課時(shí)分層作業(yè)四十七利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系一、選擇題(每小題5分,共25分)1.向量a=(2,3,1),b=(2,0,4),c=(4,6,2),下列結(jié)論正確的是 ()A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不對(duì)【解析】選C.因?yàn)閍·b=0,c=2a,所以a∥c,a⊥b【變式備選】設(shè)a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,則xz等于 ()A.4 B.9 C.9 D.【解析】選B.因?yàn)閍∥b,所以x3=42=3z,所以x=6,z=32.(2018·泰安模擬)已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是A.· B.·C.· D.·【解析】選D.當(dāng)側(cè)面BCC1B1是正方形時(shí)可得·=0,所以排除A.當(dāng)?shù)酌鍭BCD是正方形時(shí),AC垂直于對(duì)角面BD1,所以排除B.顯然排除C.由圖可得BD1與BC所成的角小于90°.3.(2018·淮安模擬)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解題指南】利用向量垂直條件求解.【解析】選B.因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=2a3,所以=23,=23所以=++=23++23=23(+)++23(+)=23+13.又因?yàn)槭瞧矫鍮1BCC1的法向量,且·=·=0,所以⊥,所以MN∥平面B1BCC1.【變式備選】在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E為A1C1中點(diǎn),則直線 ()A.AC B.BD C.A1D D.A1【解析】選B.以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E12所以=-12,-1=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1).顯然·=1212+0=0,所以⊥,即CE⊥BD.4.(2018·石家莊模擬)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.【解析】選B.以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13F23,1=(1,0,1),=(1,1,0),=13,13=13,·=·=0,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.5.已知三點(diǎn)A(2,1,2),B(1,2,3),C(1,1,1),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)Q在直線OC上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)·取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 ()A.23,23C.113,113【解析】選B.設(shè)=λ=(λ,λ,λ),則·=(2λ,1λ,2λ)·(1λ,2λ,3λ)=3λ211λ+10,λ=116時(shí)取得最小值,Q坐標(biāo)為11二、填空題(每小題5分,共15分)6.點(diǎn)B(3,0,0)是點(diǎn)A(m,2,5)在x軸上的射影,則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為________.

【解析】點(diǎn)B(3,0,0)是點(diǎn)A(m,2,5)在x軸上的射影,所以m=3,所以點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為d=(3)2+2答案:427.(2018·南陽(yáng)模擬)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個(gè)法向量n=(1,1,1),則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是________.

【解析】設(shè)平面α的法向量為m=(x,y,z),由m·=0,得x·0+yz=0?y=z,由m·=0,得xz=0?x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),如果=(2,1,4),=(4,2,0),=(1,2,1).對(duì)于結(jié)論:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正確的是________.

【解析】因?yàn)椤?0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,則①②正確.又與不平行,所以是平面ABCD的法向量,則③正確.因?yàn)?=(2,3,4),=(1,2,1),所以與不平行,故④錯(cuò).答案:①②③三、解答題(每小題10分,共20分)9.在棱長(zhǎng)是2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).(1)求EF的長(zhǎng).(2)證明:EF∥平面AA1D1D.【解析】(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1).=(1,0,1),||=2,即EF=2.(2)連接AD1,因?yàn)?(2,0,2),所以AD1∥EF.而EF?平面ADD1A1,所以EF∥平面AA1D110.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn)(1)求證:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE.若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由.【解析】(1)以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0故=(0,1,1),=-a2,=(a,0,1),=a2,1因?yàn)椤?a2×0+1×1+(1)×1=0,所以B1E⊥AD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此時(shí)=(0,1,z0).又設(shè)平面B1AE的法向量n=(x,y,z).因?yàn)閚⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得ax取x=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量n=1,-要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有a2az0=0,解得z0=12.又DP?平面B1所以存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=121.(5分)已知點(diǎn)A(1,2,0)和向量a=(3,4,12),若向量∥a,且=2QUOTEa|a|,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()A.(5,6,24) B.(5,6,24)或(7,10,24)C.(5,16,24) D.(5,16,24)或(7,16,24)【解析】選B.設(shè)B(x,y,z),則=(x1,y+2,z),依題意得解得x=5,y=6,z=24或x=7,y=10,z=24,則B(5,6,24)或B(7,10,24).2.(5分)以下說法正確的個(gè)數(shù)有 ()(1)若向量是直線l的一個(gè)方向向量,則向量也是l的一個(gè)方向向量.(2)若向量a是直線l的一個(gè)方向向量,則向量ka也是直線l的一個(gè)方向向量.(3)若兩條直線平行,則它們的方向向量方向相同或相反.(4)一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè),它們是共線向量.(5)一個(gè)平面的法向量就是這個(gè)平面的垂線的方向向量.A.1 B.2 C.3 【解析】選D.與l共線的非零向量都是l的方向向量.(1)(3)對(duì).當(dāng)k=0時(shí),ka=0不可以作為方向向量,(2)錯(cuò)一個(gè)平面的法向量就是這個(gè)平面垂線的方向,故(4)(5)對(duì).【誤區(qū)警示】根據(jù)線面垂直的判定定理可知,只要直線垂直于該平面內(nèi)的任意兩條相交直線,它就垂直于該平面,也就垂直于該平面內(nèi)的任意直線,因此,求法向量的坐標(biāo)只要滿足兩個(gè)方程就可以了.法向量的個(gè)數(shù)也不唯一.3.(5分)(2018·惠州模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn),O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),線段D1Q與OP互相平分,求滿足=的實(shí)數(shù)λ的個(gè)數(shù) ()A.1 B.2 C.3 【解析】選B.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則P(x,y,2),O(1,1,0),所以O(shè)P的中點(diǎn)坐標(biāo)為x+1又知D1(0,0,2),所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,所以xQ+yQ=3,所以x+y=1,即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x+y=1.所以有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P,即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ.4.(12分)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),則·的取值范圍是__________. 【解析】以所在的直線為x軸,以所在的直線為y軸,以所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).所以=(0,1,0),=(1,1,1).因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),所以=λ·=(λ,λ,λ),且0≤λ≤1.所以=+=+=(λ,1λ,λ),所以·=1λ∈[0,1],答案:[0,1]5.(13分)如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形,P,O分別是上、下底面的中心,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AB=kAA1(1)求證:A1E∥平面PBC.(2)當(dāng)k=2時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.(3)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?【解析】以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),直線OA,OB,OP所在直線為x,y和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=22,則A12,P0,(1)由上得=-1,1,-22