第1章三角形初步認識（復習講義）課標要求：從生活實物抽象三角形模型，通過推理掌握基本性質；中考命題：基礎題占比高，壓軸題聚焦動態(tài)全等與實際建模；備考關鍵：?

概念零混淆（三邊關系/全等判定/高線位置）；?

證明嚴步驟（條件標注+定理引用）；?

作圖保規(guī)范（尺規(guī)作圖半徑一致、延長線用虛線）?

掌握高、中線、角平分線的定義及畫法，理解其交點特性（如三條高交于一點）層級訓練重點典型例題基礎層三邊關系判斷、內(nèi)角和直接計算已知△ABC中∠A=60°,∠B=40°，則∠C=80°進階層全等證明（SSS/SAS）、尺規(guī)作圖規(guī)范用SAS證明△ABC≌△DEF6拓展層動態(tài)全等問題、外角性質綜合應用求五角星五個尖角度數(shù)和（180°）知識點重點歸納常見易錯點三角形的定義三條不在同一直線的線段首尾順次相接組成的封閉圖形忽略"三邊不共線"條件（如認為三點共線可組成三角形）三角形的分類按邊：等邊、等腰、不等邊；按角：銳角（0°<∠<90°）、直角（∠=90°）、鈍角（90°<∠<180°）誤判等腰三角形類型（如默認頂角是銳角）三邊關系定理任意兩邊之和>第三邊（設a≤b≤c，則需滿足

a+b>c）僅驗證一組兩邊和（如a=3,b=4,c=8時只驗3+4>8?，忽略3+8>4且4+8>3）高/中線/角平分線高：頂點到對邊的垂線段（鈍角△高在形外）；中線：頂點到對邊中點的線段；角平分線：平分內(nèi)角的射線鈍角三角形畫高時未延長邊（如∠A>90°時高AD在△ABC外）內(nèi)角和定理內(nèi)角和恒為180°

→證明：作平行線轉化角（如圖）多邊形公式誤用（如套用(n2)×180°算得360°?）全等判定定理SSS（三邊）、SAS（兩邊夾角）、ASA（兩角夾邊）、AAS（兩角一對邊）、HL（直角△專用）SSA不能判定全等（如兩邊及其中一邊對角相等時，可能有兩種情況）尺規(guī)作圖作角等于已知角：截取等弧法；作角平分線：同半徑畫弧→交點連線法作角平分線時兩次畫弧半徑不同（導致交點不對稱）題型題型一三角形邊之間關系【例1】下列長度的三條線段首尾順次連接能組成三角形的是（）A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11【考點】三角形三邊關系【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理，若兩較小邊之和大于較長邊即能組成三角形，逐項驗證即可．【解答】解：根據(jù)三角形三邊關系逐項分析判斷如下：A、∵2+2＞3，∴2，2，3能組成三角形．故此選項符合題意；B、∵2+3＝5，∴2，3，5不能組成三角形．故此選項不符合題意；C、∵3+4＝7，∴3，4，7不能組成三角形．故此選項不符合題意；D、∵4+5＜11，∴4，5，11不能組成三角形．故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查三角形三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．【變式11】若a、b、c是三角形的三邊長，則化簡|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的結果為（）A．a(chǎn)+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c【考點】三角形三邊關系；絕對值【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關系得出a、b、c之間的大小關系，再根據(jù)絕對值的性質求值．【解答】解：由條件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．故選：A．【點評】本題考查了三角形的三邊關系以及絕對值的化簡．熟練掌握以上知識點是關鍵．【變式12】已知三角形的兩邊長分別是2cm和5cm，選一個你喜歡的奇數(shù)作第三邊，則該三角形的周長是12cm．【考點】三角形三邊關系【分析】利用三角形的三邊關系求出第三邊的范圍，再由第三邊為奇數(shù)即可求得第三邊的長，進而即可得解．【解答】解：∵三角形的兩邊長分別是2cm和5cm，設第三邊的長為xcm，∴5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，∵x為奇數(shù)，∴x＝5，∴該三角形的周長＝2+5+5＝12（cm），故答案為：12cm．【點評】本題主要考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系的應用是解決此題的關鍵．【變式13】已知O是△ABC中任意一點（如圖）．求證：12【考點】三角形三邊關系【分析】在△OAB，△OAC，△OBC中，根據(jù)三角形的三邊關系可得OA+OB＞AB，OA+OC＞AC，OB+OC＞BC，即可求解．【解答】證明：在△OAB中，OA+OB＞AB．在△OAC中，OA+OC＞AC．在△OBC中，OB+OC＞BC．三式相加，得：2（OA+OB+OC）＞AB+AC+BC，即12【點評】本題主要考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．題型二題型二三角形內(nèi)角和【例2】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于點E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，則∠CAD的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考點】三角形內(nèi)角和定理【分析】根據(jù)角平分線，高線，三角形內(nèi)角和定理進行計算即可．【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC邊于點E，∠ABE＝25°，∴∠ABD＝2∠ABE＝50°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝40°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，故選：A．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題的關鍵．【變式21】如圖，AD與BC交于點O，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為540°．【考點】三角形內(nèi)角和定理【分析】連接AB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得∠C+∠D＝∠OBA+∠OAB，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求解即可．【解答】解：連接AB，由條件可知∠C+∠D＝∠OBA+∠OAB，∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M＝∠DAM+∠CBE+∠OBA+∠OAB+∠E+∠F+∠M＝（∠DAM+∠OAB）+（∠CBE+∠OBA）+∠E+∠F+∠M＝∠MAB+∠ABE+∠E+∠F+∠M＝（5﹣2）×180°＝540°，故答案為：540°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握該知識點是關鍵．【變式22】如圖，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于50°．【考點】三角形內(nèi)角和定理；對頂角、鄰補角【分析】連接BC．設DC與BE交于點F，由三角形內(nèi)角定理求出∠1+∠2＝50°．再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可求出∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°．【解答】解：如圖，連接BC．設DC與BE交于點F，∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE，∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC，∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，即∠D+∠E等于50°，故答案為：50°．【點評】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，對頂角、鄰補角，關鍵是三角形內(nèi)角和定理的熟練掌握．【變式23】在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，請通過計算判斷△ABC的形狀．【考點】三角形內(nèi)角和定理【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程，然后把∠A、∠B都換為∠C，計算即可得解，再根據(jù)三角形的內(nèi)角的度數(shù)判斷三角形的形狀，即可求解．【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C（已知），又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴2∠C+∠C+∠C＝180°（等量代換），即4∠C＝180°，解得∠C＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝2∠C＝2×45°＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，把∠A、∠B都換為∠C，得到關于∠C的方程是解題的關鍵．題型題型三三角形外角性質【例3】將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．75° C．85° D．105°【考點】三角形的外角性質；對頂角、鄰補角；平行線的性質；三角形內(nèi)角和定理【分析】由三角板可知∠5＝60°，由平行線的性質得出∠2＝45°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠3＝90°﹣∠2＝45°，對頂角相等得出∠4＝∠3＝45°，再根據(jù)對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠1的度數(shù)．【解答】解：由三角板可知：∠5＝60°，∵直尺兩邊平行，∴∠2＝45°（兩直線平行，同位角相等），∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°，∴∠4＝∠3＝45°（對頂角相等），∴∠1＝∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣45°﹣60＝75°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質，三角形內(nèi)角和定理，對頂角、鄰補角，三角形外角性質，關鍵是相關性質的熟練掌握．【變式31】如圖，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝55°，則∠ACB的度數(shù)是75度．【考點】三角形的外角性質；三角形內(nèi)角和定理【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE＝2∠DAE＝110°，然后根據(jù)三角形外角的性質解答，即可．【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠DAE＝55°，∴∠CAE＝2∠DAE＝55°×2＝110°，∵∠CAE＝∠B+∠ACB，∠B＝35°，∴∠ACB＝∠CAE﹣∠B＝110°﹣35°＝75°，即∠ACB的度數(shù)為75°．故答案為：75．【點評】本題主要查了三角形外角的性質，三角形內(nèi)角和定理，關鍵是相關性質的熟練掌握．【變式32】如圖，在△ABC中，點D在邊BC上．（1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度數(shù)；（2）若AD為△ABC的中線，△ABD的周長比△ACD的周長大3，AB＝9，求AC的長．【考點】三角形的角平分線、中線和高【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質得到∠3＝∠4＝∠1+∠2＝70°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）根據(jù)三角形中線的定義得到BD＝CD，再由三角形周長公式結合已知條件推出AB﹣AC＝3，據(jù)此可得答案．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°，∴∠3＝∠1+∠2＝70°，∴∠3＝∠4＝70°，∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°；（2）∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∵△ABD的周長比△ACD的周長大3，∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3，∴AB﹣AC＝3，∵AB＝9，∴AC＝6．【點評】本題主要考查了三角形外角的性質，三角形內(nèi)角和定理，三角形中線的定義，根據(jù)三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和，三角形內(nèi)角和為180度進行求解是解題的關鍵．【變式33】如圖，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延長線于點E．（1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度數(shù)；（2）試猜想∠BAC、∠B、∠E三個角之間存在的等量關系，并證明你的猜想．【考點】三角形的外角性質；三角形內(nèi)角和定理【分析】（1）先求解∠ECD＝∠B+∠E＝68°，可得∠ACE＝∠ECD＝68°，再利用三角形的外角的性質可得結論；（2）證明∠ACE＝∠ECD，結合∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E，可得結論．【解答】解：（1）由條件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°，∵EC平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝68°，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°；（2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下：由條件可知∠ACE＝∠ECD，又∵∠ECD＝∠B+∠E，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E，即∠BAC＝∠B+2∠E．【點評】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質，熟練掌握以上知識點是關鍵．題型題型四三角形中線、高線、角平分線【例4】如圖，BP是∠ABC的平分線，CP是△ABC的外角∠ACM的平分線，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝（）A．30° B．35° C．25° D．40°【考點】三角形的外角性質【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：由條件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故選：A．【點評】本題考查三角形外角性質以及角平分線的定義，解題時注意：一個三角形的外角等于與它不相【變式41】下列說法正確的是（）A．直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到直線的距離 B．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行 C．三角形的三條高線交于一點 D．平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直【考點】三角形的角平分線、中線和高；垂線；點到直線的距離；平行公理及推論；平行線的性質【分析】根據(jù)點到直線的距離、平行公理、三角形的高、垂直的定義判斷即可．【解答】解：A、直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫做這點到直線的距離，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，說法正確，符合題意；C、三角形的三條高線所在的直線交于一點，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是點到直線的距離、平行公理、三角形的高、垂直的定義，掌握相關的概念和性質是解題的關鍵．【變式42】如圖，已知點D是BC的中點，AE，AF分別是△ABC的角平分線、高線，則下列結論錯誤的是（）A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE【考點】三角形的角平分線、中線和高【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的定義判斷即可，【解答】解：根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的定義判斷如下：A、AE不是中線，∴BE≠∵S△ABC=∴S△ABC≠2S△ABE，該選項錯誤，符合題意；B、∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，該選項正確，不符合題意；C、∵AF是△ABC的高線，∴∠AFC＝90°，該選項正確，不符合題意；D、∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，該選項正確，不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握三角形的角平分線、中線和高的定義是解決此題的關鍵．【變式43】已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【考點】三角形的角平分線、中線和高【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝故答案為1．【點評】此題考查了三角形中線的性質，解答此題的關鍵是知道同底等高的三角形面積相等．【變式44】如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，BF是△EBD的角平分線，若∠BAD＝45°，則∠BFD＝112.5°．【考點】三角形的角平分線、中線和高【分析】由已知得出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)DE是△ADB的中線，得出DE⊥AB，根據(jù)角平分線的定義得出∠EBF＝22.5°，根據(jù)三角形的外角的性質即可求解．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，∴AD⊥BC，則△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°∵DE是△ADB的中線，∴DE⊥AB，∴∠DEB＝90°∵BF是△EBD的角平分線，∴∠EBF＝22.5°，∴∠BFD＝∠EBF+∠DEB＝22.5°+90°＝112.5°，故答案為：112.5°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質與判定，三角形外角的性質，角平分線的定義，掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．【變式45】如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點D在邊AB上（不與點A，B重合），連接CD交BE于點O．（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，求△BCD與△ACD的周長差；（2）若CD是高，∠ABC＝64°，求∠BOC的度數(shù)．【考點】三角形的角平分線、中線和高【分析】（1）根據(jù)三角形周長計算公式可得到△BCD與△ACD的周長差為：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中線的定義得到AD＝BD，據(jù)此代值計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE＝32°，由三角形高的定義得到∠CDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質可得答案．【解答】解：（1）∵△BCD的周長＝BC+CD+BD，△ACD的周長＝AC+CD+AD，∴△BCD與△ACD的周長差為：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC+BD﹣AD，∵CD是△ABC的中線，∴AD＝BD，∵BC＝3，AC＝2，∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝1，答：△BCD與△ACD的周長差為1；（2）∵BE是∠ABC的平分線，∠ABC＝64°，∴∠ABE∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝122°．【點評】本題主要考查了三角形中線和高，三角形的周長，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質，三角形外角的性質等知識點，熟記三角形中線的定義，三角形高的定義是解題的關鍵．題型題型五命題與定理【例5】下列命題中是真命題的是（）A．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等 B．如果a∥b，b∥c，那么a⊥c C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．若a，b是兩個無理數(shù)，則a+b一定也是無理數(shù)【考點】命題與定理；無理數(shù)；平行公理及推論；平行線的判定與性質【分析】利用相關知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：利用相關知識逐項分析判斷如下：A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，是真命題，符合題意；B、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意；C、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意；D、若a，b是兩個無理數(shù)，則a+b不一定也是無理數(shù)，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了命題的真假，平行線的判定、相反數(shù)和絕對值、平行公理，無理數(shù)的加法，等知識．熟練掌握以上知識點是關鍵．【變式51】舉反例說明下面的命題是假命題：“若a，b都是正數(shù)，且c＝ab，則c≥a．”你舉的反例是：a=12，b=13，c=16【考點】命題與定理【分析】舉例時，滿足條件，不滿足結論即可得到答案．【解答】解：舉的反例是：a=12，b此時c＝ab，但是c＜a，故答案為：a=12，b=13，c=【點評】本題考查命題與定理，掌握用舉反例說明命題是假命題是解題的關鍵．【變式52】將命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫成“如果……，那么……”的形式如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．【考點】命題與定理；平行公理及推論【分析】根據(jù)命題由題設和結論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論解答即可．【解答】解：將命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫成“如果……，那么……”的形式為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．故答案為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．【點評】本題考查的是命題與定理，平行公理及推論，熟知任何一個命題都可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論是解題的關鍵．【變式53】下列命題是真命題的是（）A．兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角 B．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 D．相等的角是對頂角【考點】命題與定理；余角和補角；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行線的判定與性質【分析】根據(jù)補角、平行線判定定理、內(nèi)錯角和對頂角的定義逐一分析選項即可．【解答】解：根據(jù)命題與定理、對頂角、補角、平行線的性質等知識逐項分析判斷如下：A、兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角，為真命題，此項符合題意；B、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，所以原選項為假命題，此項不符合題意；C、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，所以原選項為假命題，此項不符合題意；D、相等的角不一定是對頂角，所以原選項為假命題，此項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查命題與定理、對頂角、補角、平行線的性質等知識，熟練掌握以上知識點是關鍵．題型題型六證明【例6】甲、乙、丙三個同學中有一個在同學們都不在時把教室掃凈，事后教師問他們是誰做的好事，甲說：“是乙做的”；乙說：“不是我做的”；丙說：“不是我做的”．如果他們中有兩人說了假話，一人說的是真話，你能判斷是誰做的嗎．（）A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷【考點】推理與論證【分析】假設甲說的是真話，可推出乙說的是假話，丙說的是真話，與“一人說的是真話”相矛盾，可見甲說的是假話，則乙說的是真話，所以丙說的是假話，可判斷是丙做的，于是得到問題的答案．【解答】解：假設甲說的是真話，則乙說的是假話，丙說的是真話，與“一人說的是真話”相矛盾，由此判斷甲說的是假話，所以乙說的是真話，則丙說的是假話，所以是丙做的，故選：C．【點評】此題重點考查推理與論證的有關知識，運用假設法判斷出甲說的是假話是解題的關鍵．【變式61】布袋里有100個球，其中有紅球28個，綠球20個，黃球12個，藍球20個，白球10個，黑球10個，從袋中任意摸出球來，若要一次摸出至少15個同色的球，則需要從袋中摸出球至少（）A．85個 B．75個 C．15個 D．16個【考點】推理與論證【分析】根據(jù)事件發(fā)生可能性大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．這里要考慮最差情況．【解答】解：最壞情況考慮就行了，摸出14個紅球，14個綠球，12個黃球，14個藍球，10個白球，10個黑球，最后再摸出任意一個球，這時可以保證至少有15個顏色相同，即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1＝75個球；故選：B．【點評】此題考查的知識點是推理與論證，關鍵是考慮最差情況先摸出9個黑球，14個白球，再摸出另三色中一色的14個球，此時再任意摸出一個小球即可保證15個小球顏色相同．【變式62】某教室的儲物柜密碼由三個不同的數(shù)字組成，婷婷、樂樂、香香三人都開過，但都記不清了．婷婷記得：有個數(shù)字是2，但不是最后一個數(shù)字；樂樂記得：有兩個數(shù)是5和8，并且它們的位置相鄰；香香記得：中間的數(shù)字不是8．根據(jù)以上信息，可以確定密碼是258．【考點】推理與論證【分析】婷婷提供的“數(shù)字2且不在最后一位”、樂樂的“5和8相鄰”、香香的“中間數(shù)字不是8”．通過條件逐步排除不符合的組合，最終鎖定唯一解．確保最終答案同時滿足所有條件．樂樂的條件限制了5和8必須相鄰，且密碼包含這三個數(shù)字中的兩個．香香的條件直接排除中間為8的情況．婷婷的條件固定了2的位置，進一步縮小范圍．【解答】解：梳理條件：婷婷：密碼含2，且2不在第三位．樂樂：密碼含5和8，且5和8相鄰．香香：中間數(shù)字不是8．∴密碼必須包含2、5、8三個不同數(shù)字（因樂樂提到兩個數(shù)是5和8，且婷婷提到有2）．5和8必須相鄰，可能的相鄰位置為：第1位和第2位（如58或85）第2位和第3位（如58或85），中間數(shù)字不能是8，因此排除中間為8的組合（如X8X）．假設前兩位是58：組合為58×，第三位必須是2（因含2且不在最后），即582．矛盾：婷婷說2不在最后一位，排除．假設前兩位是85：組合為85×，第三位必須是2，即852．矛盾：婷婷說2不在最后一位，排除．3假設后兩位是58：組合為X58，第一位必須是2（因含2且不在最最后），即258．驗證：婷婷條件：2在第一位，符合條件．樂樂條件：5和8相鄰（第2、3位）．香香條件：中間數(shù)字是5，符合條件．假設后兩位是85：組合為X85，中間數(shù)字是8，矛盾香香條件，排除．∴唯一符合條件的組合是258．故答案為：258．【點評】本題考查推理與論證，需要綜合不同人的記憶片段，排除不可能的情況，確定唯一符合條件的密碼組合．【變式63】某氣象臺發(fā)現(xiàn)：在某段時間里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知這段時間有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，則這一段時間有11天．【考點】推理與論證【分析】解法一：根據(jù)題意設有x天白天下雨，這一段時間有y天；有9天下雨，即白天下雨或晚上下雨都可稱之為當天下雨，①總天數(shù)﹣白天下雨＝白天晴天；②總天數(shù)﹣晚上下雨＝晚上晴天；列方程組解出即可．解法二：列三元一次方程組，解出即可．【解答】解：解法一：設有x天白天下雨，這一段時間有y天，根據(jù)題意得：y-①+②得：2y＝22，y＝11．所以一共有11天；解法二：設一共有x天，白天下雨的有y天，晚上下雨的有z天，根據(jù)題意得：y+解得：x=11所以一共有11天．故答案為：11．【點評】此題考查了推理與論證，本題以天氣為背景，考查了學生生活實際問題，恰當準確設未知數(shù)是本題的關鍵；根據(jù)生活實際可知，白天和晚上要么下雨，要么晴天；本題也可以用算術方法求解：（9+6+7）÷2＝11．題型題型七全等三角形性質【例7】如圖，已知△ABC≌△DEB，點A、B、C的對應點分別是點D、E、B，點E在AB邊上，DE與AC交于點F．如果AE＝8，BC＝12，則線段DE的長是20．【考點】全等三角形的性質【分析】根據(jù)△ABC≌△DEB，得出BE＝BC＝12，DE＝AB，根據(jù)AE＝8，得出AB＝AE+BE＝12+8＝20，即可得出答案．【解答】解：由條件可知BE＝BC＝12，DE＝AB，∴AB＝AE+BE＝12+8＝20，∴DE＝20．故答案為：20．【點評】本題主要考查了三角形全等的性質，熟練掌握該知識點是關鍵．【變式71】如圖，△ABC≌△ADE，若AE＝5，則AC＝5．【考點】全等三角形的性質【分析】根據(jù)全等三角形的性質即可得出AC＝AE＝5．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵AE＝5，∴AC＝5．故答案為：5．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，理解全等三角形的對應邊相等是解決問題的關鍵．【變式72】如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若EF＝8，EC＝5，則BE的長是3．【考點】全等三角形的性質【分析】利用全等三角形的對應邊相等，得出EF＝BC＝8，然后求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴根據(jù)全等三角形的性質，EF＝BC＝8，∴BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3．所以BE的長為3，故答案為：3．【點評】本題考查全等三角形性質，熟練掌握全等三角形的性質是解答的關鍵．【變式73】如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（）A．66° B．60° C．56° D．54°【考點】全等三角形的性質【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠C＝66°，由圖形，結合題意得到AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝66°，由此即可求解．【解答】解：如圖所示，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣50°＝66°，∵如圖是兩個全等三角形，∴AB＝A′B′＝c，BC＝B′C′＝a，∴AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝66°，∴∠1＝66°，即∠1的度數(shù)是66°，綜上所述，只有選項A正確，符合題意，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．【變式74】如圖，△ABC≌△ADE，點E在邊BC上（不與點B，C重合），DE與AB交于點F．（1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF與△BEF的周長和．【考點】全等三角形的性質【分析】（1）利用全等三角形的性質、等式的性質可得出∠CAE＝∠BAD，然后利用角的和差關系求解即可；（2）利用全等三角形的性質可求出AB＝AD＝10，BC＝DE＝9，然后利用三角形的周長公式求解即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠BAD，由條件可知∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°，∴∠CAE＝∠BAD＝40°；（2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE，∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9，AD+DF+AF+BF+EF+BE＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE＝AD+DE+AB+BE＝10+9+10+4.5＝33.5．【點評】本題考查了全等三角形的性質等知識，熟練掌握該知識點是關鍵．【變式75】如圖，已知△ABC≌△DAE，點A、C、D在同一條直線上．（1）請判斷AB與DE的位置關系，并說明理由；（2）若ED＝3，CD＝4，求線段AB的長．【考點】全等三角形的性質【分析】（1）由全等三角形的性質推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE；（2）由全等三角形的性質推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的長．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵△ABC≌△DAE，∴∠D＝∠CAB，∴AB∥DE；（2）∵△ABC≌△DAE，∴AC＝ED＝3，AB＝AD，∵AD＝AC+CD＝4+3＝7，∴AB＝7．【點評】本題考查全等三角形的性質，平行線的判定，關鍵是掌握全等三角形的對應邊和對應角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．題型題型八角平分線定理【例8】如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．100【考點】角平分線的性質【分析】根據(jù)角平分線的性質求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：過O作OE⊥AB于點E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面積=1故選：C．【點評】此題考查角平分線的性質，關鍵是根據(jù)角平分線的性質得出OE＝OD解答．【變式81】如圖，△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且DE＝DF，則下列結論中正確的有①②③．①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③BD＝CD；④∠EDA＝∠BDE．【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質【分析】利用等腰三角形等邊對等角，得到兩底角相等，結合三角形全等，等腰三角形的性質，得到結果．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，又∵DE＝DF，∴△DBE≌△DCF，∴BD＝DC，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC，∴在Rt△ADB中，∠EDA+∠BDE＝90°．∴結論正確的有①②③，故答案為：①②③．【點評】本題考查了等腰三角形性質的應用，全等三角形的判定及性質，關鍵是結合圖形，對各個結論逐一判斷即可．【變式82】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，若AD＝2，BC＝6，則△BCD的面積為6．【考點】角平分線的性質【分析】過點D作DE⊥BC交于點E，根據(jù)角平分線的性質定理可得DE＝AD＝2，再利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC交于點E，由條件可知DE＝AD＝2，∵BC＝6，∴S△故答案為：6．【點評】本題考查了角平分線的性質定理、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．【變式83】如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD，BC于點E、F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點G．（1）求證：CE＝FG．（2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面積．【考點】角平分線的性質；三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理【分析】（1）先根據(jù)角平分線的性質得出FC＝FG，∠CAF＝∠DAE，再證∠AED＝∠AFC，由對頂角相等可知∠AED＝∠CEF，故可得出∠CEF＝∠AFC，那么CE＝CF，由此可得出結論；（2）先證FG＝CF＝CE＝4，再根據(jù)S△【解答】（1）證明：∵AF是∠BAC的平分線，∠ACB＝90°，F(xiàn)G⊥AB，∴FC＝FG，∠CAF＝∠DAE=12∠∠CAF+∠CFA＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠AFC，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠AFC，∴CE＝CF，∴CE＝FG．（2）解：∵CE＝4，∴FG＝CF＝CE＝4，∵AC＝12，AB＝15，∴S△所以△ABC的面積為54．【點評】本題考查了角平分線的性質，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵．題型題型九垂直平分線定理【例9】如圖，AD⊥BC，BD＝CD，點C在AE的垂直平分線上．若AB＝5，BD＝3，則DE的長為（）A．5 B．8 C．11 D．13【考點】線段垂直平分線的性質【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質，可分別求得AC和EC的長，即可求得答案．【解答】解：由條件可知AB＝AC＝5，CD＝3，∵點C在AE的垂直平分線上，∴EC＝AC＝5，∴DE＝CD+EC＝3+5＝8．故選：B．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．【變式91】如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝10cm，且△ABD的周長為45cm，則△ABC的周長為（）A．55cm B．60cm C．65cm D．70cm【考點】線段垂直平分線的性質【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到DA＝DC，AE＝CE＝10cm，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：由條件可知DA＝DC，AE＝CE＝10cm，∴AC＝2AE＝20cm，∴AB+BD+DA＝AB+BC＝45cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝65cm，故選：C．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式92】如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長為20cm，AC＝9cm，求DC長．【考點】線段垂直平分線的性質【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AE＝EC，AB＝AE，等量代換證明結論；（2）根據(jù)三角形的周長公式得到AB+BC+AC＝20，根據(jù)AB＝EC，BD＝DE計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周長為20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝9cm，∴AB+BC＝11cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC=1=1＝5.5cm．【點評】本題考查線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式93】如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若∠ACB＝110°，則∠MCN的度數(shù)為40°；（2）若∠MCN＝α，則∠MFN的度數(shù)為90°-α2；（用含（3）連接FA、FB、FC，△CMN的周長為6cm，△FAB的周長為16cm，求FC的長．【考點】線段垂直平分線的性質；三角形內(nèi)角和定理【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質得AM＝CM，BN＝CN，根據(jù)等邊對等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的內(nèi)角和定理計算即可得解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質得AM＝CM，BN＝CN，根據(jù)等邊對等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出∠ACB（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周長＝AB，再由DF，EF分別垂直平分AC和BC，求出FA＝FC，F(xiàn)B＝FC即可求解．【解答】解：（1）∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，∴∠A+∠B＝70°，∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°，∴∠MCN＝180°﹣140°＝40°，故答案為：40°；（2）∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∠CDF＝∠CEF＝90°，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α，∴∠A∴∠ACB∵四邊形DFEC的內(nèi)角和為360°，∴∠ACB+∠MFN＝360°﹣∠CDF﹣∠CEF＝180°，∴∠MFN故答案為：90°-α（3）如圖，∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周長＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周長為6cm，∴AB＝6cm，∵△FAB的周長為16cm，∴FA+FB+AB＝16cm，∴FA+FB＝10cm，∵DF，EF分別垂直平分AC和BC，∴FA＝FC，F(xiàn)B＝FC，∴2FC＝10cm，∴FC＝5cm．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用及整體思想的應用．題型題型十三角形全等判定一（SSS）【例10】如圖，AB＝AD，AC＝AE，請?zhí)砑右粋€條件BC＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△ADE．【考點】全等三角形的判定【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案．【解答】解：在△ABC和△ADE中，AB=∴△ABC≌△ADE（SSS）．∴添加一個條件BC＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△ADE．故答案為：BC＝DE（答案不唯一）．【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．【變式101】如圖，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向點B運動；點Q從點B出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線BD方向運動．點P、點Q同時出發(fā)，當以P、B、Q為頂點的三角形與△CAP全等時，a的值為2或127【考點】全等三角形的判定【分析】根據(jù)題意，可以分兩種情況討論，第一種△CAP≌△PBQ，第二種△CAP≌△QBP，然后分別求出相應的a的值即可．【解答】解：當△CAP≌△PBQ時，則AC＝PB，AP＝BQ，∵AC＝6，AB＝14，∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8，∴BQ＝8，∴8÷a＝8÷2，解得a＝2；當△CAP≌△QBP時，則AC＝BQ，AP＝BP，．∵AC＝6，AB＝14，∴BQ＝6，AP＝BP＝7，∴6÷a＝7÷2，解得a=12由上可得a的值是2或127故答案為：2或127【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確有兩種情況，利用數(shù)形結合的思想解答．【變式102】已知：如圖，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF，求證：AB∥DC．【考點】全等三角形的判定與性質；平行線的判定【分析】依據(jù)題意，由DE＝BF，從而DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，進而可證得△AEB≌△CFD（SSS），則∠B＝∠D，最后可以判斷得解．【解答】證明：∵DE＝BF，∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，在△AEB和△CFD中，AB=△AEB≌△CFD（SSS），∴∠B＝∠D，∴AB∥DC．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的判定，熟練掌握其判定和性質定理是解題的關鍵．【變式103】下列條件中能確定△ABC的形狀與大小的有②．①AB＝3，BC＝7，CA＝11，②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3；③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11；④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9．【考點】全等三角形的判定【分析】根據(jù)三角形的判定和性質進行判定即可求解．【解答】解：①AB＝3，BC＝7，CA＝11，3+7＜11，不能畫出三角形；②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3，根據(jù)“AAS”能畫出唯一的△ABC；③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11，“SSA”不能確定三角形的性質，即不能畫出唯一的△ABC；④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9，“SSA”不能確定三角形的性質，即不能畫出唯一的△ABC；綜上所述，能畫出唯一的△ABC的有②，故答案為：②．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．題型題型十一三角形全等判定（SAS）【例11】如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AB＝AC，點E在AC上，且AE＝CD，連結BE．（1）求證：△ABE≌△CAD．（2）若∠D＝125°，∠ABE＝25°，求∠ACB的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得∠CAB＝∠DCA，進一步可證△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根據(jù)△ABE≌△CAD（SAS），可得∠AEB＝∠D＝125°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠EAB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠ACB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA，在△ABE和△CAD中，AB=∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠AEB＝∠D＝125°．∵∠AEB+∠ABE+∠EAB＝180°，∠ABE＝25°，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝30°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的內(nèi)角和，平行線的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．【變式111】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連結BD，CE．（1）求證：△ABD≌△ACE．（2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）由已知條件可求得∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可判定△ABD≌△ACE；（2）由題意可得∠ABC＝∠ACB，從而可求得∠ACE＝15°，結合（1）即可求得∠ABD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BCE﹣∠ABC＝15°，∴∠BCE﹣∠ACB＝15°，即∠ACE＝15°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝15°．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解答的關鍵是結合圖形求得∠BAD＝∠CAE．【變式112】如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）當AD＝AB＝4cm，則AE的長度為8cm．（3）猜想AE與BD的位置關系，并說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CBD≌△CAE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質解答即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質和垂直的定義解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD與△CAE中，BC=∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案為：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE與CD相交于點O，在△AOD與△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)SAS得出△CBD與△CAE全等解答．【變式113】如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三點共線，（1）證明：△ABD≌△ACE；（2）證明：∠3＝∠1+∠2．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）先證明∠BAD＝∠1，再由SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）由全等三角形的性質得∠ABD＝∠2，再由三角形的外角性質即可得出結論．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠1，在△ABD與△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2，∴∠3＝∠BAD+∠ABD＝∠1+∠2．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形的外角性質，熟練掌握三角形的外角性質，證明三角形全等是解題的關鍵．題型題型十二三角形全等判定（ASA）【例12】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E為AC邊上一點，連接BE與AD交于點F，G為△ABC外一點，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．（1）求證：△ABF≌△ACG；（2）求證：BE＝CG+EG．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可證明△ABF≌△ACG；（2）結合（1）的結論，再證明△AEF≌△AEG，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）證明：由（1）得△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是得到△AEF≌△AEG．【變式121】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F(xiàn)在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求證：AE+BF＝BC．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）由等腰三角形的性質和三角形內(nèi)角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分線定義得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性質即可得出答案；（2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，證出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，證明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出結論．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°；（2）證明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，∴AD＝CD，∵∠EDF＝108°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵CF+BF＝BC，∴AE+BF＝BC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【變式122】如圖，點B，C分別在射線AM，AN上，點E，F(xiàn)都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．（1）求證：△ABE≌△CAF；（2）試判斷EF，BE，CF之間的數(shù)量關系，并說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)已知和三角形外角性質求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根據(jù)ASA證兩三角形全等即可；（2）結合（1）△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，BE＝AF，進而根據(jù)線段的和差即可解決問題．【解答】（1）證明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，∠ABE∴△ABE≌△CAF（ASA）；（2）EF+CF＝BE，理由如下：∵△ABE≌△CAF，∴AE＝CF，BE＝AF，∵AE+EF＝AF，∴CF+EF＝BE．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，解本題的關鍵是得到△ABE≌△CAF．【變式123】如圖，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD與BE相交于點F．（1）求證：△ACD≌△FBD；（2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面積．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）由題意易得∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA，則有∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°，然后可得∠DBF＝∠DCA，進而問題可求證；（2）由（1）可得DA＝DF＝2，則有AB＝BD+DA＝7，然后根據(jù)三角形的面積公式可進行求解．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA，∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°，∴∠DBF＝∠DCA，在△ACD和△FBD中，∠DBF∴△ACD≌△FBD（ASA）；（2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2，∴DA＝DF＝2，∴AB＝BD+DA＝7，∵CD＝BD＝5，∴S△【點評】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．題型題型十三三角形全等判定（AAS）【例13】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．（1）求證：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長度．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）結合條件利用直角三角形的性質可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和證得全等；（2）由全等三角形的性質可求得CD＝BE，利用線段的和差可求得BE的長度．【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），在△ADC與△CEB中∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，則AD＝CE＝5cm，CD＝BE．∵CD＝CE﹣DE，∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即BE的長度是2cm．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．【變式131】如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求證：AB＝DC．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】利用全等三角形的判定定理AAS證得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的對應邊相等證得AB＝CD．【解答】證明：∵點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；在△ABF和△DCE中，∠A∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝CD（全等三角形的對應邊相等）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【變式132】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．【考點】三角形綜合題；全等三角形的判定與性質【分析】（1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，進而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，進而得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB，進而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）運用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關系是：DE＝BE﹣AD．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當MN旋轉到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質的綜合應用，解題時注意：全等三角形的對應邊相等，同角的余角相等，解決問題的關鍵是根據(jù)線段的和差關系進行推導，得出結論．【變式133】已知，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）如圖1，若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE＝CF；EF＝|BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關于∠α與∠BCA關系的條件，使（1）中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立；（3）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，若∠BCA＝∠α，則EF、BE、AF三條線段有何數(shù)量關系，并予以證明．【考點】三角形綜合題【分析】（1）根據(jù)△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF，故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．（2）證明和（1）類似，根據(jù)△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF，故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．（3）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答】解：（1）在圖1中，∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，在△BCE和△CAF中，∠BEC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，故答案為＝，＝．（2）在圖2中，添加的條件為∠α+∠BCA＝180°，∴∠CFA+∠BCA＝180°，∴∠CFA+∠BCE+∠ACF＝180°，∵∠CFA+∠ACF+∠CAF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，在△在△BCE和△CAF中，∠BEC∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．（3）EF＝BE+AF．理由是：如圖3中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．【點評】本題綜合考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，注意這類題目圖形發(fā)生變化，結論基本不變，證明方法完全類似，屬于中考?？碱}型．題型題型十四三角形全等判定綜合【例14】情景觀察：如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．①寫出圖1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是AF＝2CE，并寫出證明過程．問題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．求證：AE＝2CD．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】情境觀察：①由全等三角形的判定方法容易得出結果；②由全等三角形的性質即可得出結論；問題探究：延長AB、CD交于點G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應邊相等CD＝GD，即CG＝2CD，證出∠BAE＝∠BCG，由ASA證明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．【解答】解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是：AF＝2CE；故答案為：AF＝2CE．證明：線段AF與線段CE的數(shù)量關系是AF＝2CE，∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；問題探究：證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，∠ADC∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G+∠BCG＝90°，∵∠G+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，∠ABE∴△ABE≌△CBG中（ASA），∴AE＝CG＝2CD．故答案為：①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF＝2CE；【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．【變式141】已知：如圖，在△ABC中，E是BC中點，D是AB上一點，F(xiàn)是AC上一點，若∠DEF＝90°，且∠BAC＝90°，求證：BD2+FC2＝FD2．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】延長FE到G使GE＝FE，連接DG，BG證△BEG≌△CEF，推出BG＝FC，∠C＝∠EBG，求出∠BGD＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】證明：延長FE到G使GE＝FE，連接DG，BG，∵E為BC中點，∴BE＝CE，在△BEG和△CEF中，BE=∴△BEG≌△CEF（SAS），∴BG＝CF，∠EBG＝∠C，∴BG∥AC，∴∠GBD+∠BAC＝180°，∴∠GBD＝90°，∴BG2+BD2＝DG2，∵DE⊥EF，∴DG＝DF，∴BD2+FC2＝FD2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式142】將等邊三角形ABC與等邊三角形BDE按如圖所示的位置放置，連接AD，CE，交點為O，M，N分別是線段AD，CE的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：△ABD≌△CBE．（2）判斷△BMN的形狀，并說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質即可證明△ABD≌△CBE；（2）結合（1）證明△ABM≌△CBN，進而可以判斷△BMN的形狀．【解答】（1）證明：∵等邊三角形ABC，等邊三角形BDE，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC+∠DBC＝∠DBE+∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）解：△BMN是等邊三角形，理由如下：由（1）知：△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE，∵M，N分別是線段AD，CE的中點，∴AM=12AD，CN=∴AM＝CN，在△ABM和△CBN中，AB=∴△ABM≌△CBN（SAS），∴∠ABM＝∠CBN，BM＝BN，∴∠ABM+∠MBC＝∠CBN+∠MBC，∴∠ABC＝∠MBN＝60°，∴△BMN是等邊三角形．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定，解決本題的關鍵是證明△ABM≌△CBN．【變式143】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點．若∠EAF=12∠BAD．求證：【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【分析】延長CB到G，使BG＝DF，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質得到AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，證明△AEG≌△AEF，根據(jù)全等三角形的性質證明．【解答】證明：延長CB到G，使BG＝DF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，AB=∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，∵∠EAF∴2∠EAF＝∠BAD＝∠EAF+（∠FAD+∠BAE），即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，又∵∠GAB＝∠FAD，∴∠EAF＝∠GAB+∠BAE＝∠EAG，∴∠EAG＝∠EAF，在△AEG和△AEF中，AG=∴△AEG≌△AEF（SAS），∴GE＝EF，又∵BG＝DF，∴BE+DF＝BE+BG＝GE，即BE+DF＝EF．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．基礎鞏固通關測基礎鞏固通關測1．下列說法中，正確的有（）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等；③三角形的三條高交于一點，且這點在三角形內(nèi)；④過一點有且只有一條直線和已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】三角形的角平分線、中線和高；垂線；平行公理及推論；平行線的性質【分析】根據(jù)平行公理、平行線性質、三角形高線性質及垂直性質，逐一分析各說法是否正確即可．【解答】解：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，若點在直線上，則無法作平行線，故①錯誤；平行線被第三條直線所截，同位角相等，符合平行線性質，故②正確；三角形三條高所在直線交于一點，但鈍角三角形的高交點在三角形外部，故③錯誤；在平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條垂線，但若未限定同一平面，可能存在多條；故④錯誤；綜上，正確個數(shù)為1個，故選：A．【點評】本題考查平行公理，掌握平行線性質、三角形高線性質及垂直性質是解題的關鍵．2．下列長度的三條線段首尾順次連接能組成三角形的是（）A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11【考點】三角形三邊關系【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理，若兩較小邊之和大于較長邊即能組成三角形，逐項驗證即可．【解答】解：根據(jù)三角形三邊關系逐項分析判斷如下：A、∵2+2＞3，∴2，2，3能組成三角形．故此選項符合題意；B、∵2+3＝5，∴2，3，5不能組成三角形．故此選項不符合題意；C、∵3+4＝7，∴3，4，7不能組成三角形．故此選項不符合題意；D、∵4+5＜11，∴4，5，11不能組成三角形．故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查三角形三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．3．若a、b、c是三角形的三邊長，則化簡|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的結果為（）A．a(chǎn)+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c【考點】三角形三邊關系；絕對值【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關系得出a、b、c之間的大小關系，再根據(jù)絕對值的性質求值．【解答】解：由條件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．故選：A．【點評】本題考查了三角形的三邊關系以及絕對值的化簡．熟練掌握以上知識點是關鍵．4．如圖，若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm【考點】全等三角形的性質【分析】根據(jù)全等三角形的性質解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟知全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．5．如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝12，則S陰影＝3．【考點】三角形的面積【分析】