習(xí)題一（上）

1.計算：(1)18+28+72

(2)87+15+13

(3)43+56+17+24

(4)28+44+39+62+56+21

2.計算：(I)98+67

(2)43+28

(3)75+26

3.計算：(1)82-49+18

(2)82-50+49

(3)41-64+29

4.計算：(1)99+98鈍7+96+95

(2)9+99+999

5.計算：(I)5+6+7+8+9

(2)5+1O+15+2O+25+3O+35

(3)9+18+27+36+45+54

(4)12+14+16+18+20+22+24+26

6.計算：(1)53+49+51+48+52+50

(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

7.計算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5

1.解：(1)18+28+72=18+(28+72)=18+100=118

(2)87+15+13=(87+13)+15

=100+15=115

(3)43+56+17+24

=(43+17)+(56+24)

=60+80=140

(4)28+44+39+62+56+21

=(28+62)+(44+56)+(39+21)

=90+100+60=250

2.解：(1)98+67=98+2+65

=100+65=165

(2)43+28=43+7+21=50+21=7I

或43+28=41+(2+28)=41+30=71

(3)75+26=75+25+1=100+1=101

3.解：(I)82-49+18=82+18-49

=100-49=51

(2)82-50+49=82-1=81

（減50再加49等于減1）

(3)41-64+29=41+29-64

=70-64=6

4解:(1)99+98+97+96+95

=100x5-1-2-34-5

=500-15=485

(每個加數(shù)都按100算，再把多加口勺減去)或99+98+97+96+95=97X5=485

(2)9+99+999=10+100+I000-3

=1110-3=1107

5.解：(1)5+6+7+8+9

=7x5=35

(2)5+10+15+20+25+30+35

=20x7=140

(3)9+18+27+36+45+54

=(9+54)x3=63x3=189

(4)12+14+16+18+20+22+24+26=(12+26)-4=38x4=152

6.解：(1)53+49+51+48+52+50=50X6+3-1+1-2+2+0

=300+3=303

(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80x10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4

第四、六、八行同第二行;

但最終口勺第九行是白方塊5個，黑方塊4個.可見白方塊總數(shù)比黑方塊總數(shù)多1個.

白方塊總數(shù)：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（個）

黑方塊總數(shù)：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（個）

再一種措施是：

每一行的白方塊和黑方塊共9個.

共有9行，因此，白、黑方塊的總數(shù)是：

9x9=81（個）.

由于白方塊比黑方塊多1個，因此白方塊是41個，黑方塊是40個.

例2圖2—3所示磚墻是由正六邊形的特型磚砌成，中間有個“雪花”狀的墻洞，問需

要幾塊正六邊形的磚（圖2—4）才能把它補好？

解：仔細觀測，并發(fā)揮想象力可得出答案，用七塊正六邊形口勺磚可把這個堵洞補好.假如

動手畫?畫，就會看得更清晰了.

例3將8個小立方塊構(gòu)成如圖2—5所示日勺“丁”字型，再將表面都涂成紅色，然后就把

小立方塊分開，問：

（1）3面被涂成紅色口勺小寸?方塊有多少個？

（2）4面被涂成紅色的小立方塊有多少個？

圖2-5

（3）5面被涂成紅色的小立方塊有多少個？

解：如圖2—6所示，看著圖，想像涂色狀況.當(dāng)把整個表面都涂成紅色后，只有那些“粘

在一起”的面（乂叫互相接觸的面），沒有被涂色.每個小立方體均有6個面，減去沒涂色H勺

面數(shù)，就得涂色H勺面數(shù).每個小立方體涂色面數(shù)都寫在了它的上面，參看圖2—6所示.

（1）3面涂色的小立方體共有1個;

（2）4面涂色的小立方體共有4個;

（3）5面涂色的小立方體共有3個.

例4如圖2—7所示，一種大長方體的表面上都涂上紅色，然后切成18個小立方體（切

線如圖中虛線所示）.在這些切成的J小立方體中，問：］

（1）1面涂成紅色的有幾種？

（2）2面涂成紅色的有幾種？

（3）3面涂成紅色的有幾種？

解：仔細觀測圖形，并發(fā)揮想像力，可知：

（1）上下兩層中間的2塊只有一面涂色；

（2）每層四邊中間的1塊有兩面涂色，上卜兩層共8塊；

（3）每層四角的4塊有三面涂色，上下兩層共有8塊.最終檢查一下小立體總塊數(shù):

2+8+8=18（個）.

1.如圖2—8所示，數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把壞了的墻補好？

2.圖2-9所示的墻洞，用1號和2號兩種特型磚能補好嗎？若能補好，共需幾塊？

1號科

圖2-9

3.圖2—10所示為一塊地板，它是由1號、2號和3號三種不一樣圖案的瓷磚拼成向這

三種瓷磚各用了多少塊？

□1號

口3號

圖2-10

4.如圖2—11所示，一種木制的I正方體，棱長為3寸，它的六個面都被涂成了紅色.假如

沿著圖中畫出口勺線切成棱長為】可的J小正方體.

圖2Tl

求：（1）3面涂成紅色日勺有多少塊？

（2）2面涂成紅色的有多少塊？

（3）1面涂成紅色的有多少塊？

（4）各面都沒有涂色的有多少塊？

（5）切成的小正方體共有多少塊？

5.圖2—12所示為棱長4寸的正方體木塊，將它的表面全染成藍色，然后鋸成棱長為1

寸的小正方體.

問：（1）有3面被染成藍色的多少塊？

（2）有2面被染成藍色H勺多少塊？

（3）有1面被染成藍色的多少塊？

（4）各面都沒有被染色口勺多少塊？

（5）鋸成的小正方體木塊共有多少塊？

6.圖2—13所示為一種由小正方體堆成的“塔”.假如把它的外表面（包括底面）所有涂

成綠色，那么當(dāng)把“塔”完全拆開時，3面被涂成綠色口勺小正方體有多少塊？

圖2-13

7.圖2-14中H勺小狗與小貓的身體日勺外形是用繩子分別圍成的，你懂得哪一條繩子長

嗎？（仔細觀測，想措施比較出來）.

圖2-14

1.解：用10塊磚可把墻補好，可以從下往上一層一層地數(shù)（發(fā)揮想像力）：

y1U

78

6

45

23

第一層第二層第三層第四層第五層第六層

1塊2塊2塊1塊2塊2塊

圖2-15

共1+2+2+1+2+2=10（塊）?

假如用鉛筆把磚畫出來（注意把磚縫對好）就會十分清晰了，如圖2—15所示.

2.解?：仔細觀測，同步發(fā)揮想像力可知需1號磚2塊、2號磚1塊，也就是共需（如圖2

—16所示）

02-16

1+2=3（塊）.

3.解：由于圖形復(fù)雜，要尤其仔細，最佳是有次序地按行分類數(shù)，再進行記錄:

口1號□2號口3號

第一行42

第二行222

第三行42

第四行42

第五行222

第六行42

1號瓷磚共12塊

統(tǒng)計：2號瓷待共16塊總數(shù)：36塊.

3號姿祜共8塊

4.解：（1）3面涂色的有8塊：它們是最上層四個角上的4塊和最下層四個角上的4塊.

（2）2面涂色的有12塊:它們是上、下兩層每邊中間的那塊共8塊和中層四角的4塊.

（3）I面涂色的有6塊：它們是各面（共有6個面）中心口勺那塊.

（4）各面都沒有涂色的有一塊：它是正方體中心的那塊.

（5）共切成了3x3x3=27（塊）.

或是如下計算：

8+12+6+1=27（塊）.

5.解：同上題（1）8塊；（2）24塊；（3）24塊;

(4)8塊；（5）64塊.

6.解:3面被涂成綠色的小正方體共有16塊，就是圖2—18中有“點”的那些塊（注意

最下層有2塊看不見）.

7.解:分類數(shù)一數(shù)可矢圍成小貓的那條繩子比較長.由于小狗身體的外形是由32條直

線段和6條斜線段構(gòu)成;小貓身體的外形是由32條直線段和8條斜線段構(gòu)成.

習(xí)題三（上）

例1數(shù)一數(shù)，圖3—1中共有多少點？

圖3-1

解：：1）措施1：如圖3-2所示從上往下一層一層數(shù):

第一層1個

第二層2個

第三層3個

第四層4個

第五層5個

第六層6個

第七層7個

第八層8個

第九層9個

第十層10個

第十一層9個

第十二層8個

第十三層7個

第十四層6個

第十五層5個

第十六層4個

第十七層3個

第十八層2個

第十九層1個

總數(shù)1+2+3+44-5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=55+45=100(運用已學(xué)過口勺知識計算).

(2)措施2:如圖3—3所示：從上往下，沿折線數(shù)

第一層1個

第二層3個

第三層5個

第四層7個

第五層9個

第六層11個

第七層13個

第八層15個

第九層17個

第十層19個

總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（運用己學(xué)過的J知識計算）.

1.書庫里把書如圖3—16所示H勺那樣沿增堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些書共有多少本?

圖3-16

2.圖3—17所示是一種跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個跳棋盤上共有多少個棋孔？

B

S3-17

3.數(shù)一數(shù)，圖3—18中有多少條線段?

12345678

圖3-18

4.數(shù)一數(shù)，圖3—19中有多少銳角？

5.數(shù)一數(shù)，圖3—20中有多少個三角形？

圖3-20

6.數(shù)一數(shù)，圖3—21中有多少正方形？

1.解：措施1：從左往右一摞一摞地數(shù)，再相加求和：

10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10

=135（本）.

措施2:把這摞書形成的圖形當(dāng)作是由一種長方形和一種三角形“尖頂”構(gòu)成.

長方形中口勺書10x11=110

三角形中H勺書1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

總數(shù)：110+25=135（本）.

2.解：由于棋孔較多，應(yīng)找出排列規(guī)律，以便于計數(shù).

仔細觀測可知，圖中大三角形ABC上的棋孔的排列規(guī)律是（從上往下數(shù)）：1,2,3,4,

5,6,7,8,9,10,11,12,13,此外尚有三個小三角形中的棋孔的排列規(guī)律是1,2,3,4,

因此棋孔總數(shù)是:（1+2+3-M+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）X3=91+10X3=121

（個）.

3.解：措施1:按圖3—22所示措施數(shù)（圖中只畫出了一部分）

線段總數(shù):7+64-5+4+3+2+1=28（條）.

措施2：基本線段共7條，因此線段總數(shù)是：

7+6+5+4+3+2+1=28（條）.

4.解：按圖3—23的措施數(shù):

角的總數(shù):7+6+5+4+3+2+1=28（個）.

5.解：措施I:（1）三角形是由三條邊構(gòu)成日勺圖形.

以0A邊為左公共邊構(gòu)成I月三角形有：AOAB.AOAC,AOAD.AOAE.△OAF,A0

AG,AOAH,共7個；

以O(shè)B邊為左公共邊溝成H勺三角形有：AOBC,AOBD,AOBE,AOBF,AOBG,AO

BH,共6個；

以O(shè)C邊為左公共邊溝成的三角形有：AOCD,AOCE,AOCF,AOCG,AOCH,共5

個;

以O(shè)D邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：AODE,△ODF,AODG.AODH,共4個;

以O(shè)E邊為左公共邊構(gòu)成日勺三角形有：AOEF,AOEG,AOEH,共3個:

以O(shè)F邊為左公共邊構(gòu)成日勺三角形有：△OFG,AOFH,共2個；

以O(shè)G邊和OH,GH兩邊構(gòu)成的三角形僅有：AOGH1個；

三角形總數(shù):7+6+5+4+3+2+1=28（個）.

（2）措施2:顯然底邊AH上的每一條線段對應(yīng)著一種三角形，而基本線段是7條，因

此三角形總數(shù)為：7+6+5+4+3+2+1=28（個）.

6.解：最小日勺正方形有25個，

由4個小正方形構(gòu)成為正方形16個；

由9個小正方形構(gòu)成內(nèi)正方形9個；

由16個小正方形構(gòu)成的正方形4個；

由25個小正方形構(gòu)成的正方形1個：

正方形總數(shù).25+16+9+4+1-55個.

習(xí)題四（上）

我們把按一定規(guī)律排列起來的一列數(shù)叫數(shù)列.

在這一講里，我們要認識某些重要U勺簡樸數(shù)列，還要學(xué)習(xí)找出數(shù)列的生成規(guī)律；學(xué)會把

數(shù)列中缺乏小J數(shù)寫出來，最終還要學(xué)習(xí)解答某些生活中波及數(shù)列知識的實際問題.

例1找出下面各數(shù)列II勺規(guī)律，并填空.

（1）1,2,3,4,5,口，口，8,9,10.

(2)I,3,5,7,9,□,□,15,17,19.

(3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.

(4)1,4,7,10,口.口,19,22,25.

(5)5,10,15,20.□,□,35,40,45.

解：(1)是自然數(shù)列，它的規(guī)律是：后一個數(shù)比前一個數(shù)大1;空處

依次填:回0.

(2)是奇數(shù)列，它的規(guī)律是：后一個數(shù)比前一個數(shù)大2；空處依次填：

回回.

(3)是偶數(shù)列，它的規(guī)律是：后一個數(shù)比前一個數(shù)大2；空處依次填：

回回

(4)是等差數(shù)列，它的規(guī)律是：后一個數(shù)比前一個數(shù)大3；空處依次

填：叵］,國.

(5)是等差數(shù)列，它的規(guī)律是：后一個數(shù)比前一個數(shù)大5；空處依次

填：困，圓.

注意：自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列.

例2找出下面的數(shù)列II勺規(guī)律并填空.

1,1,2,3,5,8,13,□,口，55,89.

解：這叫斐波那契數(shù)列，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和.這是個有重要

用途的數(shù)列.8+13=21,13+21=34.因此:

空處依次填：

例3找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空.

1,2,4,8,16,口，口，128,256.

解：它叫等比數(shù)列，它的后一種數(shù)是前一種數(shù)的2倍.16X2=32,32X2=64,因此空處依

次填：

例4找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空.

1,2,4,7,11,匚1,口，29,37.

解：這數(shù)列規(guī)律是：后一種數(shù)減前一種數(shù)的J差是逐漸變大日勺，這些差是個自然數(shù)列:

例5找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空:

1,3,7,15,31,□,二I,255,511.

解：規(guī)律是：后一種數(shù)減前一種數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個等比數(shù)列，后

一種差是前一種差的2倍.

此外，原數(shù)列的規(guī)律也可以這樣看：后一種數(shù)等于前一種數(shù)乘以2再加1,即后一種數(shù)二

前一種數(shù)X2+1.

例6找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空.

1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.

解：這是自然數(shù)平方數(shù)列，它日勺每一種數(shù)都是自然數(shù)日勺自乘積.如：1=1X1,4=2X2,9=

3X3,16=4X4,25=5X5,,64=8X8,81=9X9,100=10X10.

若寫成下面對應(yīng)起來的形式，就看得更清晰.

自然數(shù)列：12345678910

自然數(shù)平方數(shù)列：149162536496481100

例7一輛公共汽車有78個座位，空車出發(fā).第?站上1位乘客，第二站上2位，第三站

上3位，依此下去，多少站后來，車上坐滿乘客？（假定在坐滿此前，無乘客下車，見表四

（1））

解:方法1:表四（1）

第X站后車上的人數(shù)

1

1+2=3

1+2+3=6

四1+2+3+4=10

五1+2+3+4+5=15

六1+2+3+4+5%=21

七1+2+3+4+5坨+7=28

A1+2+3+4+5坨+7坨=36

九1+2+3+4+5坨+7%均=45

十1+2+3+4+5坨+7+8W+1O55

+-1+2+3+4+5-^+7+8+9+104-11=66

十二1+2+3+4+5-^+7+8+9+10+11+12=78

措施2:由上表可知，車上的I人數(shù)是自1開始時持續(xù)芻然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加

到幾，因此只要加到出現(xiàn)78時，就可懂得氈到多少站了，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

可見第12站后來，車上坐滿乘客.

例8假如第一種數(shù)是3,后來每隔6個數(shù)寫出一種數(shù)，得到一列數(shù)：3,10,17,……,73.

這里3叫第一項,10叫第二項，17叫第三項,試求73是第幾項?

解：從第1項開始，把各項依次寫出來，一直寫到73出現(xiàn)為止（見表四（2））.

表四（2）

第幾項1234567891011

項的數(shù)值310172431384552596673

可見73是第11項.

例9一天，父親給小明買了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好10D塊.父親靈機一動，又拿來了10個

紙盒，接著說：“小明，目前你把糖往盒子里放，我規(guī)定你在第一種盒子里放2塊，第二個盒

子里放4塊，第三個盒子里放8塊，第四個盒子里放16塊，……照這樣一直放下去.要放滿這

10個盒，你說這100塊糖夠不夠？”小朋友，請你幫小明想一想？

解：小朋友，你是不是認為100塊糖肯定可以放滿這10個紙盒的了！下面讓我們算一

算，看你想得對不對（見表四（3））.表四（3）

表四（3）

第幾個盒子12345678910

盒里的糖塊2481632641282565121024

放滿10個盒所需要的糖塊總數(shù):

2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2046

可見100塊糖是遠遠不夠H勺，還差1946塊呢！這也許是你沒有想到的吧！其實，

數(shù)學(xué)中尚有諸多諸多奇妙無比的故事呢.

1.從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一種自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來.

2.從1開始，每隔六個數(shù)寫出一種自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來.

3.在習(xí)題一和習(xí)題二中，按題目規(guī)定寫出的兩個數(shù)列中，除1以外出現(xiàn)的最小的相似的

數(shù)是幾？

4.自2開始,隔兩個數(shù)寫一種數(shù):2,5,8,……,101.

可以看出，2是這列數(shù)的第一項，5是第二項，8是第三項，等等.問101是第幾種數(shù)？

5.如圖4—1所示，“階梯形”的最高處是4個正方形疊起來口勺高度，并且整個圖形包括

了10個小正方形.假如這個“階梯形”的高度變?yōu)?2個小正方形疊起來那樣高，那么，整個

圖形應(yīng)包括多少個小正方形？

圖4-1

6.如圖4—2所示，把小立方體疊起來成為“寶塔”，求這個小寶塔共包括多少個小立方

體？

圖4-2

7.開學(xué)U勺第一種星期，小明準(zhǔn)備發(fā)起成立一種趣味數(shù)學(xué)小組，這時只有他一種人.他決定

第二個星期吸取兩名新組員，而每個新組員要在進入小組后的下一種星期再吸取兩名新組

員，求開學(xué)4個星期后，這個小組共有多少組員？

8.圖4—3所示為細胞均增長方式.就是說一種分裂為兩個，再次分裂變?yōu)?個，第三次分

裂為8個，……照這樣下去，問通過10次分裂，一種細胞變成幾種？

圖4-3

9.圖4—4所示是一串“黑”、“白”兩色的珠子，其中有某些珠子在盒子里，問

：N

k--X;

0一?七0

f

圖4-4

（1）盒子里有多少珠子？

（2）這串珠子共有多少個？

1.解：可以先寫出從I開始的自然數(shù)列，再按題目規(guī)定刪去那些不應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)口勺數(shù)，就得到答

案了：

1,2其4抵。7,*女10,M,及13,H電16,N,凡19,現(xiàn)

凡22典網(wǎng),25,甌凡28,……

即1,4,7,10,13,16,19,22,25,28

可以看出，這是一種等差數(shù)列，背面一種數(shù)比前面一種數(shù)大3.

2.解：仿習(xí)題1,先寫前面的幾種數(shù)如下：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

'隔掉的隔掉的數(shù).

22,...

隔掉的數(shù)

可以看出，1,8.15,22,……也是一種等差數(shù)列，背面的一種數(shù)比前面的一種數(shù)大7.按

照這個規(guī)律，可以寫出所有的10個數(shù)：

1,8,15,22,29,36,43,50,57,64.

3.解：觀測習(xí)題一和習(xí)題二兩個數(shù)列：

習(xí)題二的數(shù)列是：1,8,15,[m，……

習(xí)題一的數(shù)列是：1,4,7,10,13,16,19,[22],25,28,……

可見兩個數(shù)列中最小的相似數(shù)是22.

4.解：經(jīng)仔細觀測后可以看出，這是一種等差數(shù)列，后一種數(shù)比前一種數(shù)大3,即公差是

3.下面再多寫出幾項，以便從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（表四（4））

表四（4）

第一項第二項第三項第四項第五項??????

25R1114.......

再仔細觀測可知：

第二項=第一項+1X公差，即5=2+1X3；

第三項=第一項+2X公差，即8=2+2X3；

第四項=第一項+3X公差，即11=2+3X3；

第五項=第一項+4X公差，即14=2+4X3；

由于101=2+33x3：

可見，101是第34項.即第34個數(shù).

5.解：仔細觀測可發(fā)現(xiàn)，這個“階梯形”圖形最高處是4個小正方形時，它就有4個臺

階，整個圖形包括H勺小正方形數(shù)為：

1+2+3+4=10.

因此最高處是12個小正方形時，它必有12個臺階，整個圖形包括的小正方形數(shù)為：

1+2+3+4+5+6+7+8+94-10+11+12=78（個）.

6.解：從上往下數(shù)，小寶塔共有六層.仔細觀測可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律（表四（5））:

表四（5）

第幾層1

一4卷1AR4申

各層小立方體數(shù)1121

因此六層小立方體的總數(shù)為:

1+3+6+10+15+21=56（個）.

7.解：列表如下:

表四（6）

第幾個星期1234

各星期新進入的組員數(shù)1248

4個星期后小組的總?cè)藬?shù):

1+2+4+8=15（人）.

8.解:列表如下:

表四（7）

分裂次數(shù)開始12345二78910

細胞個數(shù)12481632641282561024

一種細胞通過10次分裂變?yōu)?024個.

9.解：仔細觀測可知，這串珠子的排列規(guī)律是：

白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白

1,1,1,2,I,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,

14-414+2

'在盒？里’

①在盒子里有:

4+1+4=9（個）.

②這一串珠子總數(shù)是：

1+1+1+2+1+3+1+4+14-5+1+6+1+7+1

=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+14-1+1）

=28+8=36（個）.

習(xí)題五（上）

本講的習(xí)題，大都是有關(guān)自然數(shù)列方面H勺計數(shù)問題，解題代I思維措施一般是運用枚舉法及分

類記錄措施，望同學(xué)們能很好地掌握它.

例1小明從1寫到100,他共寫了多少個數(shù)字“1”？

解：分類計算：

“1”出目前個位上的數(shù)有：

1,11,21,31,41,51,61,71,81,91共10個；

“1”出目前十位上的數(shù)有：

10,11,12,13,14,15,16,17,18,19共10個;

“1”出目前百位上的數(shù)有：100共1個；

合計10+10+1=21個.

例2一本小人書共100頁，排版時一種鉛字只能排一位數(shù)字，請你算一下，排這本書的

頁碼共用了多少個鉛字？

解：分類計算:

從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1X9=9(個)；

從第10頁到第99頁.共90頁，每頁用2個鉛字，共用2X90=18()(個)；

第100頁，只1頁共用3個鉛字，因此排100頁書的頁碼共用鉛字的總數(shù)是：

9+180+3=192(個).

例3把I到100的J一百個自然數(shù)所有寫出來，用到的所有數(shù)字的和是多少?

解：(見圖5-1)先按題規(guī)定，把1到100日勺?百個自然數(shù)所有寫出來，再分類進行計

算：

如圖5—1所示，寬豎條帶中都是個位數(shù)字，共有10條，數(shù)字之和是：

(1+24-3+4+5+6+7+8+9)xl()

=45x10

=450.

窄豎條帶中，每條都包具有一種H立數(shù)字，共有9條，數(shù)字之和是：

1x10+2x10+3x10+4x10+5x10+6x10+7x10

+8x10+9x10

=(1+2+34-4+5+6+7+3+9)xIO

=45x10

=450.

此外100這個數(shù)的數(shù)字和是1+0+0=1.

因此，這一百個自然數(shù)的數(shù)字總和是：

450+450+1=901.

順便提請同學(xué)們注意的是：一道數(shù)學(xué)題的解法往往不只一種，誰能尋找并發(fā)現(xiàn)出更簡潔

的解法來，往往標(biāo)志著誰有更強的數(shù)學(xué)能力.例如說這道題就尚有更簡潔日勺解法，試試看，你

能不能找出來？

1.有一本書共200頁，頁碼依次為1.2.3.……、199、200,問數(shù)字“1”在頁碼中共出現(xiàn)了多

少次？

2.在1至100U勺奇數(shù)中，數(shù)字“3”共出現(xiàn)了多少次？

3.在1()至100時自然數(shù)中，個位數(shù)字是2或是7H勺數(shù)共有多少個？

4.一本書共200頁，假如頁碼的每個數(shù)字都得用一種單獨的鉛字排版(例如，“150”這

個頁碼就需要三個鉛字“1”、“5”和“0”)，問排這本書的頁碼一共需要多少個鉛字？

5.像“21”這個兩位數(shù),它時卜位數(shù)字“2”不小于個位數(shù)字“1”，問從1至100的所

有自然數(shù)中有多少個這樣的兩位數(shù)？

6.像“101”這個三位數(shù)，它的個位數(shù)字與百位數(shù)字調(diào)換后來，數(shù)的大小并不變化，問從

100至200之間有多少個這樣的三位數(shù)？

7.像II、12、13這三個數(shù),它們口勺數(shù)位上的各個數(shù)字相加之和是(1+1)+(1+2)+(1

+3)=9.問自然數(shù)列的前20個數(shù)的數(shù)字之和是多少？

8.把1到100口勺一百個自然數(shù)所有寫出來，用到的所有數(shù)字附和是多少？

9.從1到1000的一千個自然數(shù)H勺所有數(shù)字附和是多少？

1.解：分類計算，并將有數(shù)字“1”的數(shù)枚舉出來.

“1”出目前個位上的數(shù)有:

1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,

101,111,121,131,141,151,161,171,181,191

共20個；

“1”出目前十位上的數(shù)有：

10,II,12,13,14,15,16,17,18,19

110,111,112,113,I14,115,116,117,118,119

共20個；

“1”出目前百位上的數(shù)有：

100,101,102,103,104,105,106,107,108,109

110,111,112,113,114,115,116,117,118,119

120,121,122,123,124,125,126,127,128,129

130,131,132,133,134,135,136,137,138,139

140,141,142,143,144,145,146,147,148,149

150,151,152,153,154,155,156,157,158,159

160,161,162,163,164,165,166,167,168,169

170,171,172,173,174,175,176,177,178,179

180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,

190,191,192,193,194,195,196,197,198,199

共100個；

數(shù)字“1”在1至20G中出現(xiàn)的總次數(shù)是：

20+20+100=140（次）.

2.解：采用枚舉法，并分類計算：

“3”在個位上:3,13,23,33,43,53,63,73,83,93共10個;

“3”在十位上:31,33,35,37,39共5個；

數(shù)字“3”在1至100H勺奇數(shù)中出現(xiàn)的總次數(shù)：

10+5=15（次）.

3.解：枚舉法：12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92.97

共18個.

4.解：分段記錄，再總計.

由數(shù)鉛字個數(shù)

1?9共9頁1x9=9（個）（每個頁碼用1個鉛字）

10?90共90頁2x90=180（個）（每個頁碼用2個鉛字）

100?199共100頁3x100=300（個）（每個頁碼用3個鉛字）

第200頁共1頁3x1=3（個）（這頁用3個鉛字）

總數(shù)：9+180+300+3=492（個）.

5.解：列表枚舉，分類記錄:

101個

20212個

3031323個

404142434個

50515253545個

6061626364656個

707172737475767個

80818283848586878個

9091929394959697989個

總數(shù)I+2+3+4+5+6+7+8+9=45（個）.

6.解:枚舉法,再總計:

101,11L121,131,141,151,161,171,181,191共10個.

7.解：分段記錄（見表五（1））,再總計:

表五（1）

數(shù)字和

1-91929394959697989945

10,11,12,13,14,15,16,‘45（個位上的數(shù)字和）

?

101917,18,19410（十位上的數(shù)字和）

202

總依J數(shù)字相加之和：45+45+10+2=102.

8.解：按題意，試著寫出從1到100的自然數(shù)中H勺頭、尾和中間的幾部分：1,2,3,

48,49,50,51,....,96,97,98,99,100.仔細觀測可知:

1+98=99,

2+97=99,

3+96=99,

共計49個99

48+51=99,

49+50=99,

若再補個0（并不影響題目的答案）還可以寫山一種類似U勺算式:

0+99=99；

因此共得出50個99.而一種99的數(shù)字和是：9+9=18；

50個99的數(shù)字和是：18X50=900,再加上100這個數(shù)U勺數(shù)字和是1+0+0=1,就得出從1

到100的所有自然數(shù)的數(shù)字之和為901.

照以上措施列出算式就非常簡潔：

（9+9）X50+1=901.

9.解：（見圖5—2）寫出1?1000的自然數(shù)列H勺頭、尾和中間H勺幾部分，并在1的前面

加個“0”；

又由于9+9+9=27.

1+0+0+0=1,

因此從I?1000艮I所有自然數(shù)的所有數(shù)字之和為：

27x500+1=13501.

共500對

圖5-2

習(xí)題六（上）

1.觀測圖6—4中的點群,請回答:

(1)方框內(nèi)的點群包括多少個點？

（2）第1（）個點群中包括多少個點？

（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？

□

(1)(2)(3)(4)(5)

圖6-4

2.觀測下面圖6-5中的點群，請回答:

(1)(2)(3)(4)(5)

圖6-5

(1)方框內(nèi)的點群包括多少個點？

(2)推測第10個點群中包括多少個點？

(3)前10個點群中.所有點的總數(shù)是多少？

3.觀測圖6—6中的點群，請回答:

（1）方框內(nèi)的點群包括多少個點?

（2）推測第10個點群包括多少個點？

（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？

(1)(2)(3)(4)(5)

圖6-5

4.圖6—7所示為一堆磚.中央最高一摞是10塊，它的左右兩邊各是9塊，再往兩邊是8

塊、7塊、6塊、5塊、4塊、3塊、2塊、1塊.

問：（1）這堆磚共有多少塊？

（2）假如中央最高一摞是100塊，兩邊按圖示的方式堆砌，問這堆磚共多少塊?

5.圖6—8所示為堆積的方磚，共畫出了五層.假如以同樣的方式繼續(xù)堆積下去，共堆積

了了層,問:

（I）能看到的方磚有多少塊?

（2）不能看到的方磚有多少塊?

1.解：（1）數(shù)一數(shù)，前四個點群包括的點數(shù)分別是：1,5,9,13.

不難發(fā)現(xiàn)，這是?種等差數(shù)列，公差是4,可以推出，第5個點群包括的點數(shù)是:

13+4=17（個）.

（2）下面依次寫出各點群日勺點數(shù)，可得第10個點群日勺點數(shù)為37.

第幾個點群12345678910

包含的點數(shù)15913172125293337

（3）前十個點群H勺所有點數(shù)為:

I—30--1

1+519+13+17+21+25+29+33+37=190（個）

八」以ko-l

2.解：（1）數(shù)一數(shù).前4個點群包括的點數(shù)分別是：

I,4,9,16.

不難發(fā)現(xiàn)，這是一種自然數(shù)平方數(shù)列.因此第5個點群（即方框中的點群）包括的點數(shù)是:

5x5=25（個）.

（2）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律推出，第十個點群的點數(shù)是：

10x10=100（個）.

（3）前十個點群，所有的點數(shù)是:

p20—??~~130-?

1+4+9+16+25+平+49+6?+81+100=385（個）

L-10-1匚100」

3.解：（1）數(shù)一數(shù)，前四個點群包括的點數(shù)分別是：4,8,12,16.

不難發(fā)現(xiàn)，這是一種等差數(shù)列，公差是4,可以推出，第5個點群（即方框中的點群）包

括的點數(shù)是:

16+4=20（個）.

（2）下面依次寫出各點群的點數(shù)，可得第10個點群的點數(shù)為40.

第幾個點群12345678910

包含的點數(shù)481216202428323640

（3）前十個點群的所有的點數(shù)為：

4+8+12+16+20+24+28+32+36+4==220（個）

4.解：從最簡樸狀況入手，找規(guī)律：

口總塊數(shù)1=1X1

l-FH總塊數(shù)1+2+1=2X2

?rFh-1總塊數(shù)1+2+3+2+1=3X3

1總塊數(shù)1+2+3+4+34-2+1=4X4

圖6-9

按著這種規(guī)律可求得：

（1）當(dāng)中央最高一摞是10塊時，這堆磚日勺總數(shù)是：

1+2+3+4+5+6+7+8+94-10+9+8+7+6+5+4

+3+2+1

=10x10=100（塊）.

（2）當(dāng)中央最高一投是100塊時，這堆磚的總數(shù)是：

1+2+3+...+98+99+：（）0+99+98+...+3+2+1

=100x100=10000（塊）.

5.解：（1）數(shù)一數(shù)，前五層中各層可見的方磚數(shù)是：1,3,5,7,9

不難發(fā)現(xiàn)，這是一種奇數(shù)列.照此規(guī)律，十層中可見的方磚總數(shù)是：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

=100（塊）.

（2）再想一想，前五層中，各層不能看到的方磚數(shù)是：

第一層。塊；第二層1塊；第三層4塊；

第四層9塊；第五層16塊；

不難發(fā)現(xiàn)，1,4,9,16是自然數(shù)平方數(shù)列，按照此規(guī)律把其他各層看不見H勺磚塊數(shù)寫出

來（如下表）：

第幾層12345678910

看不見的傳數(shù)0149162536496481

則看不見的磚塊總數(shù)為:

r10nr100-i

1+4+9+16+25+36+49+64+81=285（塊）

習(xí)題七（上）

1.仔細觀測圖7—14,找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一種什么樣的圖？

第圖第2組第3犯

圖7-14

2.仔細觀測圖7—15,找找變化規(guī)律，猜猜在第3組F向空白格內(nèi)填一種什么樣的圖?

D口0

第2組第3組

圖7-15

3.仔細觀測圖7—16,找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一種什么樣的圖?

十④田旭

第闈第2組第3組

圖7-16

4.按次序仔細觀測下圖形，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？

?o必?&

第圈第2組