八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)章節(jié)同步講義及測(cè)試題親愛的同學(xué)們，八年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是承上啟下的關(guān)鍵時(shí)期，知識(shí)的深度和廣度都有了新的提升。這份同步講義及測(cè)試題，旨在幫助大家更好地理解和掌握本學(xué)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力。希望同學(xué)們能結(jié)合課堂學(xué)習(xí)，認(rèn)真使用這份資料，勤于思考，多做練習(xí)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松而高效。第一章三角形三角形是我們平面幾何中最基本的圖形之一，生活中隨處可見它的身影。本章我們將系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角形的概念、性質(zhì)以及相關(guān)的重要定理。一、知識(shí)要點(diǎn)梳理1.三角形的定義與分類*定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。理解這個(gè)定義時(shí)，要抓住“不在同一直線上”和“首尾順次相接”這兩個(gè)核心條件，它們共同確定了三角形的基本形態(tài)。*分類：*按角的大小分：銳角三角形（三個(gè)角都是銳角）、直角三角形（有一個(gè)角是直角，直角通常用符號(hào)“Rt∠”表示）、鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角）。這里要注意，一個(gè)三角形中最多只能有一個(gè)直角或鈍角。*按邊的相等關(guān)系分：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角；三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它是一種特殊的等腰三角形。2.三角形的三邊關(guān)系*定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。*推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊。這是判斷三條線段能否組成三角形的重要依據(jù)。在應(yīng)用時(shí)，我們通常只需檢驗(yàn)較短的兩條線段之和是否大于最長(zhǎng)的線段即可。3.三角形的內(nèi)角和與外角*內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。這個(gè)定理是平面幾何中非?；A(chǔ)和重要的結(jié)論，很多幾何問題的解決都離不開它。*外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。*外角性質(zhì)：*三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。*三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。*三角形的外角和等于360°（每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）。4.三角形中的重要線段*中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。一個(gè)三角形有三條中線，它們相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心。重心具有把每條中線分成1:2兩部分的性質(zhì)（頂點(diǎn)到重心的距離是重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍）。*角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。一個(gè)三角形有三條角平分線，它們相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。*高線（高）：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高。一個(gè)三角形有三條高，它們（或它們的延長(zhǎng)線）相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心。注意，鈍角三角形的兩條高位于三角形外部。5.三角形的穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性，即三角形的形狀和大小一旦確定，就不會(huì)輕易改變。這一特性在生活和生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用，比如自行車架、屋頂?shù)蔫旒艿取６?、典型例題解析例1：下列長(zhǎng)度的三條線段能否組成三角形？為什么？(1)3，4，8(2)5，6，11(3)5，6，10思路點(diǎn)撥：判斷三條線段能否組成三角形，只需驗(yàn)證較短的兩條線段之和是否大于最長(zhǎng)的線段即可。解析：(1)因?yàn)?+4=7，7<8，不滿足兩邊之和大于第三邊，所以不能組成三角形。(2)因?yàn)?+6=11，等于第三邊，此時(shí)三條線段會(huì)共線，不能組成三角形。(3)因?yàn)?+6=11，11>10，且5+10>6，6+10>5（后兩個(gè)不等式顯然成立，故可省略），所以能組成三角形。例2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。思路點(diǎn)撥：已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程求解。解析：設(shè)∠A=2k°，∠B=3k°，∠C=4k°。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2k+3k+4k=180解得k=20所以∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°。故△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為40°，60°，80°。例3：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)小5cm，已知AB=3cm，求AC的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥：中線將對(duì)邊分成相等的兩段，即BD=CD?！鰽BD的周長(zhǎng)與△ACD的周長(zhǎng)之差，實(shí)際上就是AB與AC的差（因?yàn)锳D是公共邊，BD=CD）。解析：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD。△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD，△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD?！摺鰽BD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)小5cm，∴(AC+CD+AD)-(AB+BD+AD)=5cm。化簡(jiǎn)，得AC-AB=5cm?！逜B=3cm，∴AC=AB+5cm=3cm+5cm=8cm。三、同步測(cè)試題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案)1.三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有（）個(gè)銳角。A.1B.2C.3D.02.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A.正方形B.長(zhǎng)方形C.直角三角形D.平行四邊形3.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，則∠C的度數(shù)是（）A.50°B.60°C.70°D.80°二、填空題4.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)可以是_______。（寫出一個(gè)即可）5.三角形的一個(gè)外角是100°，則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是_______度。三、解答題6.已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是16cm，其中一邊長(zhǎng)是4cm，求另外兩邊的長(zhǎng)。7.如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠BAC的平分線，求∠ADC的度數(shù)。(請(qǐng)自行在草稿紙上畫出簡(jiǎn)單圖形：△ABC，AD為角平分線交BC于D)---第二章全等三角形在前一章我們認(rèn)識(shí)了三角形的基本面貌，本章我們將學(xué)習(xí)一種特殊的三角形關(guān)系——全等三角形。全等三角形就像兩個(gè)能夠完全重合的剪紙，它們的形狀和大小都完全相同。一、知識(shí)要點(diǎn)梳理1.全等形與全等三角形的定義*全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。這里的“完全重合”意味著形狀相同且大小相等。*全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。把兩個(gè)全等的三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。2.全等三角形的表示方法：全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣可以方便地找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。例如，△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中A和D、B和E、C和F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。3.全等三角形的性質(zhì)*全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。*全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。這是全等三角形最基本也是最重要的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以解決很多與線段長(zhǎng)度和角的度數(shù)有關(guān)的問題。4.三角形全等的判定方法*“邊邊邊”（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*“邊角邊”（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。注意：這里的角必須是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，而不是其中一邊的對(duì)角。*“角邊角”（ASA）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*“角角邊”（AAS）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*“斜邊、直角邊”（HL）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（這是直角三角形特有的判定方法）5.角的平分線的性質(zhì)與判定*性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。*判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。這兩個(gè)定理是互逆的，它們?cè)趲缀巫C明中有著廣泛的應(yīng)用，常用于證明線段相等或角相等。二、典型例題解析例1：如圖，已知AB=AD，BC=DC，求證：△ABC≌△ADC。思路點(diǎn)撥：要證△ABC≌△ADC，觀察圖形可知AC是公共邊，題目中已給出AB=AD，BC=DC，正好是三邊對(duì)應(yīng)相等，所以可以利用“SSS”來證明。證明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD(已知)，BC=DC(已知)，AC=AC(公共邊)，∴△ABC≌△ADC(SSS)。例2：如圖，點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB。思路點(diǎn)撥：由AD//BC可得到一組角相等（內(nèi)錯(cuò)角），AE=CF可通過等式性質(zhì)得到AF=CE，再結(jié)合已知AD=CB，可利用“SAS”證明全等。證明：∵AD//BC(已知)，∴∠A=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)?！逜E=CF(已知)，∴AE+EF=CF+EF(等式的性質(zhì))，即AF=CE。在△AFD和△CEB中，∵AD=CB(已知)，∠A=∠C(已證)，AF=CE(已證)，∴△AFD≌△CEB(SAS)。例3：已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF。求證：Rt△ABC≌Rt△DEF。思路點(diǎn)撥：本題明確給出了兩個(gè)直角三角形，且已知斜邊AB=DE和一條直角邊AC=DF，符合“HL”定理的條件。證明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵∠C=∠F=90°，AB=DE(已知)，AC=DF(已知)，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。三、同步測(cè)試題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案)1.下列說法正確的是（）A.形狀相同的兩個(gè)三角形全等B.面積相等的兩個(gè)三角形全等C.全等三角形的周長(zhǎng)相等D.所有的等邊三角形都全等2.如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.∠B=∠EB.BC=EFC.AC=DFD.∠A=∠F(請(qǐng)自行在草稿紙上想象對(duì)應(yīng)圖形)3.要說明△ABC和△DEF全等，已知∠A=∠D，∠B=∠E，則不需要再給出的條件是（）A.AB=DEB.BC=EFC.AC=DFD.∠C=∠F二、填空題4.已知△ABC≌△A'B'C'，若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AB=5cm，BC=8cm，則A'C'的長(zhǎng)為_______cm。5.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC=3cm，則PD=_______cm。(請(qǐng)自行在草稿紙上畫出圖形：OP為∠AOB的角平分線，C、D分別為OA、OB上的垂足)三、解答題6.如圖，AB=AC，AD=AE。求證：∠B=∠C。(請(qǐng)自行在草稿紙上畫出簡(jiǎn)單圖形：△ABE與△ACD有公共角∠A，AB=AC，AD=A