玉溪一中2025—2026學(xué)年上學(xué)期高三適應(yīng)性測試（四）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用黑色碳素筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊6.的展開式中的系數(shù)為（）A55 B. C.30 D.7.已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.8.“曼哈頓距離”是人臉識別中一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，則兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，若點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在長方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.四點(diǎn)共面 B.直線與所成角為C.平面 D.平面平面10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若且，則 D.若，則11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值C.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D.當(dāng)時，直線與曲線有三個交點(diǎn)，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩個單位向量，滿足，則向量和的夾角為______.13.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)．過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線．若的交點(diǎn)在上（均在軸上方，且，則的離心率為__________．14.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人.如果設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則__________；__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的面積．16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．17.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，組：組：.先從組數(shù)據(jù)中任取3個，構(gòu)成數(shù)組，再從組數(shù)據(jù)中任取3個，構(gòu)成數(shù)組，兩組抽取的結(jié)果互不影響.（1）求數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8的概率；（2）記，其中表示數(shù)組中最小的數(shù)，表示數(shù)組中最大的數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.18.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與的焦點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)在上在第一象限），點(diǎn)在上，．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，求直線的斜率；（3）若直線與的斜率之積為，求四邊形面積的最小值．19.已知，（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；（2）對，有恒成立，求的最大整數(shù)解；（3）令，若有兩個零點(diǎn)分別為且為的唯一的極值點(diǎn)，求證：.玉溪一中2025—2026學(xué)年上學(xué)期高三適應(yīng)性測試（四）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用黑色碳素筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】∵，∴，又，所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所?故選：A.3.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】令，又在R上單調(diào)遞減，所以要使在區(qū)間單調(diào)遞增，則在區(qū)間單調(diào)遞減，所以由的開口向上且對稱軸為得，解得.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】故選：D.5.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C6.的展開式中的系數(shù)為（）A55 B. C.30 D.【答案】C【詳解】對，有，令，有，令，有，則，故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.7.已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】如圖，數(shù)形結(jié)合，觀察直線與曲線的位置關(guān)系.當(dāng)，故在處的切線方程為.當(dāng)，同理可得在處的切線方程為.當(dāng)，設(shè)切點(diǎn)為，其中，則過該點(diǎn)的切線方程為，代入，得，故過的切線方程為.可得當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個零點(diǎn).此時故選：B8.“曼哈頓距離”是人臉識別中一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)，則兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，若點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】如圖所示，由圓，可得，則圓心，半徑，設(shè)，則，可得點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，則，則，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在長方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.四點(diǎn)共面 B.直線與所成角為C.平面 D.平面平面【答案】BD【詳解】對于A：在長方體中，在平面內(nèi)，為的中點(diǎn)，平面，則為平面外一點(diǎn)，故不共面，故A錯誤；對于B：如圖，取中點(diǎn)，連接，，可得，則為直線與所成角，在長方體中，由，易得為邊長為的正三角形，故，故B正確；對于C：若平面，又平面，則平面平面，而平面平面，故矛盾，故C錯誤；對于D：在長方體中，平面，平面，所以，平面平面，故D正確.故選：BD10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若且，則 D.若，則【答案】AD【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時，.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，∴，故A正確.對于選項(xiàng)B，∵且，由糖水原理可知，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時，結(jié)論不成立，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，，即，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值C.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D.當(dāng)時，直線與曲線有三個交點(diǎn)，，則【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，時，，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)時，恒成立，此時在R上單調(diào)遞增，無極值，B錯誤；C選項(xiàng)，顯然不在上，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，故切線方程為，又切線過點(diǎn)，故，整理得，設(shè)，則令得或，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，又，故只有1個根-2，故過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時，，若，直線，此時與曲線只有1個交點(diǎn)，不合要求，故，，直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，故，所以，則，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩個單位向量，滿足，則向量和的夾角為______.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，為單位向量，所以，，又，所以，所以，所以，，所以，又，所?故答案為：.13.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)．過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線．若的交點(diǎn)在上（均在軸上方，且，則的離心率為__________．【答案】##【詳解】設(shè)，，由題意可知：，則直線的斜率，可知的方程為，同理可得：的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，因?yàn)樵谏?，可知關(guān)于x軸對稱，且，則，可得，又因?yàn)?，即，由題意可得：，整理得，解得或（舍去），則，所以的離心率為.故答案為：.14.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人.如果設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則__________；__________.【答案】①.②.【詳解】記n次傳球后球在甲手中的事件為，對應(yīng)的概率為，，，則，于是得，即，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，，即，所以n次傳球后球在甲手中的概率是..故答案：①；②.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的面積．【答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得：又，所以，所以，即，所以，或（舍），所以.【小問2詳解】根據(jù)正弦定理得，即，有余弦定理，得，解得或，當(dāng)時，，，，則，，而，矛盾，舍去，故，所以的面積為16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，所以，設(shè)三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側(cè)面是等邊三角形，且，取的中點(diǎn)，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，故由（1）可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，組：組：.先從組數(shù)據(jù)中任取3個，構(gòu)成數(shù)組，再從組數(shù)據(jù)中任取3個，構(gòu)成數(shù)組，兩組抽取的結(jié)果互不影響.（1）求數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8的概率；（2）記，其中表示數(shù)組中最小的數(shù)，表示數(shù)組中最大的數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【小問1詳解】記“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8”為事件，“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8”為事件，則，事件包含的數(shù)組有：、、、、、，共組，，故所求概率.【小問2詳解】依題意，的可能取值為；，，則的分布列為1234則.18.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與的焦點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)在上在第一象限），點(diǎn)在上，．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，求直線的斜率；（3）若直線與的斜率之積為，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由為線段的中點(diǎn)，可得，所以曲線的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，聯(lián)立，消去x整理得，解得，，則，，因?yàn)椋瑒t，因，，則，所以，所以，，即，直線的斜率為；【小問3詳解】因?yàn)椋?，，，所以，，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，，，，所以，①由代入①得，由得，因?yàn)椋?，所以，所以，同理，所以且，所以，因?yàn)椋?，所以，得，即，設(shè)，聯(lián)立消去x，得，所以，所以，則，所以過定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以四邊形面積的最小值為19.已知，（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；（2）對，有恒成立，求的最大整數(shù)解；（3）令，若有兩個零點(diǎn)分別為且為的唯一的極值點(diǎn)，求證：.【答案】（1），單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為