專題3.2二次根式的乘法和除法（舉一反三講義） 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1二次根式乘除成立的條件】 2【題型2最簡二次根式】 3【題型3根號內(nèi)、外的因式互移】 3【題型4分母有理化】 3【題型5分子有理化】 4【題型6二次根式的乘除運算】 5【題型7二次根式的化簡求值】 6【題型9二次根式乘除的應(yīng)用】 6知識點1二次根式的乘法1.二次根式的乘法法則兩個算術(shù)平方根的積，等于它們被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即a?例如：2?2.二次根式的乘法法則的拓展（1）二次根式的乘法公式可推廣到多個二次根式相乘的運算，即a?（2）當二次根式前面有系數(shù)時，類比單項式乘法，將根號前的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)，即ma知識點2積的算術(shù)平方根1.積的算術(shù)平方根等于積中各個因式算術(shù)平方根的積，即ab=運用此公式時，被開方數(shù)必須能寫成乘積的形式．2.該法則可以推廣到多個非負數(shù)的積的算術(shù)平方根的運算，即abc=3.應(yīng)用：化簡二次根式，先將被開方數(shù)進行因數(shù)分解或因式分解，再利用ab=a?b(a知識點3二次根式的除法1.二次根式的除法法則兩個算術(shù)平方根的商，等于它們被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根，即ab2.二次根式的除法公式可以推廣到多個二次根式相除的運算，即a÷3.二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相除的法則，把系數(shù)和被開方數(shù)分別相除作為積的因式，即ma知識點4商的算術(shù)平方根商的算術(shù)平方根等于商中各個因式算術(shù)平方根的商，即ab知識點5最簡二次根式1.被開方數(shù)不含分母，并且被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)（或因式），分母中不含根號，這樣的二次根式稱為最簡二次根式．2.化為最簡二次根式的步驟（1）把根號下的帶分數(shù)化為假分數(shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化為分數(shù)，被開方數(shù)是多項式時，先因式分解；（2）將被開方數(shù)中能開盡的因數(shù)(或因式）進行開方；（3）利用ab（4）分母有理化，化去分母中的根號；（5）約分化簡，整理成最簡二次根式．【題型1二次根式乘除成立的條件】【例1】對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=ab．該運算法則成立的條件是（

）A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0 C．a(chǎn)≤0,b≤0 D．a(chǎn)≥0,b≥0【變式11】能使等式xx?3=xA．x≥0 B．x≥3 C．x>3 D．x>3或【變式12】等式b2?9【變式13】小路在學(xué)習(xí)了ab=ab后，認為(1)你認為他的化簡對嗎？如果不對，請寫出正確的化簡過程；(2)說明ab【題型2最簡二次根式】【例2】（2425八年級下·湖北隨州·期中）下列各式①8；②0.3；③72；④3；⑤a2+1A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式21】（2425八年級上·山西運城·期末）把25化成最簡二次根式的結(jié)果為【變式22】（2425八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）若最簡二次根式n?12n+1與最簡二次根式4n?m相等，則n=．m=【變式23】（2425八年級下·安徽安慶·期中）已知a是一個正整數(shù)，20a也是正整數(shù)，則a的最小值為（）A．4 B．5 C．10 D．20【題型3根號內(nèi)、外的因式互移】【例3】把a?b?1a?b【變式31】若把?43根號外的因式移到根號內(nèi)，得（

A．12 B．?12 C．?48 【變式32】將?a?a中的aA．?a?a3 B．?a3 【變式33】（2425九年級上·四川眉山·階段練習(xí)）把1?x1x?1根號外面的因式移到根號里面化簡的結(jié)果是【題型4分母有理化】【例4】（2425八年級下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）對于有理數(shù)a和b，定義了一種新運算：a※b=a+ba?b，例如6※3=6+36?3=93【變式41】（2425八年級上·上?！て谥校懗?a?b的一個有理化因式．【變式42】（2425八年級下·山東德州·階段練習(xí)）已知y=x?3+3?x+5，則【變式43】（2425八年級下·安徽合肥·階段練習(xí)）對于任意不相等的兩個正實數(shù)a，b，定義一種運算“※”如下：a※b=a+b（1）3※6=（2）2?3※【題型5分子有理化】【例5】【方法總結(jié)】如何比較兩個數(shù)的大小，我們常采用作差或作商的方法，其實有時候用“平方法”來比較大小也會取得很好的效果．例如，比較a=23和b=32的大小，我們可以把a和b分別平方．∴a請利用“平方法”解決下面問題：（1）比較c=42,d=27大小，c（2）猜想m=25【拓展延伸】當然除了“平方法”外，分子有理化可以用來比較某些二次根式的大?。纾容^7?6和6?5的大小，可以先將它們分子有理化如下：7?6=（3）根據(jù)材料，請選擇合適的方法比較2025?2024與【變式51】（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：2=3?1(1)比較大?。?3?7_______111?3（填“(2)計算：11+(3)若a=23?1【變式52】（2425八年級上·北京順義·期末）請解決下列問題：(1)把下列各式分子有理化：①3?2=_________(2)比較13?11和(3)將式子x+1?【變式53】（2425八年級下·北京·期中）閱讀下述材料：我們在學(xué)習(xí)二次根式時，學(xué)習(xí)了分母有理化以及應(yīng)用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”；與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和7?6=因為7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x?2≥0可知x≥2，而y=x+2當x=2時，分母x+2+x?2有最小值2，所以y的最大值是解決下述問題：(1)32(2)比較a?a?1和(3)求y=2x+4【題型6二次根式的乘除運算】【例6】（2425八年級下·北京·期中）下列計算正確的是（

）A．6÷23×C．a(chǎn)2+b【變式61】計算15÷4A．1 B．354 C．14【變式62】（2425九年級下·山東威?！て谥校┯嬎悖?1)320(2)35(3)已知A=52x+1，B=3x+3，C=10x+3y，A【變式63】（2425八年級上·河北邯鄲·階段練習(xí)）幻方是一種傳統(tǒng)游戲，類比幻方，我們給出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數(shù)相乘的結(jié)果都相等，則A+B?D+C的值為AB5510C210D【題型7二次根式的化簡求值】【例7】已知4+x2?9+x【變式71】已知a?1a=2，則A．22 B．±22 C．23【變式72】先化簡，再求值：2x?xy?(yx÷【變式73】若三個正數(shù)a，b，c滿足a+4ab+3b﹣2bc﹣c＝0，則a+bc【題型8實數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例8】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2【變式81】（2025·江蘇泰州·三模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2a2【變式82】（2025·江蘇無錫·一模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：4x2【變式83】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x2y【題型9二次根式乘除的應(yīng)用】【例9】（2425八年級下·廣東廣州·期中）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，每個小正方形的邊長為【變式91】（2425八年級上·貴州畢節(jié)·期末）“海闊千江輳，風翻大浪隨．”海浪的大小與風速和風壓有很大的關(guān)系，用風速估計風壓的通用公式為wp=v21600，其中wp為風壓kNm2，v【變式92】（2425八年級下·福建廈門·期中）汽車剎車距離是指汽車從開始剎車到完全停止所行駛的距離，它反應(yīng)了汽車的制動性能和行駛安全性，剎車距離越短，說明汽車的制動性能越好，行駛越安全，剎車距離與行駛速度之間的關(guān)系可以表示為公式v=16df，其中v表示車輛行駛速度（單位km/h），d表示剎車后車輪滑過的距離（單位m）f表示動摩擦因數(shù)，根據(jù)我國國家標準，100公里剎車距離在42米以內(nèi)是比較優(yōu)秀的，（100公里