高中幾何壓軸題專項練習(xí)幾何壓軸題，向來是高中數(shù)學(xué)考試中的“攔路虎”，也是區(qū)分度的重要體現(xiàn)。它不僅考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，更考驗空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及綜合運用知識解決復(fù)雜問題的能力。許多同學(xué)在面對這類題目時，常常感到無從下手，或因思路偏差而耗時費力卻收效甚微。本文旨在通過對高中幾何壓軸題常見類型的梳理、解題策略的剖析以及典型例題的引導(dǎo)，幫助同學(xué)們理清思路，掌握方法，逐步提升攻克幾何壓軸題的信心與能力。一、洞悉壓軸本質(zhì)：幾何壓軸題的核心考查模塊高中幾何壓軸題，通常涵蓋立體幾何與解析幾何兩大板塊，有時也會涉及平面幾何與其他知識的綜合。其核心考查模塊主要包括：（一）立體幾何綜合題此類題目多以多面體（棱柱、棱錐、棱臺）或旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺、球）為載體，綜合考查空間中點、線、面的位置關(guān)系（平行、垂直的判定與性質(zhì)），空間角（異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）與距離的計算，體積與表面積的求解，以及存在性、探索性問題。題目往往需要學(xué)生具備較強的空間想象能力，并能熟練運用幾何法（作、證、求）或向量法（建立空間直角坐標(biāo)系）進行推理與計算。（二）解析幾何綜合題此類題目以圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）為核心，結(jié)合直線與圓的知識，考查曲線方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（相交、相切、相離），定點、定值問題，范圍與最值問題，以及軌跡方程的探求等。這類題目對代數(shù)運算能力要求極高，同時也需要較強的邏輯分析和轉(zhuǎn)化化歸能力。（三）幾何與代數(shù)、三角等知識的交匯題隨著高考改革的深入，壓軸題越來越注重知識的綜合性和交匯性。幾何問題可能與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識結(jié)合，形成更為復(fù)雜的綜合性問題。這就要求學(xué)生具備知識遷移能力和綜合運用數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸）的能力。二、攻克策略：高效突破幾何壓軸題的關(guān)鍵步驟面對幾何壓軸題，盲目刷題效果有限。掌握科學(xué)的解題策略和思維方法，才能事半功倍。（一）夯實基礎(chǔ)，回歸本源無論題目多么復(fù)雜，其根源都在于基本概念、公理、定理和公式。對立體幾何中的線面平行垂直判定定理、性質(zhì)定理，解析幾何中圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等，必須做到理解透徹、記憶準(zhǔn)確、運用熟練。這是解決一切難題的前提。（二）審清題意，拆解問題拿到題目后，切勿急于動筆。首先要仔細閱讀題干，逐字逐句理解題意，明確已知條件是什么，所求結(jié)論是什么。對于復(fù)雜的圖形，要學(xué)會分解，識別基本圖形和常用模型。將大問題分解為若干個小問題，逐一擊破。特別要注意挖掘題目中的隱含條件。（三）多思少算，優(yōu)化路徑幾何壓軸題往往計算量較大，尤其是解析幾何。在動筆計算之前，應(yīng)盡可能先進行邏輯分析和推理，尋找最優(yōu)解題路徑。例如，在立體幾何中，向量法雖然普適，但有時幾何法更為簡潔；在解析幾何中，是否能利用圓錐曲線的定義解題，是否能通過設(shè)而不求、整體代換等方法簡化運算。要培養(yǎng)“多想一步，少算十步”的意識。（四）規(guī)范表達，踩點得分高考閱卷是按步驟給分的。在解題過程中，要注意書寫規(guī)范，邏輯清晰，步驟完整。尤其是證明題，要做到“言之有據(jù)”，每一步推理都要有相應(yīng)的定理、公理或已知條件作為支撐。計算題要寫出關(guān)鍵的公式和運算過程。即使最終結(jié)果未能得出，過程中的合理步驟也能獲得一定分數(shù)。（五）錯題反思，總結(jié)歸納解題之后，特別是對于做錯的題目，要進行深入反思。分析錯誤原因：是概念不清、思路錯誤，還是計算失誤？將錯題整理到錯題本上，注明錯誤點和正確的解題思路。定期回顧，總結(jié)歸納不同類型題目的解題方法和技巧，形成自己的知識體系和解題經(jīng)驗庫。三、實戰(zhàn)演練：典型例題與思路點撥以下提供幾道不同類型的幾何壓軸題，并給出簡要的思路點撥，供同學(xué)們進行針對性練習(xí)。在嘗試解題時，請務(wù)必獨立思考，盡可能完整地寫出解題過程，再對照思路點撥進行查漏補缺。（一）立體幾何綜合題例題1：如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別是棱BC、C?D?的中點。(1)求證：EF//平面BB?D?D；(2)求直線EF與平面A?BD所成角的正弦值；(3)在線段A?B上是否存在一點M，使得平面EMF與平面A?BD所成的銳二面角為θ（給定某一銳角）？若存在，求出AM的長；若不存在，說明理由。思路點撥：(1)證明線面平行，可以考慮構(gòu)造平行四邊形找線線平行，或利用面面平行的性質(zhì)。本題可取B?D?中點O，連接OB、OF，證明四邊形OBEF為平行四邊形，從而得到EF//OB，進而證得線面平行。(2)求線面角，可采用幾何法（找射影）或向量法。向量法相對straightforward，可建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線EF的方向向量和平面A?BD的法向量，利用向量夾角公式求解。(3)存在性問題，通常假設(shè)存在，設(shè)出點M的坐標(biāo)（可利用參數(shù)表示），然后求出兩個平面的法向量，根據(jù)二面角的大小列出方程，求解參數(shù)即可判斷是否存在，并求出長度。（二）解析幾何綜合題例題2：已知橢圓C：x2/m+y2/n=1(m>n>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右焦點F作直線l（不與x軸重合）交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P，求證：|AB|/|PF|為定值。思路點撥：(1)由離心率e=c/a=√2/2，以及a2=b2+c2，再將點(1,√2/2)代入橢圓方程，聯(lián)立方程組即可解得m,n的值。(2)證明定值問題，通常需要設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示出弦長|AB|以及線段AB垂直平分線的方程，進而求出點P的坐標(biāo)和|PF|的長度，最后進行化簡計算，看結(jié)果是否為常數(shù)。注意直線斜率是否存在的討論，若存在，可設(shè)直線l的方程為y=k(x-c)（c為右焦點橫坐標(biāo)）。（三）幾何綜合探究題例題3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-2,0)，B(2,0)，動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為-3/4。(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)過點F(1,0)作直線l交軌跡E于M、N兩點，問：在x軸上是否存在定點Q，使得∠MQF=∠NQF？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。思路點撥：(1)直接利用斜率公式，設(shè)P(x,y)，則有[y/(x+2)]*[y/(x-2)]=-3/4，化簡即可得到軌跡方程，注意x的取值范圍。(2)這是一個探究性問題，關(guān)于角平分線的性質(zhì)。若∠MQF=∠NQF，則QF為∠MQN的角平分線。根據(jù)角平分線的性質(zhì)，或利用對稱性，或通過斜率關(guān)系（k_QM+k_QN=0）來建立方程?？稍O(shè)出直線l的方程（考慮斜率是否存在），聯(lián)立軌跡E的方程，利用韋達定理表示出M、N兩點坐標(biāo)的關(guān)系，代入斜率和為零的條件，求解定點Q的坐標(biāo)。四、參考答案與提示（請在獨立完成后對照）（此處為節(jié)約篇幅，僅提供簡要提示，完整詳細的解答過程需要同學(xué)們自行書寫和完善）例題1提示：(1)建立以D為原點，DA,DC,DD?為x,y,z軸的坐標(biāo)系。E(a/2,a,0),F(0,a/2,a)。向量EF=(-a/2,-a/2,a)。平面BB?D?D的一個法向量可求，證明EF與法向量垂直；或按思路點撥中幾何法。(2)求出平面A?BD的法向量n，直線EF的方向向量為EF，線面角θ的正弦值sinθ=|cos<EF,n>|。(3)設(shè)M(a,a-ta,ta)(t∈[0,1])，求出平面EMF的法向量m?，平面A?BD的法向量n?，利用|cos<m?,n?>|=cosθ，解方程求t。例題2提示：(1)橢圓方程為x2/2+y2=1。(2)右焦點F(1,0)。設(shè)直線l:y=k(x-1)，聯(lián)立橢圓方程得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。韋達定理得x?+x?=4k2/(1+2k2),x?x?=(2k2-2)/(1+2k2)。|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=2√2(1+k2)/(1+2k2)。AB中點坐標(biāo)為(2k2/(1+2k2),-k/(1+2k2))。AB垂直平分線方程為y+k/(1+2k2)=-1/k(x-2k2/(1+2k2))。令y=0得P點橫坐標(biāo)x_p=k2/(1+2k2)+2k2/(1+2k2)=3k2/(1+2k2)。|PF|=1-x_p=(1+2k2-3k2)/(1+2k2)=(1-k2)/(1+2k2)？（此處需仔細計算，可能前面符號或計算有誤，最終化簡|AB|/|PF|應(yīng)為2√2）。例題3提示：(1)軌跡E為橢圓（除去左右頂點）：x2/4+y2/3=1(x≠±2)。(2)存在定點Q(4,0)。設(shè)直線l:x=my+1，聯(lián)立橢圓方程得(3m2+4)y2+6my-9=0。設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?),Q(t,0)。由k_QM+k_QN=0，代入y?/(x?-t)+y?/(x?-t)=0，結(jié)合x?=my?+1,x?=my?+1，化簡可得t=4。五、總結(jié)與寄語幾何壓軸題的攻克非一日之功，它需要扎實的基礎(chǔ)、清