小學(xué)數(shù)學(xué)除法重點(diǎn)難點(diǎn)錯(cuò)題解析講義引言除法，作為小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算體系中的重要組成部分，是乘法的逆運(yùn)算，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。它不僅涉及具體的計(jì)算技能，更蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，如“平均分”的概念、“包含除”的意義等。在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們往往會(huì)因?yàn)楦拍罾斫獠磺濉⑺憷碚莆詹焕?、?jì)算習(xí)慣欠佳等原因，出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。本講義旨在結(jié)合除法學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，通過對(duì)典型錯(cuò)題的深入剖析，幫助同學(xué)們厘清概念、掌握方法、規(guī)避誤區(qū)，切實(shí)提升除法運(yùn)算的準(zhǔn)確性和靈活性。一、理解“平均分”的含義——除法的起點(diǎn)除法的本質(zhì)源于“平均分”。只有真正理解了“平均分”，才能為后續(xù)的除法學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1.1重點(diǎn)解析“平均分”有兩層基本含義：一是將一個(gè)總數(shù)按照指定的份數(shù)進(jìn)行分配，每份分得同樣多；二是將一個(gè)總數(shù)按照每幾個(gè)一份進(jìn)行分配，看能分成多少份。這兩種情況都可以用除法來解決。1.2典型錯(cuò)題分析錯(cuò)題示例1：判斷：把6個(gè)蘋果分給2個(gè)小朋友，每人一定分到3個(gè)。（√）錯(cuò)誤分析：此題錯(cuò)在沒有強(qiáng)調(diào)“平均分”。題目只說“分給2個(gè)小朋友”，但沒有說明是“平均分”，那么每個(gè)小朋友分到的蘋果數(shù)量可能不一樣多，可能是1個(gè)和5個(gè)，2個(gè)和4個(gè)，或者3個(gè)和3個(gè)。只有在“平均分”的前提下，每人才能一定分到3個(gè)。正確解答與方法點(diǎn)撥：判斷：把6個(gè)蘋果分給2個(gè)小朋友，每人一定分到3個(gè)。（×）方法點(diǎn)撥：看到“分東西”的問題，首先要明確是否是“平均分”。“平均分”是除法應(yīng)用的前提，只有在“平均分”時(shí)，才能用除法計(jì)算每份的數(shù)量或分得的份數(shù)。錯(cuò)題示例2：有10塊糖，每2塊裝一袋，可以裝幾袋？列式為：10÷5=2（袋）。（√）錯(cuò)誤分析：此題混淆了“每份數(shù)”和“份數(shù)”。題目中“每2塊裝一袋”，這里的“2塊”是每份的數(shù)量（每份數(shù)），問題是求“可以裝幾袋”，即求份數(shù)。正確的列式應(yīng)該是用總數(shù)10塊除以每份數(shù)2塊，得到份數(shù)。而錯(cuò)誤列式中用10除以5，這里的5是從哪里來的呢？顯然是對(duì)題意理解不清。正確解答與方法點(diǎn)撥：正確列式：10÷2=5（袋）。方法點(diǎn)撥：在解決“包含除”（即求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)）的問題時(shí)，要找準(zhǔn)“總數(shù)”和“每份數(shù)”，用“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”?？梢酝ㄟ^畫圖、圈一圈的方式幫助理解，每幾個(gè)圈一份，看能圈出幾份。二、表內(nèi)除法——除法計(jì)算的基礎(chǔ)表內(nèi)除法是指除數(shù)和商都是一位數(shù)的除法，其計(jì)算依據(jù)是乘法口訣。熟練掌握乘法口訣是正確、快速計(jì)算表內(nèi)除法的關(guān)鍵。2.1重點(diǎn)解析計(jì)算表內(nèi)除法時(shí)，要根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，想乘法口訣來求商。例如，計(jì)算12÷3，就是想“三（）十二”，從而得到商是4。2.2典型錯(cuò)題分析錯(cuò)題示例3：計(jì)算：18÷3=（），想口訣：三六十八，所以商是6。（√）計(jì)算：18÷6=（），想口訣：六三十八，所以商是3。（√）錯(cuò)誤分析：第一個(gè)計(jì)算正確，第二個(gè)計(jì)算的口訣表述錯(cuò)誤。雖然結(jié)果正確，但口訣“六三十八”是不正確的，正確的口訣應(yīng)該是“三六十八”。在除法計(jì)算中，無論除數(shù)是幾，都應(yīng)想除數(shù)和幾相乘得被除數(shù)，而不是隨意顛倒口訣中的數(shù)字順序。正確解答與方法點(diǎn)撥：18÷6=3，想口訣：（三）六十八，所以商是3。方法點(diǎn)撥：計(jì)算除法時(shí)，除數(shù)是幾，就想幾的乘法口訣。例如，除數(shù)是6，就想“六幾得十八”，從而快速找到商。要熟練掌握乘法口訣的準(zhǔn)確表述，避免因口訣混淆導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。錯(cuò)題示例4：口算：24÷4=（5），24÷5=（4）。錯(cuò)誤分析：第一題24÷4，應(yīng)該想“四（六）二十四”，商是6，錯(cuò)算成5，可能是乘法口訣記憶不牢固，或者將“四五二十”與“四六二十四”混淆了。第二題24÷5，商4，余數(shù)是4（因?yàn)?×4=20，24-20=4），但題目只要求填商，雖然商4本身沒錯(cuò)，但如果是有余數(shù)的除法，這種表述就不完整。不過此處若僅考察表內(nèi)除法的估算或商的整數(shù)部分，也可能是學(xué)生對(duì)“四五二十”比較熟悉，但根本問題還是口訣不熟練。正確解答與方法點(diǎn)撥：24÷4=6，24÷5=4……4（若涉及有余數(shù)除法）。方法點(diǎn)撥：加強(qiáng)乘法口訣的背誦和默寫，不僅要會(huì)順著背，還要會(huì)倒著背、打亂順序背。可以通過對(duì)口令、做除法口算卡片等方式進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，確?？吹匠ㄋ闶侥苎杆俾?lián)想到對(duì)應(yīng)的乘法口訣。三、有余數(shù)的除法——理解“余數(shù)”的意義當(dāng)平均分一些物品時(shí)，有時(shí)會(huì)有剩余，這樣的除法就是有余數(shù)的除法。余數(shù)必須比除數(shù)小，這是有余數(shù)除法中非常重要的規(guī)則。3.1重點(diǎn)解析1.有余數(shù)除法的算式寫法：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)。2.余數(shù)的意義：表示平均分后剩下的、不能再繼續(xù)分的部分。3.核心規(guī)則：余數(shù)必須比除數(shù)小（余數(shù)<除數(shù)）。4.驗(yàn)算方法：商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)。3.2典型錯(cuò)題分析錯(cuò)題示例5：計(jì)算：17÷5=2……7。（√）錯(cuò)誤分析：此題的余數(shù)7大于除數(shù)5，違反了“余數(shù)必須比除數(shù)小”的規(guī)則。說明學(xué)生對(duì)這一核心概念理解不透徹，在計(jì)算時(shí)只關(guān)注商與除數(shù)的乘積是否小于被除數(shù)，而忽略了余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系。17里面最多有3個(gè)5（3×5=15），而不是2個(gè)5（2×5=10），17-15=2，所以正確的商是3，余數(shù)是2。正確解答與方法點(diǎn)撥：17÷5=3……2。方法點(diǎn)撥：在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，試商后一定要檢查余數(shù)是否比除數(shù)小。如果余數(shù)大于或等于除數(shù)，說明商小了，需要調(diào)大商再試。牢記：余數(shù)<除數(shù)。錯(cuò)題示例6：有20個(gè)桃子，每6個(gè)裝一盤，可以裝滿幾盤？還剩幾個(gè)？列式：20÷6=3（盤）……2（個(gè)）。答：可以裝滿3盤，還剩2個(gè)。（√）如果問題是：至少需要幾個(gè)盤子才能全部裝完？學(xué)生仍答：至少需要3個(gè)盤子。（√）錯(cuò)誤分析：第一問解答正確。第二問“至少需要幾個(gè)盤子才能全部裝完？”學(xué)生錯(cuò)誤地沿用了第一問的商。雖然裝滿了3盤，但還剩下2個(gè)桃子，這2個(gè)桃子也需要1個(gè)盤子，所以總共需要3+1=4個(gè)盤子。這里學(xué)生沒有理解“至少”的含義，沒有考慮到剩余部分也需要一個(gè)盤子。正確解答與方法點(diǎn)撥：至少需要4個(gè)盤子才能全部裝完。方法點(diǎn)撥：在解決“租船”、“裝物”等實(shí)際問題時(shí)，如果計(jì)算結(jié)果有余數(shù)，那么商需要加1，才能保證所有物品都被容納或所有人都有座位等。這類問題稱為“進(jìn)一法”問題。要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況判斷是直接取商，還是商加1。錯(cuò)題示例7：一個(gè)數(shù)除以7，商是5，余數(shù)最大是（7），這時(shí)被除數(shù)是（42）。錯(cuò)誤分析：此題錯(cuò)誤有二：一是余數(shù)最大是7，違反了“余數(shù)必須比除數(shù)小”的規(guī)則，除數(shù)是7，余數(shù)最大只能是6；二是當(dāng)余數(shù)取最大值6時(shí)，被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)=5×7+6=41，而不是42（42是5×7+7的結(jié)果，再次錯(cuò)誤使用了余數(shù)7）。正確解答與方法點(diǎn)撥：余數(shù)最大是6，這時(shí)被除數(shù)是5×7+6=41。方法點(diǎn)撥：在有余數(shù)的除法中，已知除數(shù)、商，求最大余數(shù)時(shí)，最大余數(shù)=除數(shù)-1。再根據(jù)“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”求出被除數(shù)。四、多位數(shù)除以一位數(shù)——掌握筆算方法與算理多位數(shù)除以一位數(shù)的筆算是除法學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要同學(xué)們掌握除的順序、商的書寫位置、以及首位不夠除、商中間或末尾有0的處理方法。4.1重點(diǎn)解析1.計(jì)算法則：從被除數(shù)的最高位除起，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在那一位的上面；如果哪一位不夠商1，就在那一位上商0占位；每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小。2.算理理解：將多位數(shù)分解成幾個(gè)部分，分別除以除數(shù)，再將各部分的商合起來。4.2典型錯(cuò)題分析錯(cuò)題示例8：筆算：43÷2=21……1。（豎式略，商的十位寫2，個(gè)位寫1，余數(shù)1）（√）檢查：21×2+1=43，正確。錯(cuò)誤分析：豎式計(jì)算過程可能存在問題，雖然結(jié)果正確，但需要關(guān)注商的書寫位置和每一步的除、乘、減、比、落的過程是否規(guī)范。但此處假設(shè)豎式過程正確，結(jié)果正確。我們來看下一個(gè)更典型的錯(cuò)誤。錯(cuò)題示例9：筆算：312÷3=14。（豎式略，商的百位寫1，十位上1除以3不夠商1，沒有寫0，直接把1和2合起來12除以3商4寫在個(gè)位上）錯(cuò)誤分析：此題在十位上出現(xiàn)了商中間漏寫0的錯(cuò)誤。被除數(shù)百位上3除以3商1寫在百位上，十位上是1，1除以3不夠商1，此時(shí)應(yīng)該在十位上商0占位，然后把十位上的1和個(gè)位上的2合起來組成12，再除以3商4寫在個(gè)位上。錯(cuò)誤的豎式直接跳過了十位的0，導(dǎo)致商的位數(shù)錯(cuò)誤，結(jié)果變小。正確解答與方法點(diǎn)撥：312÷3=104。方法點(diǎn)撥：在筆算除法時(shí)，當(dāng)被除數(shù)的某一位上的數(shù)除以除數(shù)不夠商1時(shí)，一定要在商的對(duì)應(yīng)位上寫0占位，然后把這一位上的數(shù)落下來和下一位上的數(shù)合起來繼續(xù)除?？梢孕蜗蟮乇扔鳛椤俺侥囊晃?，商就寫到哪一位，不夠商1就寫0站崗”。錯(cuò)題示例10：筆算：620÷3=206……2。（豎式計(jì)算過程中，被除數(shù)末尾的0直接落下來，與十位余下的2合起來是20，20÷3商6余2，商的末尾寫6）錯(cuò)誤分析：這個(gè)結(jié)果本身是正確的。但如果是600÷3，學(xué)生可能會(huì)寫成2。錯(cuò)誤示例：600÷3=2。錯(cuò)誤分析：這是商末尾漏寫0的錯(cuò)誤。600÷3，百位上6÷3=2，商2寫在百位上，十位和個(gè)位都是0，此時(shí)應(yīng)在商的十位和個(gè)位上補(bǔ)0，正確結(jié)果是200。學(xué)生只寫了2，忽略了末尾的兩個(gè)0。正確解答與方法點(diǎn)撥：600÷3=200。方法點(diǎn)撥：當(dāng)被除數(shù)的末尾有0，且前面幾位除完沒有余數(shù)時(shí)，要在商的末尾把相應(yīng)個(gè)數(shù)的0寫上。例如，整百數(shù)除以一位數(shù)，先用百位上的數(shù)除以一位數(shù)，得到的商寫在百位上，然后在商的末尾添上兩個(gè)0。錯(cuò)題示例11：筆算：84÷4，學(xué)生豎式中把4寫在十位上，8寫在個(gè)位上，當(dāng)成48÷4來計(jì)算。錯(cuò)誤分析：這是看錯(cuò)數(shù)字或數(shù)字顛倒的錯(cuò)誤，屬于粗心大意，但也反映出學(xué)生審題和書寫的規(guī)范性有待加強(qiáng)。正確解答與方法點(diǎn)撥：84÷4=21。方法點(diǎn)撥：計(jì)算前要認(rèn)真審題，看清數(shù)字。書寫豎式時(shí)，要注意數(shù)位對(duì)齊，被除數(shù)寫在除號(hào)里面，除數(shù)寫在除號(hào)外面，商寫在除號(hào)上面，并且商的哪一位要和被除數(shù)的哪一位對(duì)齊。養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)致的計(jì)算習(xí)慣非常重要。五、除法的估算——培養(yǎng)數(shù)感與解決問題的能力除法估算在生活中有著廣泛的應(yīng)用，它可以幫助我們快速判斷計(jì)算結(jié)果的合理性，或在不需要精確結(jié)果時(shí)快速得到近似值。5.1重點(diǎn)解析除法估算通常是把被除數(shù)看作與它接近的整十、整百或幾百幾十?dāng)?shù)，再口算出結(jié)果。估算時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的估算方法。5.2典型錯(cuò)題分析錯(cuò)題示例12：估算：243÷6≈（）。學(xué)生估算：243÷6≈240÷6=40，或243÷6≈300÷6=50。錯(cuò)誤分析：243÷6≈240÷6=40，這個(gè)估算是合理的，把243看作240（最接近的整十?dāng)?shù)，且是6的倍數(shù)）。而243÷6≈300÷6=50，雖然300也是6的倍數(shù)，但243與300相差較大，估算結(jié)果偏差也較大，不夠精確。正確解答與方法點(diǎn)撥：243÷6≈240÷6=40。方法點(diǎn)撥：估算時(shí)，一般把被除數(shù)看作與它最接近的、并且是除數(shù)倍數(shù)的整十?dāng)?shù)或整百數(shù)，這樣估算的結(jié)果會(huì)更接近準(zhǔn)確值。如果題目有特殊要求，如“估大”或“估小”，則需要根據(jù)要求進(jìn)行調(diào)整。例如，“帶250元去買6元一本的書，大約能買幾本？”這里就需要把250估小，看作240，240÷6=40本，確保帶的錢夠。總結(jié)與溫馨提示除法的學(xué)習(xí)貫穿小學(xué)階段，從最初的“平均分”概念到復(fù)雜的多位數(shù)除法筆算，每一步都需要同學(xué)們用心去理解和掌握。要想學(xué)好除法，減少錯(cuò)誤，需要做到以下幾點(diǎn)：1.理解算理是關(guān)鍵：不僅要知道怎么算，更要知道為什么這么算。比如，為什么余數(shù)要比除數(shù)??？為什么商的