第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省衡陽八中教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.使分式1x+2有意義的條件是(

)A.x≠?2 B.x≠2 C.x≠±2 D.x>?22.《苔》：“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學(xué)牡丹開.”歌頌了苔在惡劣環(huán)境下仍有自己的生命意向.苔花的花粉粒直徑約為0.0000064米，用科學(xué)記數(shù)法表示為0.0000064=6.4×10n，則n為A.?5 B.?6 C.5 D.63.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1,?4)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(?1,?4) B.(?1,4) C.(1,4) D.(1,?4)4.下列命題正確的是(

)A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形5.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是(

)A.(x?2)2=2 B.(x+2)2=26.反比例函數(shù)y=12x圖象上有三個點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)A.y1<y2<y3 B.7.如圖，尺規(guī)作圖：①在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA=OB；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；③連接AC，BC，AB，OC.若AB=2cm，四邊形OACB的面積為4cm2.則OC的長為(

)A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm8.某校八年級學(xué)生去距離學(xué)校120km的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)1?后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時到達(dá)．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度．設(shè)慢車的速度是x?km/?，所列方程正確的是(

)A.120x+1=1201.5x B.120x?1=9.如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP≌△ACB，添加下列一個條件，不正確的是(

)A.∠ABP=∠C

B.∠APB=∠ABC

C.APAB=BP10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且CE=BF，連接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G，若∠AED=2β，則∠AGD的度數(shù)為(

)A.90°?β

B.45°+β

C.45°+2β

D.90°?2β二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.若分式x2?1x?1的值為0，則x的值為

12.計算：8?213.已知一次函數(shù)y=3x?1與y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，則方程組3x?y=1kx?y=0的解是

．14.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?10x(x<0)的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，C是點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，連接AC，則△ABC的面積為______．

15.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD=6，BD=2，則CD=______．

16.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知∠AOB=60°，AB=2，則AC的長為______．

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為______．

18.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?ABCD的面積為10，且邊AB在x軸上.如果將直線y=?x沿x軸正方向平移，在平移過程中，記該直線在x軸上平移的距離為m，直線被平行四邊形的邊所截得的線段的長度為n，且n與m的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，那么a+b的值是______．

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題6分)

計算：(?2)20.(本小題6分)

先化簡，再求值：(2xx2?421.(本小題8分)

某中學(xué)(一)班共50名同學(xué)開展了“我為災(zāi)區(qū)獻(xiàn)愛心”的活動，活動結(jié)束后，班長將捐款情況進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制成下面的統(tǒng)計圖．

(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，中位數(shù)是______．

(2)求這50名同學(xué)捐款的平均數(shù)；

(3)該校共有學(xué)生1600名，請根據(jù)該班的捐款情況，估計這個中學(xué)的捐款總數(shù)大約是多少元？22.(本小題8分)

紫外線殺菌燈的電阻y(kΩ)隨溫度x(℃)的變化的大致圖象如圖所示.通電后溫度由室溫10℃上升到30℃時，電阻與溫度成反比的函數(shù)關(guān)系.且在溫度達(dá)到30℃時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1℃，電阻增加415kΩ．

(1)當(dāng)10≤x≤30時，求y與x之間的關(guān)系式．

(2)紫外線殺菌燈在使用過程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時，電阻不超過6kΩ23.(本小題9分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：BE=CD；

(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED是平行四邊形．24.(本小題9分)

某學(xué)校準(zhǔn)備從甲、乙兩家網(wǎng)店購入若干教學(xué)用品，該教學(xué)用品在兩家網(wǎng)店的標(biāo)價均為15元/件，但兩店進(jìn)行不同的促銷活動：甲網(wǎng)店一次性購買金額不超過300元的按原價購買，超過300元的部分按標(biāo)價的六折出售；乙網(wǎng)店商品全部按標(biāo)價的八折出售．

(1)若該校需要購買40件教學(xué)用品，則在甲網(wǎng)店需花費(fèi)______元；在乙網(wǎng)店需花費(fèi)______元.

(2)若學(xué)校計劃購買教學(xué)用品x件，設(shè)在甲網(wǎng)店花費(fèi)y甲元，在乙網(wǎng)店花費(fèi)y乙元，請求出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式．

25.(本小題10分)

問題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE=AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)延長CB到點(diǎn)H，使得BH=AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．

(3)類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE=AF，∠AED=60°，AE=6，BF=2，求DE的長．26.(本小題10分)

【閱讀理解】

定義：在同一平面內(nèi)，有不在同一條直線上的三點(diǎn)M，N，P，連接PM，PN，設(shè)

線段PM，PN的夾角為α，PMPN=w，則我們把(α,w)稱為∠MPN的“度比坐標(biāo)”，把(α,1w)

稱為∠NPM的“度比坐標(biāo)”．

【遷移應(yīng)用】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+4與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并寫出∠AOB的“度比坐標(biāo)”(用含k的代數(shù)式表示)；

(2)C，D為直線AB上的動點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè))，且∠COD的“度比坐標(biāo)”為(90°,1)．

ⅰ)若k=12，求CD的長；

ⅱ)在ⅰ)的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使得∠DOE的“度比坐標(biāo)”與∠OCB的“度比坐標(biāo)”相等？若存在，請求出點(diǎn)參考答案1.A

解：由題意得：x+2≠0，

解得：x≠?2，

故選：A．

2.B

解：0.0000064=6.4×10?6，

則n為?6，

故選：B．

3.解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1,?4)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1,4)．

故選：B．

4.A

解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A正確；

B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故B錯誤；

C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故C錯誤；

D、對角線互相平分且相等且互相垂直的四邊形是正方形，故D錯誤；

故選：A．

5.D

解：x2+4x+1=0，

x2+4x=?1，

x2+4x+4=?1+4，

(x+2)2=3解：y=12x，反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，

∵x1<x2<0，

∴y2<y1<0，

∵x解：由作法得OA=OB=AC=BC，

∴四邊形OACB為菱形，

∵四邊形OACB的面積為4cm2，

∴12OC?AB=4，

即12×2×OC=4，

解得OC=4，

即OC的長為4cm解：設(shè)慢車的速度為x?km/?，

根據(jù)題意可列方程為：120x?1=1201.5x．

故選：B．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，

∴當(dāng)∠ABP=∠C時，滿足兩組角對應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A正確；

當(dāng)∠APB=∠ABC時，滿足兩組角對應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B正確；

當(dāng)APAB=BPBC時，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故C不正確；

當(dāng)APAB=ABAC時，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故D正確；解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=AD，∠ADE=∠DCF，AD//BC，

∵CE=BF，

∴DE=CF，

∴△DFC≌△AED(ASA)，

∴∠AED=∠DFC=2α，

∴∠ADF=∠DFC=2α，

∵DG平分∠ADF，

∴∠ADG=β，

∴∠AGD=90°?β．

故選：A．

11.?1

解：由題意可得x2?1=0且x?1≠0，

解得x=?1．

故答案為?1．

12.解：8?2

=22?2

=解：∵一次函數(shù)y=3x?1與y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，

∴聯(lián)立y=3x?1與y=kx的方程組3x?y=1kx?y=0的解為：x=1y=2，

故答案為：14.10

解：設(shè)A(a,b)，則B(a,0)，C(?a,0)，

∴AB=b，BC=|2a|=?2a，

∴S△ABC=12×AB×BC=12b×(?2a)=?ab，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?10x(x<0)的圖象上，

∴ab=?10解：∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠A=∠DCB，

∵∠ADC=∠CDB，

∴△ADC∽△CDB，

∴ADCD=CDBD，即6CD=CD2，

解得，CD=2解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，

∴OA=OB=OC=OD，

又∵∠AOB=60°，

∴△AOB為等邊三角形，

∴∠BAO=60°，

在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAO=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AB=2，

∴AC=2AB=4．

故答案為：4．

17.5

解：取點(diǎn)O′(0,4)，連接O′P，O′A，如圖，

∵B(0,2)，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，

∴點(diǎn)O′(0,4)與點(diǎn)O(0,0)關(guān)于直線l對稱，

∴PO′=PO，

∴PO+PA=PO′+PA≥O′A，

即PO+PA的最小值為O′A的長，

在Rt△O′AO中，

∵OA=3，OO′=4，

∴由勾股定理，得O′A=OA2+OO′2=32+42=5解：在圖1中，過點(diǎn)D，B，C作直線與已知直線y=?x平行，交x軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，

在圖2中，取A′(2,0)，E′(5,b)，B′(a,b)，F(xiàn)′(10,0)，

圖1中點(diǎn)A對應(yīng)圖2中的點(diǎn)A′，得出OA=m=2，

圖1中點(diǎn)E對應(yīng)圖2中的點(diǎn)E′，得出OE=m=5，DE=n=b，則AE=3，

圖1中點(diǎn)F對應(yīng)圖2中的點(diǎn)F′，得出OF=m=10，

圖1中點(diǎn)B對應(yīng)圖2中的點(diǎn)B′，得出OB=m=a，

∵a=OB=OF?BF，

由圖2知BF=AE=3，

∴OF=10，a=7，

∵?ABCD的面積為10，AB=OB?OA=7?2=5，

∴DG=2，

在Rt△DGE中，∠DEG=45°，

∴DE=22，

∴b=22，

∴a+b=7+22．

故答案為：7+22．

19.20.解：原式=(2x(x+2)(x?2)?x+2(x+2)(x?2))?x+2x

=x?2(x+2)(x?2)?x+221.解：(1)觀察統(tǒng)計圖可知，捐款40元的人數(shù)最多，為18人，所以眾數(shù)是40元，

∵一共有50個數(shù)據(jù)，將捐款金額從小到大排列后，第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，

從圖中可知，捐款20元的有7人，捐款30元的有15人，

那么前7+15=22人捐款金額小于40元，第23到40人捐款40元，

∴第25個和第26個數(shù)據(jù)都是40元，中位數(shù)為(40+40)÷2=40(元)，

故答案為：40元，40元；

(2)捐款總數(shù)為20×7+30×15+40×18+100×10

=140+450+720+1000

=2310(元)，

平均數(shù)為2310÷50=46.2(元)；

(3)已知該校共有學(xué)生1600名，該班同學(xué)捐款平均數(shù)為46.2元，

1600×46.2=73920(元)，

答：估計這個中學(xué)的捐款總數(shù)大約是73920元．

22.解：(1)設(shè)y=mx．

∵過點(diǎn)(10,6)，

∴m=xy=10×6=60．

∴當(dāng)10≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為：y=60x；

(2)將x=30℃代入上式中得：y=6030，y=2．

∴溫度在30℃時，電阻y=2(kΩ)．

∵在溫度達(dá)到30℃時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1℃，電阻增加415kΩ，

∴當(dāng)x≥30時，

y=2+415(x?30)=415x?6，

把y=6代入y=60x，

得x=10；

23.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AB=CD，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，且AB=CD，

∴BE=CD；

(2)∵BE=AB，BF平分∠ABE，

∴AF=EF，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠CEFAF=EF∠AFD=∠EFC,

∴△ADF≌△ECF(ASA)，

∴DF=CF，

又∵AF=EF，

∴四邊形24.解：(1)根據(jù)兩家網(wǎng)店的優(yōu)惠方案標(biāo)價為15×40=600(元)，

則在甲網(wǎng)店需花費(fèi)：300+300×0.6=480(元)；

在乙網(wǎng)店需花費(fèi)：600×0.8=480(元)．

故答案為：480，480；

(2)300÷15=20(件)．

當(dāng)0<x≤20時，y甲=15x(x為整數(shù))，

當(dāng)x>20時，y甲=9x+120(x為整數(shù))；

∴y甲=15x(0<x≤20,且x為整數(shù))9x+120(x>20,且x為整數(shù))，

y乙=0.8×15x=12x(x>0，且x為整數(shù))．

(3)不超過20件時，y甲=15x，y乙=12x，y甲>y乙，故應(yīng)選擇乙網(wǎng)店；

當(dāng)購買超過20件時，y甲=9x+120，y乙=12x，

由y甲>y乙，則9x+120>12x，解得x<40．

故購買超過20件，不超過40件時，選擇乙網(wǎng)店；

由y甲=y乙，則9x+120=12x，解得x=40．

故購買40件時花費(fèi)相同，選擇甲、乙兩家網(wǎng)店皆可；

由y甲<y乙，則9x+120<12x，解得x>40．

故購買超過40件時，選擇甲網(wǎng)店．

綜上所述，購買40件以下時選