根式運(yùn)算習(xí)題及解析詳解根式運(yùn)算，作為代數(shù)領(lǐng)域的基石之一，貫穿于從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的多個(gè)階段。其運(yùn)算的熟練程度，直接影響著后續(xù)更復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用。不少初學(xué)者在面對(duì)根式時(shí)，常因?qū)Ω拍罾斫獠簧?、法則運(yùn)用不當(dāng)而感到困惑。本文旨在通過系統(tǒng)的習(xí)題演練與細(xì)致的解析，幫助讀者夯實(shí)根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，掌握運(yùn)算技巧，提升解題能力。我們將從最基本的化簡入手，逐步過渡到四則運(yùn)算及混合運(yùn)算，力求每一道題目的解析都能點(diǎn)透關(guān)鍵，舉一反三。一、根式運(yùn)算的核心要義回顧在著手習(xí)題之前，讓我們簡要回顧一下根式運(yùn)算的核心概念與基本法則，這是確保運(yùn)算準(zhǔn)確性的前提。1.二次根式的定義：形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。其中，a稱為被開方數(shù)，且被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。2.最簡二次根式：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式稱為最簡二次根式：*被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；*被開方數(shù)不含分母。3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。同類二次根式是進(jìn)行加減運(yùn)算的基礎(chǔ)。4.基本運(yùn)算法則：*乘法法則：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)*除法法則：√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)*加減法：先將各二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。5.分母有理化：在進(jìn)行根式除法或遇到分母含有根式的情況時(shí)，通常需要將分母中的根號(hào)去掉，這一過程稱為分母有理化。其關(guān)鍵在于找到分母的有理化因式。二、習(xí)題演練與深度解析（一）二次根式的化簡例1：化簡√12解析：化簡二次根式，關(guān)鍵在于將被開方數(shù)分解成一個(gè)平方數(shù)與另一個(gè)非平方數(shù)的乘積形式。對(duì)于√12，我們可以將12分解為4×3，其中4是2的平方，即√12=√(4×3)。根據(jù)二次根式的乘法法則√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)，可得√(4×3)=√4·√3=2√3。所以，√12化簡的結(jié)果為2√3。這里的核心是分解出能開得盡方的因數(shù)。例2：化簡√(a3b)(a>0,b≥0)解析：被開方數(shù)是字母的乘積形式，同樣遵循分解因數(shù)的思路。a3b可以寫成a2·a·b，其中a2是a的平方。因此，√(a3b)=√(a2·ab)=√a2·√(ab)。因?yàn)閍>0，所以√a2=a。綜上，√(a3b)化簡結(jié)果為a√(ab)。此例提醒我們，對(duì)于字母因式，要關(guān)注其指數(shù)，將偶次冪部分開方出來。（二）二次根式的乘除運(yùn)算例3：計(jì)算√6×√15解析：直接運(yùn)用二次根式的乘法法則√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)。則√6×√15=√(6×15)=√90。接下來，需要將√90進(jìn)一步化簡為最簡二次根式。90可分解為9×10，所以√90=√(9×10)=√9·√10=3√10。因此，√6×√15的結(jié)果是3√10。這里體現(xiàn)了“先乘后簡”或“先簡后乘”皆可，但通常先相乘再化簡可能更直接。例4：計(jì)算√28÷√7解析：依據(jù)二次根式的除法法則√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)。則√28÷√7=√(28/7)=√4=2。或者，我們也可以先將√28化簡為2√7，再進(jìn)行除法運(yùn)算：2√7÷√7=2。兩種方法異曲同工，后者有時(shí)在數(shù)字較大時(shí)更簡便，可避免較大數(shù)的開方。（三）二次根式的加減運(yùn)算例5：計(jì)算3√2+5√2-√2解析：此題為同類二次根式的加減。3√2、5√2和√2(可看作1√2)是同類二次根式，因?yàn)樗鼈兊谋婚_方數(shù)都是2。加減時(shí)，只需將系數(shù)相加減，被開方數(shù)保持不變。即(3+5-1)√2=7√2。這與合并同類項(xiàng)的思想一致，關(guān)鍵在于識(shí)別同類二次根式。例6：計(jì)算√18+√8-√32解析：題目中的各項(xiàng)并非最簡二次根式，因此不能直接進(jìn)行加減。首先需要將它們分別化簡：√18=√(9×2)=3√2；√8=√(4×2)=2√2；√32=√(16×2)=4√2。化簡后原式變?yōu)?√2+2√2-4√2。此時(shí)它們是同類二次根式，合并系數(shù)：(3+2-4)√2=1√2=√2。所以，計(jì)算結(jié)果為√2。此例強(qiáng)調(diào)了“先化簡，再合并”的原則。（四）混合運(yùn)算與分母有理化例7：計(jì)算(√3+√2)(√3-√2)解析：觀察到式子的形式符合平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。這里a=√3，b=√2。因此，原式=(√3)2-(√2)2=3-2=1。對(duì)于這類特殊結(jié)構(gòu)的式子，運(yùn)用乘法公式可以極大簡化運(yùn)算過程，避免繁瑣的逐項(xiàng)相乘。例8：化簡1/(√5-√3)解析：這是分母有理化的典型題目。分母為√5-√3，其有理化因式為√5+√3（互為有理化因式的兩個(gè)式子相乘，結(jié)果為有理式）。分子分母同時(shí)乘以√5+√3，得：[1×(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=(√5+√3)/[(√5)2-(√3)2]=(√5+√3)/(5-3)=(√5+√3)/2。分母有理化的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到分母的最簡有理化因式。例9：計(jì)算(2√3-√6)×√3解析：此題為乘法對(duì)加法的分配律在根式運(yùn)算中的應(yīng)用。即a(b-c)=ab-ac。原式=2√3×√3-√6×√3。分別計(jì)算兩項(xiàng)：2√3×√3=2×(√3×√3)=2×3=6；√6×√3=√(6×3)=√18=3√2。因此，原式=6-3√2。在混合運(yùn)算中，要注意運(yùn)算順序和運(yùn)算律的合理運(yùn)用。三、總結(jié)與提升通過以上習(xí)題的演練，我們可以清晰地看到，根式運(yùn)算并非孤立的技巧，而是對(duì)基本概念、法則以及運(yùn)算律的綜合運(yùn)用。要想熟練掌握，需注意以下幾點(diǎn)：1.化簡意識(shí)：時(shí)刻牢記將根式化為最簡形式，這是進(jìn)行加減運(yùn)算和簡化其他運(yùn)算的前提。2.法則熟練：準(zhǔn)確理解并記憶乘除法法則，以及同類二次根式的合并方法。3.運(yùn)算順序：遵循先乘方、開方，再乘除，最后加減的順序，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。4.技巧運(yùn)用：如乘法公式、分母有理化的方法等，能有效提高運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性。5.細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)：注意符號(hào)問題，以及被開方數(shù)的取值范圍（雖然在習(xí)題中常隱含非負(fù)條件，但概念上不能忽視）。根式運(yùn)算的熟練程度，需要通過適量的練習(xí)來鞏固。在練習(xí)過程中，遇到錯(cuò)題要認(rèn)真分析原因，是概念不清還是粗心大意，及時(shí)糾正，方能不斷進(jìn)步。希望本文的習(xí)題與解析能為讀者提供有益的參考，助力大家在