專題26導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解答題

（八大考點，100題）

考點十年考情（2016-2025）命題趨勢

2025年北京卷：切線方程、切線與曲線位置關(guān)系、交點橫

坐標(biāo)計算；2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：切線方程、函數(shù)極小值

1.切線方程求解是基礎(chǔ)

與參數(shù)范圍；2023年全國乙卷：切線方程、函數(shù)對稱性；

且高頻考點，常結(jié)合曲線

2023年北京卷：由切線斜率求參數(shù)；2022年全國乙卷：

性質(zhì)、參數(shù)范圍綜合考

考點01：導(dǎo)切線方程、函數(shù)零點與參數(shù)；2022年北京卷：切線方程；

查。2.導(dǎo)數(shù)幾何意義與

數(shù)的幾何意2021年天津卷：切線方程、極值點唯一性；2020年北京

函數(shù)其他性質(zhì)（極值、零

義卷：切線方程、三角形面積最值；2018年全國I卷：由

點等）關(guān)聯(lián)命題趨勢明

切線斜率求參數(shù)、極值點與參數(shù)；2018年北京卷：由切線

顯，注重知識融合與應(yīng)用

斜率求參數(shù)、極值點與參數(shù)；2016年北京卷：由切線斜率

能力。

求參數(shù)、函數(shù)單調(diào)性；2016年山東卷：切線方程、函數(shù)單

調(diào)性與極值

2025年全國二卷：單調(diào)性、極值點與零點唯一性；2024年1.單調(diào)性分析是導(dǎo)數(shù)應(yīng)

上海卷：“最近點”、函數(shù)單調(diào)性；2023年北京卷：函數(shù)用核心，貫穿函數(shù)性質(zhì)研

單調(diào)性區(qū)間；2023年全國甲卷：單調(diào)性、不等式恒成立求究，與極值、最值、不等

考點02：利

參數(shù)；2022年北京卷：單調(diào)性證明、不等式證明；2021年式等深度融合。2.結(jié)合

用導(dǎo)數(shù)研究

全國甲卷：單調(diào)性、曲線交點；2021年全國甲卷：單調(diào)性、不等式恒成立、零點問題

函數(shù)的單調(diào)

不等式恒成立；2020年全國I卷：單調(diào)性、零點個數(shù)與考查成為趨勢，強(qiáng)調(diào)分類

性

參數(shù)；2019年全國II卷：單調(diào)性與極值點唯一性；2018討論、構(gòu)造函數(shù)等思想方

年全國I卷：單調(diào)性、不等式證明；2016年全國II卷：法運用，注重邏輯推理與

單調(diào)性、極值與參數(shù)；2016年山東卷：單調(diào)性區(qū)間、極值數(shù)學(xué)建模能力。

1.極值存在性、極值點

2025年上海卷：函數(shù)極值存在參數(shù)范圍；2024年全國甲與參數(shù)關(guān)系是考查重點，

卷：函數(shù)極值、不等式恒成立求參數(shù)；2023年全國乙卷：常與函數(shù)單調(diào)性、零點等

考點03：利極值存在參數(shù)范圍；2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：極值點與參數(shù)結(jié)合。2.從單一極值求

用導(dǎo)數(shù)研究范圍；2021年全國乙卷：極值點與曲線公共點；2021年解向綜合分析極值對函

函數(shù)的極值天津卷：極值點唯一性、參數(shù)；2019年全國II卷：極值數(shù)整體性質(zhì)（如零點個

點與零點性質(zhì)；2018年浙江卷：極值與參數(shù)范圍；2018年數(shù)、不等式成立）影響轉(zhuǎn)

北京卷：極值點與參數(shù)范圍變，突出對導(dǎo)數(shù)工具性和

函數(shù)本質(zhì)的理解。

1.最值求解常與實際問

題、幾何圖形結(jié)合，體現(xiàn)

導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)

考點04：利2025年全國一卷：三角函數(shù)最值；2020年北京卷：切線用。2.從單純函數(shù)最值

用導(dǎo)數(shù)研究圍成三角形面積最值；2019年江蘇卷：函數(shù)極大值證明；計算向最值與函數(shù)其他

函數(shù)的最值2017年江蘇卷：極值與最值總和范圍性質(zhì)（極值、單調(diào)性）協(xié)

同考查發(fā)展，注重數(shù)學(xué)知

識的綜合運用和實際問

題轉(zhuǎn)化能力。

1.不等式證明作為導(dǎo)數(shù)

應(yīng)用難點，常通過構(gòu)造函

數(shù)，利用單調(diào)性、極值、

2025年全國一卷：三角函數(shù)不等式證明；2023年新課標(biāo)

最值證明，是考查數(shù)學(xué)思

Ⅱ卷：三角函數(shù)不等式證明；2022年浙江卷：切線相關(guān)

考點05：不維和創(chuàng)新能力的重要載

不等式證明；2022年北京卷：不等式證明；2021年全國

等式證明體。2.與函數(shù)零點、曲

乙卷：不等式證明；2019年全國II卷：零點性質(zhì)不等式

線交點等問題交叉命題，

證明；2018年全國I卷：不等式證明

強(qiáng)調(diào)知識遷移和方法靈

活運用，對邏輯推理和數(shù)

學(xué)表達(dá)要求高。

1.零點個數(shù)判斷、零點

與參數(shù)關(guān)系是高頻考點，

緊密圍繞函數(shù)單調(diào)性、極

2025年全國二卷：零點唯一性證明；2024年新課標(biāo)Ⅱ值、最值展開分析。2.從

卷：零點與參數(shù)范圍；2022年全國乙卷：零點與參數(shù)范圍；單一函數(shù)零點向多函數(shù)

考點06：零

2021年全國甲卷：曲線交點（零點）；2020年全國I卷：交點（等價于零點）、零

點問題

零點個數(shù)與參數(shù)范圍；2019年全國II卷：零點與極值點點分布與函數(shù)性質(zhì)綜合

性質(zhì)考查轉(zhuǎn)變，突出導(dǎo)數(shù)在研

究函數(shù)零點問題中的關(guān)

鍵作用，注重數(shù)形結(jié)合思

想應(yīng)用。

考點01：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線

'ln1+?

1

在點處的切?(線?)．?1,+∞,?0=0??=1+??

(?1)=求??的最?大(?值,?；(?))(?≠0)

'

(2)當(dāng)?(?)時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；

1

(3)設(shè)過?1點<A?的<直0線與直線垂直，，與x軸?交=點?(的?)橫坐標(biāo)分?別是，，若，求的取值范

2???2??1

21121221

圍．???????>0???

2．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．

?3

(1)當(dāng)時，求曲線在點?(?處)的=切e線?方??程?；?

(2)若?=1有極小值，且?極=小?值(?小)于0，1,求?(1a)的取值范圍．

3．（2?0(2?3)·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．

1

?

(1)當(dāng)時，求曲線在點??=處的+切?線方ln程1．+?

(2)若函?=數(shù)?1在?單=調(diào)?遞?增，求1的,?取1值范圍．

4．（2022·?全?國乙卷0,·+高∞考真題）已知函數(shù)?

??

(1)當(dāng)時，求曲線在點??處=的ln切1線+方?程+；??e

(2)若?=1在區(qū)間?=??各恰有0,一?0個零點，求a的取值范圍．

5．（2?02?2·浙江·高?考1真,0題,）0,設(shè)+函∞數(shù)．

e

?(?)=2?+ln?(?>0)

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知?(?)，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證

明：?,?∈??=?(?)?1,??1,?2,??2,?3,??3(?,?)

（?。┤?，則；

1?

?>e0<???(?)<2e?1

（ⅱ）若，則．

2e??112e??

22

12313

（注：0<?<e,?是<自?然<對?數(shù)的底e數(shù)+）6e<?+?<??6e

6．（20e20=·北2京.71·8高2考8?真題）已知函數(shù)．

2

（Ⅰ）求曲線的斜率等于的?(?切)線=方12程?；?

（Ⅱ）設(shè)曲線?=?(?)在點?處2的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．

?=?(?)(?,?(?))?(?)?(?)

a

2,

0,22

+∞

0

'

???+

減極小值增

??

7．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).

2?

（Ⅰ）若曲線在點?處(?的)切=線[??斜率?為(3?0，+求1)?a；+3?+2]?

（Ⅱ）若?在=?(?)處取(得2,極?(小2)值)，求a的取值范圍.

?(?)?=1

x1

(?∞,1)(1,+∞)

+0?

'

?(?)

↗極大值↘

?(?)

x1

111

(?∞,1)(1,)(,+∞)

+0??0?+?

'

?(?)

↗極大值↘極小值↗

?(?)

x

111

(?∞,)(,1)1(1,+∞)

+?0???0+

'

?(?)

↗極大值↘極小值↗

?(?)

x

111

(?∞,)(,1)1(1,+∞)

??0?+?0?

'

?(?)

↘極小值↗極大值↘

?(?)

8．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為

???

，?(?)=??+???=?(?)(2,?(2))?=(??

1（)?1）+求4，的值；

（2）求??的單調(diào)區(qū)間.

?(?)

考點02：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

9．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．

1231

23

(1)證明：在區(qū)間存在唯一的?極(?值)點=和ln唯(1一+的?)零?點?；+????0<?<

(2)設(shè)?分(?別)為(在0,區(qū)+間∞)的極值點和零點.

（i）?設(shè)1,函?2數(shù)?(?)(0,+∞)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；

（ii）比較?(?與)=的?大?1小+，?并?證?明?1你?的?結(jié)論．?(?)0,?1

10．（2024·2上?海1·高?2考真題）對于一個函數(shù)和一個點，令，若

22

是取到最小值的點，則稱?是?在的?“最?近,?點”．??=(???)+(????)

00

(?1)?對,于????，求證：對于點??，存?在?點，使得點是在的“最近點”；

1

?

(2)對于?(?)=(?>0)，請判斷是否存?在0一,0個點，它是?在?的“最?近點??”，且直線與在點

?

處的切線?垂?直=；e,?1,0???????=?(?)?

(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點

'

，?=?(?)．若對任意的?(?)，存在點?(同?)時是在的“最近點?”1，?試?判1,斷???的

?單調(diào)?性．?2?+1,??+???∈???1,?2????

11．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

3??+?

(1)求的值；?(?)=???e?=?(?)(1,?(1))?=??+1

(2)設(shè)函?,?數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

'

(3)求的?(極?)值=點?個(?數(shù))．?(?)

12．（?2(0?2)3·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．

sin?π

2

cos?2

(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；??=???,?∈0,

?=1??

(2)若，求的取值范圍．

13．（?20?22+·北si京n?·高<考0真題?）已知函數(shù)．

?

(1)求曲線在點處的切?線(?方)=程e；ln(1+?)

(2)設(shè)?=?(?)，討論(0函,?數(shù)(0))在上的單調(diào)性；

'

(3)證明?(：?)對=任?意(?)的?(?)，有[0,+∞)．

．（全國甲卷?,?高∈考(0真,+題∞）)已知?(?+且?)>?(?，)+函?數(shù)(?)．

142021··?

?

?

?

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；?>0?≠1?(?)=(?>0)

（2）若曲?=線2?與?直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

15．（2021·全?國=甲?卷?·高考真題?=）1設(shè)函數(shù)，其中.

22

（1）討論的單調(diào)性；?(?)=??+???3ln?+1?>0

（2）若??的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.

16．（202?1=·全?國?乙卷·高考真?題）已知函數(shù)．

32

（1）討論的單調(diào)性；?(?)=???+??+1

（2）求曲線??過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．

17．（2020·全?國=I?卷?·高考真題）已知函數(shù)?=??.

?

（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；?(?)=???(?+2)

（2）若?=1有兩個零點?，(?求)的取值范圍.

18．（201?8(?·全)國I卷·高考真題?）已知函數(shù)．

1

?

（1）討論的單調(diào)性；?(?)=-?+?ln?

（2）若?(存?)在兩個極值點，證明：．

??1-??2

?(?)?1,?2?1-?2<?-2

19．（2020·全國II卷·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．

?(?)??(?)

???

20．（2018·全國I卷·高考真題）已知函數(shù)．

?

（1）設(shè)是的極值點．求，并求??=的?單e調(diào)-??區(qū)?-間1；

（2）證明?=：2當(dāng)??時，．???

1

e

21．（2018·浙江?·≥高考真題?）?已≥0知函數(shù)．

（1）若在處導(dǎo)?數(shù)(?相)=等，?證?明ln：?；

（2）若?(?)?=?1，,?證2?明1：≠對?2于任意，直線??1+?與?曲2線>8?8ln2有唯一公共點．

?≤3?4ln2?>0?=??+??=?(?)

22．（2016·全國II卷·高考真題）(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)>0時，

??2??

?(?)=?+2??(??2)?+?+2>0;

證明：當(dāng)時，函數(shù)（）有最小值設(shè)（）的最小值為，求函數(shù)的

(2)?.gx

??????

2

?

值域.?∈[0,1)?x=(?>0)?(?)?(?)

23．（2016·山東·高考真題）設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；∈

（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.

考點03：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

24．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知．

2

(1)若，求不等式?(?)=的?解?集(?；+2)?+?ln?,?∈?

2

(2)若函?(1數(shù))=0滿足在?(?)≤?上?存1在極大值，求m的取值范圍；

25．（2024?·全=國?(甲?)卷·高考(真0,題+）∞)已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時，求的極值；??=1???ln1+???

(2)當(dāng)?=?2時，??，求的取值范圍．

26．（?2≥0230·全國?乙?卷·≥高0考真題?）已知函數(shù).

1

?

(1)當(dāng)時，求曲線在點?(?)處=的切+線?方ln程(1；+?)

(2)是否?=存?在1a，b，使得曲?=線??關(guān)1,于?直1線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.

1

?

(3)若在存在極值?，=求?a的取值范圍?.=?

27．（?20?23·新0課,+標(biāo)∞Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；

2

（2）已知函數(shù)，若0<是?<1的極大?值??點，<求sina?的<取?值范圍．

2

28．（2021·全國?乙?卷=·高co考s?真?題?）ln設(shè)1函?數(shù)??=0?，?已知是函數(shù)的極值點．

（1）求a；??=ln????=0?=???

（2）設(shè)函數(shù)．證明:．

?+?(?)

?(?)=??(?)??<1

29．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．

?

（I）求曲線在點?處>的0切線方?程(?：)=?????

（II）證明?=存?在(?唯)一的(0極,?值(0點))

（III）若存?在(?)a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．

?(?)≤?+??∈?

30．（2019·全國II卷·高考真題）已知函數(shù).證明：

（1）存在唯一的極值點；?(?)=(??1)ln????1

（2）?(?)有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

31．（2018·全?(國?)I=II0卷·高考真題）已知函數(shù)．

2

（1）若，證明：當(dāng)時，??=；2當(dāng)+?+??時，ln1+??；2?

（2）若?=0是的極?大1值<點?，<求0．??<0?>0??>0

32．（201?8=·北0京·?高?考真題）設(shè)函數(shù)?=[]．

2?

（1）若曲線在點（1，?(）?)處的??切線?(與4?軸+平1)行?+，4求?+；3?

（2）若在?=??處取得極小?值(1，)求的取值范圍?．?

33．（201?9(?·江)蘇?·高=考2真題）設(shè)函數(shù)?，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值?(?；)=(???)(???)(???),?,?,?∈R??'(?)

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且??'(f（?)x）的極大值為M{，?求3,1證,3:}M≤．

4

?=0,0<??1,?=127

111

?(0,)(,1)

+303–3

??'(?)

極大值

?(?)↗↘

1

?(?∞,?3)?3(?3,1)(1,+∞)

+0–0+

極大值極小值

?(?)↗↘↗

?(?∞,?1)?1?1,?2?2(?2,+∞)

+0–0+

極大值極小值

?(?)↗↘↗

111

?(0,)(,1)

+303–3

??'(?)

極大值

?(?)↗↘

，

34．（2017·江蘇·高考真題）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值

32

點是的零點．（極值點是指函數(shù)取極fx值=時x對+應(yīng)?的x自+變??量+的1值(?）>0,?∈?)fx

（1）f求xb關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：b2>3a;

，

（3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍．

7

fxfx-2

x

(

?1(?1,?2)?2(?2,+∞)

?∞,?1)

+0–0+

'

?(?)

極大值極小值

?(?)↗↘↗

35．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).

1312

32

(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點??處=的切?線?方?程?；,?∈?

(II)設(shè)函數(shù)?=??3,?3,討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

??=??+???cos??sin???

考點04：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

36．（2025·全國一卷·高考真題）（1）設(shè)函數(shù)，求在的最大值；

π

4

（2）給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存?在(?)=5cos??cos5，?使得?(?)0,；

（3）設(shè)?∈，(0若,π存)在使得?∈[???,?對+?]恒成立co，s?求≤bc的os最?小值．

37．（202?3∈·新?課標(biāo)Ⅰ卷·高?考∈真?題）在5直cos角?坐?標(biāo)co系s(5?+中?，)≤點?到?軸∈的?距離等于點到點的距離，記動點

1

的軌跡為．??????0,2?

(1)求的?方程；

(2)已知?矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．

38．（2022·新??高?考?全國Ⅰ卷·高考真?題）已知函數(shù)????和33有相同的最小值．

?

(1)求a；?(?)=?????(?)=???ln?

(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)?列=．??=?(?)?=?(?)

39．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．

1

?

(1)當(dāng)時，求的最大值；?(?)=????(?+1)ln?

?=0?(?)

(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．

40．（?2(0?2)1·北京·高考真題）已知函數(shù)．

3?2?

2

?+?

（1）若，求曲線在點??=處的切線方程；

（2）若?=0在處?取=得?極?值，求1,?1的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．

???=?1??

?∞,4,

??1?1,44

?1+∞

'

??+0?0+

增極大值減極小值增

??

41．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．

?

（Ⅰ）求曲線在點處的?(切?)線=方e程co；s???

（Ⅱ）求函數(shù)?=?在(?區(qū))間(0,?上(0的))最大值和最小值．

π

?(?)[0,2]

42．（2017·全國III卷·高考真題）已知函數(shù)．

（1）若，求a的值；?(?)=??1??ln?

（2）設(shè)?m(?為)≥整0數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．

111

2?

(1+2)(1+2)?(1+2)<?

43．（2017·浙江·高考真題）已知函數(shù)

?x1

2

（I）求的導(dǎo)函數(shù)fx=x-2x-1ex≥

（II）求fx在區(qū)間，上的取值范圍

1

fx2+∞

x（，1）1（1，）（，）

11555

222+∞

2–0+02–

'

??

f（x）0

15

??

1212

?↘↗?↘

22

44．（2016·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)，x∈R，其中a,b∈R.

3

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；?(?)=(??1)?????

（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

（Ⅲ）設(shè)a＞0,函數(shù)g（x）=|f（x）|,求證：g（x）在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.

1

4

3?

(?∞,1113?

(1?,1(1+,

33

3?3?3?3?

?)?++∞)

33+)3

＋0－30＋

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

考點05：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

45．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)

2

(1)時，求在點處的?切(?線)=方?程?；?(ln?)

(2)?=1有3個零?點(?，)(1,?(且1)).

（i?）(?求)a的取值范圍?；1,?2,?3?1<?2<?3

（ii）證明．

4e

213e?1

46．（2024·天ln?津·?高l考n?真題?l）n?已<知函數(shù)．

(1)求曲線在點處的切?線?方=程?；ln?

(2)若?=??對1任,?意1成立，求實數(shù)的值；

??≥?????∈0,+∞?

若，求證：．

(3)1

2

?1,?2∈0,1??1???2≤?1??2

47．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．

11

?2

(1)求曲線在處的切線斜?率?；=+ln?+1

(2)求證：當(dāng)?=??時，?=2；

(3)證明：?>0??>1．

51

62

48．（2023·上<海ln·?高!考?真?題+）令ln?+?≤1，取點過其曲線作切線交y軸于，取點

過其作切線交y軸于??=，ln?若?則1,停?止?1，以此類推?，=得?到?數(shù)列．0,?2

(1?)2若,?正?整2數(shù)，證明0,?3；?3<0??

(2)若正整數(shù)?≥2，試比較??=與ln???1?1大??；

(3)若正整數(shù)?≥2，是否存在??k使?得??1?2依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試

說明理由．?≥3?1,?2???

49．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．

???

(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；?(?)=?e?e

(2)當(dāng)?=1時，?(?)，求a的取值范圍；

(3)設(shè)?>0，證?明(?：)<?1．

?111

222

?∈?1+1+2+2+?+?+?>ln(?+1)

50．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；??=?1?ln?

（2）設(shè)，??為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.

11

??

51．（202?1·浙?江·高考真題）設(shè)a，b為?實ln數(shù)?，?且?ln?=?，?函?數(shù)2<+<e

?2

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；?>1??=????+?(?∈R)

（2）若對任意??，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；

2

（）當(dāng)時?，>證2明?：對任?意?，函數(shù)有兩個不同的零點，