiàn)為周期性運動其工程意義在于：a)當(dāng)頻率比

時，振幅最大，當(dāng)阻尼比

，位移動力放大系數(shù)

，即發(fā)生共振現(xiàn)象。3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動振動穩(wěn)定性設(shè)計準(zhǔn)則

所有對于降低振動的工程應(yīng)用場合，應(yīng)使頻率比在

范圍內(nèi)

b)發(fā)生共振時，振幅最大，且位移響應(yīng)與激勵力之間的相位角相差

位移動力放大系數(shù)

。

共振法測量阻尼比的理論依據(jù)。c)對于振動機械，應(yīng)將頻率比

調(diào)整到1附近工作，以利于獲得較大的振動振幅。

d)動載系數(shù)的物理意義3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動3.單自由度振動任意激勵力作用下的響應(yīng)

1）求解基本思路（疊加原理）

這里

為任意函數(shù)

1）t時刻系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于t時刻以前的作用力。在[0,t]時間段的任意激勵力

可視為一系列元沖量

組成，如圖(a)所示。b)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)為

c)根據(jù)疊加原理，t時刻系統(tǒng)的動力響應(yīng)

等于t時刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)

的和3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)

振動系統(tǒng)受元沖量

作用的過程是一個碰撞過程，碰撞過程的研究要點是抓住碰撞前、后兩個狀態(tài)和碰撞過程即時間段

。設(shè)碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后系統(tǒng)獲得一定的速度后作自由振動，而碰撞過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律可以用沖量定理描述。3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)

首先研究作用于坐標(biāo)原點的元沖量

引起的系統(tǒng)

時刻的響應(yīng)碰撞前：

系統(tǒng)靜止即初位移和初速度均為0碰撞后：系統(tǒng)的位移為

，速度為

碰撞過程:元沖量

作用后質(zhì)點的速度3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)

元沖量

作用后到

時刻的時間段[，t]，系統(tǒng)作自由振動,由元沖量

作用后質(zhì)點的速度元沖量

引起的

時刻的位移響應(yīng)可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動3）任意激勵力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)

即根據(jù)疊加原理，任意激勵力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)等于

時刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應(yīng)應(yīng)用Duhamel積分可以很方便的求出在任意激勵力作用下單自由度振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)該式即為Duhamel積分。一個令人滿意的完美結(jié)果3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運動微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應(yīng)

3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運動微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應(yīng)

對于激勵力為比較復(fù)雜的函數(shù)，其Duhamel積分的解析表達式無法得到，但可以用數(shù)值積分的方法計算Duhamel積分的數(shù)值近似解。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

若采用剛度法得到的多自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動微分方程為設(shè)方程的解為代入3-1-18式可得3-1-18振幅方程振幅向量

有非零解，必須頻率方程，數(shù)學(xué)上稱特征方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

關(guān)于

的

n

次多項式，有

n

個根，由小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率可以解出

個特征向量將求得的特征根代入振幅方程稱第k階振型向量，簡稱第k階振型。可見n個自由度的振動系統(tǒng)，有n個固有頻率和振型向量，每個固有頻率對應(yīng)一個振型向量.振型向量的第一行規(guī)定為1，這樣得到的振型向量稱主振型向量，簡稱主振型。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

n個自由度振動系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)可表達為:對于兩個自由度自由振動系統(tǒng)，其振幅方程式中:為任意常數(shù),由初始條件確定頻率方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

展開得代入振幅方程，可得2個主振型向量有2個根3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

若采用柔度法得到的多自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動微分方程為有n個根，有小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率同樣地假設(shè)振幅方程頻率方程可以解出

個特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

例:求圖示簡支梁的固有頻率和主振型。梁的抗彎剛度為EI，在三分點1和2處有相等的集中質(zhì)量m解：1.建立圖示系統(tǒng)的運動微分方程兩個自由度振動系統(tǒng)，采用柔度法柔度矩陣中的系數(shù)可以用圖乘法質(zhì)量矩陣柔度矩陣3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

解：2．求固有頻率和主振型將固有頻率代入振幅方程解得：固有頻率，

，

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

解：2．求固有頻率和主振型第一主振型，

，

第二主振型3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動2.兩個自由度振動系統(tǒng)的諧迫振動

動力吸振器

圖3-12所示的2個自由度系統(tǒng)，在質(zhì)量m1上作用簡諧激勵力

，它也是動力吸振器的力學(xué)模型，

為主系統(tǒng)，

為子系統(tǒng)或吸振器。代入上式

其運動微分方程為令3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動2.兩個自由度振動系統(tǒng)的諧迫振動

動力吸振器

該方程一般有唯一解，其解答為：即質(zhì)點m1的振動位移振幅為0

式中：當(dāng)

時

彈簧k2作用于質(zhì)點m1的力為

，在任何瞬時恰好與激勵力

大小相等，方向相反，使得原來的

主系統(tǒng)在簡諧力作用下的強迫振動位移響應(yīng)完全消失，達到很好的減振效果。動力吸振器的工作原理3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

1）多自由度振動系統(tǒng)強迫振動數(shù)學(xué)模型激勵荷載

式中：阻尼矩陣

剛度矩陣質(zhì)量矩陣位移列向量3-1-303-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

2）主振型的加權(quán)正交性求出主振型向量

，將n個主振型向量用一個矩陣表示即稱為主振型矩陣

對于多自由度系統(tǒng)，可以按照下式求其n個固有頻率再由

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性即有特征方程

證明：為系統(tǒng)的第k階固有頻率和主振型，

對于任意兩個不同的主振型向量兩邊分別左乘

和

得3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

證明：對(d)式兩邊轉(zhuǎn)置。注意到剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M的對稱性，有

由于(c)-(e)式得：因此有即主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的加權(quán)正交性。將(f)代入(c)式得即主振型關(guān)于剛度矩陣的加權(quán)正交性3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由于主振型關(guān)于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權(quán)正交性，若主振型矩陣為

主剛度矩陣主質(zhì)量矩陣則有3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

3）方程的解耦

得：考慮方程3-1-30中無阻尼時的情形，即C=0，有阻尼的情形，若阻尼可表示為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合即

也可采用振型疊加法求解。作變量代換兩邊左乘根據(jù)主振型關(guān)于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權(quán)正交性，3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由于主質(zhì)量矩陣

和主剛度矩陣

為對角矩陣，上式展開就可得并令稱廣義載荷3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由式3-1-32兩邊同除

，并令4）求解主坐標(biāo)下的振動方程

3-1-32根據(jù)Duhamel積分將上式回代到

可得到系統(tǒng)的位移動力學(xué)響應(yīng)。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

例：圖示無阻尼二自由度系統(tǒng)，若

時，，

為單位階躍函數(shù)，用振型疊加法求時域響應(yīng)。解：1.建立系統(tǒng)運動方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

解：1.建立系統(tǒng)運動方程代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

特征方程：代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量解得固有頻率：分別代入[B]中任一列的振型矩陣得：3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

4.求相應(yīng)于主坐標(biāo)的激勵

由3.求相應(yīng)主坐標(biāo)的初始條件5.求主系數(shù)及主坐標(biāo)響應(yīng)3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

兩個激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為于是解耦后方程：6.求原系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)響應(yīng)：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動方程的解答

對于園軸的自由扭轉(zhuǎn)振動式中對于園軸的自由扭轉(zhuǎn)和桿件的軸向運動，作為連續(xù)系統(tǒng)，其運動微分方程代入方程3-1-34：3-1-34可以用分離變量法求解設(shè)方程的解的形式：即3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動方程的解答

其解為從而有式中A,B,C,D為待定系數(shù)，由邊界條件和初始條件決定。可見，

為振動系統(tǒng)的固有頻率

，

為振動系統(tǒng)的振型函數(shù),其中系數(shù)C，D一般可由邊界條件確定。最后方程的通解為：

式中

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)例：圖3-15為一端固定的園軸，使其作扭轉(zhuǎn)自由振動，求其固有頻率、振型函數(shù)和響應(yīng)。

解：該問題的邊界條件為

代入通解得：方程的解可寫成求導(dǎo)得：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)園軸的自由端無外力偶作用

對應(yīng)的振型函數(shù)為可見，對于連續(xù)系統(tǒng)，有無窮多個固有頻率，對應(yīng)的有無窮多個振型函數(shù)。固有頻率3-1-3連續(xù)系統(tǒng)若初始條件為

由方程的解答由得得3-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動

用分離變量法求解。令整理：梁的橫向自由振動運動微分方程為：代入方程3-1-36得：

3-1-363-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動

令由上式的第1式代入上式的第2式得的通解：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

運動微分方程的通解為待定系數(shù)，可由邊界條件和初始條件確定。例：圖示簡支梁作自由振動，求固有頻率和振型函數(shù)因3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

解：該問題的邊界條件可寫成將的表達式代入

得

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

即又因為

故只能有若

，對應(yīng)的解答為零解，無工程意義。只能有頻率方程各階固有頻率：振型函數(shù)為：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

前3階振型函數(shù)圖形見圖3-16(b)。與多自由度振動系統(tǒng)類似，連續(xù)系統(tǒng)的振型函數(shù)也具有正交性。

3-1-4非線性系統(tǒng)

與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)疊加原理不能成立，一般很難得到精確解，用解析法也只能得到問題的近似解，目前還缺乏一種適用面廣泛的通用方法。這就導(dǎo)致求解非線性振動問題的方法很多，但每一種方法都有其適用性和局限性，這里介紹2種求解非線性振動問題的常見方法，攝動法和平均法。

1.攝動法改寫Duffing方程：式中

為小參數(shù)，故攝動法又叫小參數(shù)法。3-1-4非線性系統(tǒng)

攝動法的基本思想：認為方程的解

依賴于小參數(shù)

，從而形如

將其展開：認為

是計入非線性后對派生解

的一種修正代入方程并進行比較3-1-4非線性系統(tǒng)

初值問題成為：

根據(jù)

的任意性，式中

同次冪系數(shù)必然自行相等，從而有：得到一組可依次求解的序列線性常微分方程的初值問題，求解這個序列問題從而得到問題的解答。3-1-4非線性系統(tǒng)

例：用攝動法求解Duffing方程的一次近似解

解：根據(jù)攝動法其解答為利用三角公式代入零次近似：3-1-4非線性系統(tǒng)

解得：Duffing方程的一次近似解為：存在永久項該近似解只有

內(nèi)有效3-1-4非線性系統(tǒng)

2.平均法可以認為，平均法的求解思想受到常數(shù)變易法的啟示。對于一個弱非線性系統(tǒng)，先略去非線性項的影響求解線性問題求解，再考慮非線性項的影響。將忽略非線性影響的線性問題的解的振幅和相位看作時間的慢變參數(shù)，并在一個周期內(nèi)取平均值，進而求出方程的解。設(shè)其解答為：對（a）式求導(dǎo)得：方程3-1-4非線性系統(tǒng)

2.平均法設(shè)其解答為：對（a）式求導(dǎo)得：與（ｂ）式比較有由（ｂ）式求一階導(dǎo)數(shù)：代入方程即3-1-4非線性系統(tǒng)

2.平均法聯(lián)立(d)(e)得由于振幅

和相位

是關(guān)于位移響應(yīng)

的慢變參數(shù)，在一個運動周期

范圍內(nèi)平均化得平均法的計算公式3-1-4非線性系統(tǒng)

例：用平均法求解Duffing方程設(shè)方程的解：平均法的計算公式為：3-1-4非線性系統(tǒng)

例：用平均法求解Duffing方程設(shè)方程的解：平均法的計算公式為：3-1-4非線性系統(tǒng)

代入Duffing方程：即微分方程組解得：由初始條件：3-1-4非線性系統(tǒng)

Duffing方程的解3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法對于常微分方程的定解問題，形如3-2-1所謂數(shù)值解法,就是尋求解

在一系列離散節(jié)點

上的近似值

。相鄰兩個節(jié)點的間距

稱為步長，一般在計算時常取步長為定值,這時節(jié)點為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法初值問題3-2-1的數(shù)值解法的求解過程為：給出用已知信息

計算

的遞推公式，從初始條件出發(fā)，順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進。即所謂“步進式”算法。歐拉法以節(jié)點的差商代替導(dǎo)數(shù)值，構(gòu)成的遞推公式為：即歐拉（Euler）公式：3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法從圖3-2-1（b）可以看出，由于歐拉法是以差商代替導(dǎo)數(shù)，其誤差較大。為了提高計算精度，一種辦法是減小步長，但會導(dǎo)致累計誤差增大，當(dāng)步長減小到一定程度后，計算精度提高受限。另一種辦法是改進算法，如改進的歐拉法、Runge-Kutta法等。改進的歐拉法以

和

兩個節(jié)點的差商的平均值來代替導(dǎo)數(shù)，由于

值為待求值，故計算

結(jié)點的差商采用預(yù)測，其迭代公式可以證明，歐拉法具有1階精度，而改進的歐拉法具有2階精度3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法對于具有關(guān)于時間2階導(dǎo)數(shù)的單自由度機械系統(tǒng)運動微分方程，形如可令

將上式轉(zhuǎn)化成1階常微分方程組其歐拉法的迭代公式為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-1歐拉法改進的歐拉法的迭代公式為：3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法Newmark-

法是線性加速度法之一。對于具有關(guān)于時間2階導(dǎo)數(shù)的單自由度機械系統(tǒng)運動微分方程式，其

的Talar展開式：上式中取前三項，若認為加速度在區(qū)間[

,

]為線性變化，則有

代入上式3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法線性加速度法的迭代公式大致具有3階精度，將上式的最后一項中

用

代替，即為Newmark-

法。其迭代公式為式中

為調(diào)節(jié)公式特征的參數(shù)，一般取值范圍為

3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-2Newmark-法對于多自由度振動系統(tǒng)運動微分方程：時刻有關(guān)系式

整理移項：代入式Newmark-法迭代公式3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法Runge-Kutta法是求解常微分方程應(yīng)用最多的方法之一。對于微分方程的定解問題，歐拉法求解，其截斷誤差

故具有1階精度，改進歐拉法，由于預(yù)測了

結(jié)點的差商并用

兩個節(jié)點的差商的平均值來代替導(dǎo)數(shù)，可望達到2階精度。實際上，在區(qū)間[

]的等價積分形式為

一般來說，接點數(shù)越多，計算越準(zhǔn)確通過增加積分求積的結(jié)點數(shù)提高計算精度，故將右端的積分表示為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法仿照歐拉法的迭代公式，寫成

式中

均為待定常數(shù)，r階Runge-Kutta法其中

稱增量函數(shù)，可表示為3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法工程中應(yīng)用最多的是4階Runge-Kutta法，其迭代公式為

3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-2-3Runge-Kutta法對于單自由度振動系統(tǒng)運動微分方程式，Runge-Kutta法的迭代公式為

3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法許多機械系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解，需要聯(lián)合運用公式推導(dǎo)和數(shù)值計算的方法，才能得到問題的解答，我們不妨稱之為半解析數(shù)值法。如上一章討論的偏置曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)問題，其運動微分方程：

3-3-1一、等效力矩是等效構(gòu)件轉(zhuǎn)角的函數(shù)時，即

對上式積分：3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法由

例3-3-1：對于3-2-1所示的偏置曲柄滑塊機構(gòu)，若已知

，

。1)試計算該曲柄滑塊機構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導(dǎo)數(shù)

隨曲柄轉(zhuǎn)角

的變化規(guī)律。2)若

由表3-3-1給定,初始條件：

,求

與

t

之間的關(guān)系。3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法表3-3-1等效力矩與曲柄轉(zhuǎn)角關(guān)系

3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：1）等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導(dǎo)數(shù)

的計算

運動學(xué)分析計算假設(shè)曲柄作勻速轉(zhuǎn)動由上式第2式：式中：

稱

曲柄連桿比連桿的傳動角速度比3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法解：1）等效轉(zhuǎn)動慣量

及其導(dǎo)數(shù)

的計算

運動學(xué)分析計算滑塊C速度連桿BC質(zhì)心C2對應(yīng)的傳動速比及其導(dǎo)數(shù)3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法