2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項微專題核心考點突破專題10兩角和與差的三角函數(shù)1專題綜述兩角和與差的三角函數(shù)，由于集中交匯了三角函數(shù)內(nèi)部各知識模塊間的內(nèi)容，還常常涉及函數(shù)、向量、解三角形等知識，形成了化簡、求值(最值)求單調(diào)區(qū)間等多種題型，對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、計算能力推理能力是一個很好的平臺.本節(jié)內(nèi)容是高考數(shù)學(xué)試卷中必考的、反復(fù)考查的知識點，要求學(xué)生能夠做到熟練掌握、靈活運用.在《考試大綱》中，對兩角和與差的三角函數(shù)的要求是:(1)會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；(2)能利用兩角差的余弦公式，導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；(3)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.由此，我們可以分析出本節(jié)內(nèi)容的兩個考點:能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，及兩角和與差的正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能靈活運用這些公式進行簡單的恒等變換.命題趨勢分析:近3年來，各地的高考數(shù)學(xué)試卷中，對兩角和與差的三角函數(shù)的考查在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，其命題規(guī)律大致為:利用兩角和與差的三角函數(shù)公式直接進行求值，或通過兩角和與差公式的逆用、變形使用進行求值、化簡，主要考查兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識和利用這些知識進行運算的能力；通過拆角、拼角等方法，利用兩角和與差三角函數(shù)公式進行求值、化簡，考查學(xué)生的推理能力和運算能力；以兩角和與差的三角函數(shù)、解三角形、函數(shù)、向量等知識為素材形成交匯，主要考查學(xué)生綜合運用上述知識進行運算求解的能力.通過研究已經(jīng)公布的2018年《考試說明》發(fā)現(xiàn)，2018年高考對本節(jié)知識的考查要求未有改變.近3年高考的命題思路和命題風(fēng)格均相對穩(wěn)定，預(yù)計2018年高考對兩角和與差的三角函數(shù)的考查會延續(xù)上述命題的思路和風(fēng)格.2難點與剖析2.1難點梳理對于求值(求角)、化簡等題型來說，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點有兩個:一是如何準確地記住眾多兩角和與差的三角函數(shù)公式，以及如何理解這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；二是如何根據(jù)題目條件中三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式去選擇合適的方法來解決問題.對于兩角和與差的三角函數(shù)與三角函數(shù)、解三角形、向量等知識的綜合題型，對學(xué)生的思維和運算能力要求相對較高，難度較大.2.2突破難點如何才能讓學(xué)生準確記住兩角和與差的三角函數(shù)的公式，并能理解這些公式之間的關(guān)系，我們的做法是:在復(fù)習(xí)時，幫助學(xué)生回憶并重建這些知識，包括兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，以及由此出發(fā)，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式、兩角和與差的正切公式.通過這些公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生深刻理解這些公式的來龍去脈和公式之間的聯(lián)系，建立起完整的知識結(jié)構(gòu).同時，也復(fù)習(xí)了解決三角函數(shù)問題中常用的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、整體代換等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦與余弦互化等常用方法.如何才能根據(jù)題目中的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)形式，選擇合適的方法來解決問題?我們的做法是:分析結(jié)構(gòu)、尋找規(guī)律、巧用方法.分析結(jié)構(gòu)，就是要認真分析已知式子和所求式子的整體結(jié)構(gòu)之間的異同點，幫助我們找到變形的方向；尋找規(guī)律，就是要尋求函數(shù)名之間、角之間的差別和聯(lián)系，為我們選用正確的方法做好前期準備；巧用方法，就是要熟練掌握解決三角求值、化簡的常用方法:切化弦法、升降冪法、輔助元素法、“1”的代換法等，熟悉角的拆拼、變換的技巧.兩角和與差的三角函數(shù)與其他三角函數(shù)的綜合，通常需要將f(x)的解析式轉(zhuǎn)化為fx針對不同問題的個性化的難點突破方法，我們將通過下面的典例剖析加以闡述.3典例剖析例1(1)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x軸為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=13，則(2)sin20°(3)sin15°(4)已知sin(α+β)=12,(5)tan23°(6)1-tanα思路探求:(1)對角α的終邊所在的象限合理分類討論，分別求出cosα,sinβ,(2)利用160°+20°=180°，將cos160°=－cos20°，逆用兩角和的正弦公式sin30°=12(3)通過觀察，發(fā)現(xiàn)15°+75°=90°，將式子化為sin15(4)把兩角和與差的正弦公式中的sinαcosβ，cosαsin(5)因為23°+37°=60°，聯(lián)想公式tan23°+(6)兩角和的正切的分子中出現(xiàn)了“1”，利用1=tanπ4進行代換，即得設(shè)計說明:本題組設(shè)計意圖是幫助學(xué)生熟悉兩角和與差的三角函數(shù)公式的使用，包括常見的直接使用公式、變名(角)使用、逆用公式、整體求解、正切公式的變形使用、巧用“1”的代換等.本題組的創(chuàng)新之處在于，將常見的兩角和與差的三角函數(shù)公式通過比較隱性的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生能在變化后的情形中，認清知識的本質(zhì)，達到熟練使用公式的目的.教學(xué)建議:在幫助學(xué)生回顧兩角和與差的三角函數(shù)公式來龍去脈、構(gòu)建完整的知識體系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主完成本題組訓(xùn)練，師生共同總結(jié)常見的使用公式的規(guī)律.例2(1)若tanα-π4=(2)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=3，則(3)已知sin3π4+α=5 .(4)已知tan(α-β)=12,思路探求:(1)直接將左邊展開，求出tanα=75(2)觀察已知和所求式子的特點，利用2α=α+β+α-β，2β=α+β(3)觀察已知角3π4+α,π4cosβ)]=a+=(+a)－(4－－cos(a+)=sin(B)，再由0<a<π4<β<3π4，得3π4<3π4(4)觀察已知角α-β,β與所求角2α-β的關(guān)系，不難得出2α-β=2(α-β)+β.由已知tan(α-β)=12，得出tan2(α-β)=43，求出tan(2α-β)=1.若根據(jù)2α-β=α+(α-β)求解，需要求出tan不過若按第一種思路，由tanβ=-17,β∈(0,π)，得β∈π2,π，要確定α的范圍，還要根據(jù)α∈(0,π)和tanα=1換一種思路，由α-β∈(-π,0),tan(α-β)=1因而2α-β=α+(α-β)∈(-π,0)，又tan(2α-β)=1，故2α-β=-設(shè)計說明:本題組是圍繞利用“拆角、拼角”的方法來進行求值、求角，目的在于引導(dǎo)學(xué)生仔細分析已知角與所求角之間的關(guān)系，建立起溝通已知角和未知角之間的橋梁關(guān)系，進而解決問題.本題組的創(chuàng)新之處在于能夠比較系統(tǒng)地呈現(xiàn)常見的運用“拆角、拼角”解題的方法，并對給值求值和給值求角中的典型問題——對角的范圍的討論進行了剖析.教學(xué)建議:本題組是兩角和與差三角函數(shù)公式考查中的重點內(nèi)容，教學(xué)時要讓學(xué)生有充分的解題體驗，引導(dǎo)學(xué)生自主探尋解題思路.對于角的范圍的討論，就解題步驟而言，要強調(diào)解題“三步曲”:第一步，求角的某個三角函數(shù)值；第二步，確定角的范圍；第三步，根據(jù)角的范圍，寫出所求的角.需要強調(diào)的是，在選取某一三角函數(shù)值時，要先縮小所求角的范圍，最好將角的范圍縮小在某一三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進而確定角的大小.就教學(xué)方法而言，要采用數(shù)形結(jié)合的思想方法引導(dǎo)學(xué)生，增強直觀性；就學(xué)習(xí)方式而言，要采取合作探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生相互尋找解題過程中的漏洞，并比較解題方法的優(yōu)劣，提高解題效益.例3(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinBA．a(chǎn)=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A(2)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC思路探求:(1)觀察已知等式，容易發(fā)現(xiàn)可以利用兩角和的正弦公式對其進行化簡，得到cosC2sinB-sinA=0，因為△ABC是銳角三角形，cosC≠0，即(2)由sinA=2sinBsinC,A=π-B-C，可得，sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(①).因△ABC-可得tanAtanB令tanBtanC=t，因△ABC由②得t>1，從而tanA當且僅當t=2時取等號，此時tanB=2+2,tanC=2-設(shè)計說明:本題組是將兩角和與差的三角函數(shù)與解三角形、函數(shù)等知識結(jié)合.由于《考試說明》中，對兩角和與差的三角函數(shù)是C級要求，第(2)小題是填空題的最后一題，起著分步把關(guān)的作用.兩題都以三角形為背景，體現(xiàn)了此類問題的共同點:將三角形內(nèi)角和定理與兩角和與差的三角函數(shù)公式結(jié)合，起到化繁為簡的作用.不同點是第(1)小題化簡后，利用正弦定理知識加以解決，第(2)小題化簡后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題加以解決.教學(xué)建議:解決此類問題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生分析已知式子的結(jié)構(gòu)，或分析已知和未知之間的異同點，利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，對已知條件進行化簡.撥開迷霧，看清方向，逐步將未知問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的解三角形、函數(shù)最值等知識加以解決.例4已知向量a=(cos(I)若a∥b，求x的值；(Ⅱ)記f(x)=a?b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.思路探求:(I)因為a=(cosx,sin若cosx=0，則sinx=0，與sin2x+cos2x=1又x∈[0,π]，所以x=5π(Ⅱ)f(x)=a?b=(cos因為x∈[0,π]，所以x+π6∈π6,7π6，從而-1?cosx+π6?32，于是，當x+π6設(shè)計說明:本題主要考查向量共線、數(shù)量積的概念及運算、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練學(xué)生的運算求解能力.本題的創(chuàng)新之處有兩點:一是把向量共線、數(shù)量積的概念和運算與三角函數(shù)知識結(jié)合起來；二是給出x的范圍，求三角函數(shù)的條件最值，預(yù)設(shè)易錯點.通過上述變化，可以更全面地考查學(xué)生的運算能力.教學(xué)建議:由于這類綜合題涉及的知識點較多，因而對學(xué)生的運算能力有較高的要求.在教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)概念和公式，這是準確運算的前提.對于f(x)=3cosx-3sinx值得注意的是，由于x∈[0,π]，因此-π3?x-π3?例5△ABC的內(nèi)角A，B，C.已知△ABC的面積為a2(I)求sinB(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3思路探求:(I)由題設(shè)得12acsin由正弦定理得12sinCsinB=sin(Ⅱ)由題設(shè)及(I)得cosBcosC-sin所以B+C=2π3，故A=π3.由題設(shè)得由余弦定理得b2+c2－bc=9，即(b+c)2－3bc=9，得b+c=33，故△ABC的周長為3+設(shè)計說明:本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識，可以訓(xùn)練學(xué)生的運算能力.此類題型是近年來各地高考的熱點.本題的創(chuàng)新之處在于，設(shè)計不同的情境，讓學(xué)生選用合適的三角形面積公式、余弦定理公式進行運算；采用化整為零、整體求解等運算策略解題.通過上述創(chuàng)新舉措，考查學(xué)生靈活選用公式、靈活使用求解策略解題的能力.教學(xué)建議:在分析第(I)問解題思路時，要引導(dǎo)學(xué)生認真審題，仔細分析已知條件和求解目標的關(guān)聯(lián)性，合理選擇三角形面積公式.在分析第(Ⅱ)問解題思路時，要引導(dǎo)學(xué)生分析第(I)問的結(jié)論與第(Ⅱ)問的條件之間的關(guān)聯(lián)性，在得出A=π3后，選用什么三角形面積公式建立等式；在得出bc=8后，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的余弦定理公式，建立bc與b+c的關(guān)系，無須分別求出b，c的值，只需整體求出【答案】B【解析】A．-17 B．17 C．【答案】C【解析】∵sinα+2∴(sinα+2cos3sin2α=4sinαcosα，∵α∈(0,π)，∴∴tan(α+【答案】D【解析】故選：D

4．已知銳角α，β滿足sinα=55，A．3π4 B．π4或3π4 C．π4 D．2k【答案】C【解析】由sinα=55，cosβ=31010，且α，β為銳角，知cosα=255，sinβ=1010【答案】B【解析】A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】A． B． C． D．【答案】B【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，∵a=2，c=，∵a＞c，∴C=，A． B． C． D．【答案】D【解析】∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）所以角βA． B． C． D．【答案】A【解析】【答案】D【解析】【答案】A【解析】【答案】B【解析】A． B．3 C． D．【答案】B【解析】【答案】B【解析】A． B． C． D．【答案】C【解析】【解析】【答案】【解析】∴（cosα+cosβ）2=，（