2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調查方法與抽樣方法選擇與評估綜合試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題4分，共20分）1.抽樣框2.抽樣誤差3.分層抽樣4.整群抽樣5.抽樣估計二、簡答題（每小題6分，共30分）1.簡述簡單隨機抽樣的特點及其適用條件。2.與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣通常有哪些優(yōu)勢？3.什么是抽樣方法的選擇？在進行抽樣方法選擇時，通常需要考慮哪些主要因素？4.簡述影響必要樣本量確定的主要因素。5.什么是非抽樣誤差？請列舉至少三種常見的非抽樣誤差類型。三、計算題（每小題10分，共20分）1.某城市共有100萬戶家庭，現(xiàn)欲采用整群抽樣方法調查該城市家庭的月均消費支出。將所有家庭按地理區(qū)域劃分為500個群，每群包含200戶。隨機抽取了10個群，對抽中群內的所有家庭進行調查。調查結果顯示，10個群的平均月均消費支出為8000元，群內方差（S2）的樣本平均值為50000元。試估計該城市所有家庭月均消費支出的總體均值及其抽樣標準誤（假設群間方差為零）。2.某公司想估計其產品在市場上的占有率。已知總體規(guī)模為N=10000，產品占有率p估計在0.1左右，要求抽樣估計的置信度為95%，抽樣誤差（絕對誤差）E≤0.03。若采用不重復簡單隨機抽樣，試計算所需的最小樣本量。若采用分層抽樣，將總體按地區(qū)分為三層，各層規(guī)模比例為N?:N?:N?=5:3:2，層內方差已知為S?2=0.04，S?2=0.06，S?2=0.02，試說明按比例分配和最優(yōu)分配哪種方式所需樣本量更?。克?、論述題（每小題15分，共30分）1.詳細論述影響抽樣方法選擇的主要因素，并舉例說明在不同情境下應如何選擇合適的抽樣方法。2.結合實際或想象中的研究案例，闡述如何評估一個抽樣方案的質量，包括對其有效性和可行性的分析，并提出改進建議。試卷答案一、名詞解釋1.抽樣框：指包含總體所有單元的名單或其它可接觸總體的列表。它是實施抽樣調查時直接抽取的對象載體。*解析思路：定義抽樣框的核心在于它是“總體單元的名單或列表”，并且是“直接抽取的對象載體”。強調其是抽樣的起點和基礎。2.抽樣誤差：指在遵守隨機原則的情況下，用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)時所產生的隨機誤差。它是由抽樣本身帶來的，不可避免，但可以控制和估計。*解析思路：定義抽樣誤差的關鍵在于強調“隨機性”、“樣本估計總體參數(shù)時產生”、“不可避免但可控制和估計”。區(qū)分抽樣誤差與登記誤差、系統(tǒng)誤差。3.分層抽樣：指將總體單元按某個或某些標志劃分為互不重疊的子總體（層），然后在各層內獨立、隨機地抽取樣本，并將各層樣本組合起來構成最終樣本的抽樣方法。*解析思路：定義分層抽樣的核心在于“分層”、“分層內隨機抽樣”、“組合樣本”。強調其基于總體的已知結構進行抽樣，目的是提高估計精度或實現(xiàn)特定目標。4.整群抽樣：指將總體單元按一定方式劃分為若干群，隨機抽取部分群，然后對抽中的群內所有單元或按一定方式抽取群內部分單元進行觀測的抽樣方法。*解析思路：定義整群抽樣的核心在于“分群”、“隨機抽群”、“抽中群內全抽或部分抽”。強調其是以群為單位進行抽選，樣本單元在空間上相對集中，成本可能較低，但通常誤差也較大。5.抽樣估計：指利用樣本信息（樣本統(tǒng)計量）來推斷總體參數(shù)（總體參數(shù)值）的統(tǒng)計推斷方法。主要包括點估計和區(qū)間估計。*解析思路：定義抽樣估計的核心在于“用樣本推斷總體”、“樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)”。點明其兩種主要形式：點估計和區(qū)間估計。二、簡答題1.簡述簡單隨機抽樣的特點及其適用條件。*特點：每個總體單元被抽中的概率相等；樣本中各單元相互獨立；操作簡單，是最基本、最純粹的隨機抽樣方法。*適用條件：總體單元數(shù)量不是極大，且分布相對均勻；總體內部差異不大；調查成本允許；能夠獲得完整的抽樣框。*解析思路：先回答其核心特點（等概率、獨立性、基本性、簡單性）。然后說明其適用的前提（總體規(guī)模適中、分布均勻、內部差異小、成本可接受、有完整抽樣框）。這些都是簡單隨機抽樣的優(yōu)勢和局限性體現(xiàn)。2.與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣通常有哪些優(yōu)勢？*優(yōu)勢：可以提高抽樣估計的精度（在同等樣本量下，分層抽樣的估計方差通常小于簡單隨機抽樣）；可以根據(jù)研究需要，確保特定子總體的代表性（如按地域、性別等分層）；便于對不同子總體進行獨立分析和比較。*解析思路：重點突出分層抽樣的兩大核心優(yōu)勢：一是“提高精度”（同等樣本量下更準），二是“確保代表性/便于分析”（針對特定子總體）。這是分層抽樣相比簡單隨機抽樣的主要優(yōu)越性。3.什么是抽樣方法的選擇？在進行抽樣方法選擇時，通常需要考慮哪些主要因素？*抽樣方法的選擇：指根據(jù)具體的調查目標、研究對象特征、總體分布情況、經費預算、時間限制、精度要求以及調查實施條件等因素，確定最適宜采用的抽樣組織方式的過程。*主要考慮因素：調查目標與精度要求；總體特征與分布；抽樣框的可獲得性與質量；經費預算；時間限制；抽樣方法的可操作性與實施難度；對特定子總體的分析需求。*解析思路：首先解釋什么是抽樣方法選擇。然后列出選擇時需要權衡的關鍵因素，涵蓋調查本身（目標、精度）、研究對象（特征、分布）、資源條件（經費、時間）、實施層面（操作難度）以及特定需求（特定子總體分析）。4.簡述影響必要樣本量確定的主要因素。*主要影響因素：總體規(guī)模（通常對樣本量的影響較小，尤其在N較大時）；總體方差或標準差（總體變異程度越大，所需樣本量越大）；抽樣誤差（允許的抽樣誤差范圍越小，所需樣本量越大）；置信水平（要求的置信度越高，所需樣本量越大）；抽樣方法（不同抽樣方法下所需樣本量不同，如整群抽樣通常比簡單隨機抽樣需要更多樣本）；無回答率估計（若預期無回答率較高，需適當增加初始樣本量）。*解析思路：列出計算或確定必要樣本量的核心變量。解釋每個因素的作用：總體規(guī)模影響相對較??；總體變異大、允許誤差小、置信度高都需要更多樣本；不同抽樣方法設計效應不同；無回答需要預留。5.什么是非抽樣誤差？請列舉至少三種常見的非抽樣誤差類型。*非抽樣誤差：指除抽樣誤差之外，在抽樣調查的各個環(huán)節(jié)（如抽樣框、抽樣過程、問卷設計、訪員執(zhí)行、被訪者回答等）中產生的所有誤差。*常見類型：抽樣框誤差（抽樣框不完整、含有重復單元、單元信息過時等）；無回答誤差（完全無回答、部分無回答，且無回答具有系統(tǒng)性偏差）；測量誤差（問卷設計不合理、訪員偏見、被訪者理解或回答錯誤等）；數(shù)據(jù)處理誤差。*解析思路：首先定義非抽樣誤差（與抽樣誤差相對）。然后列舉常見的幾種類型，并簡要說明其產生環(huán)節(jié)和性質（如抽樣框誤差源于名單問題，無回答誤差源于接觸或合作問題，測量誤差源于問卷或互動過程）。三、計算題1.某城市共有100萬戶家庭，現(xiàn)欲采用整群抽樣方法調查該城市家庭的月均消費支出。將所有家庭按地理區(qū)域劃分為500個群，每群包含200戶。隨機抽取了10個群，對抽中群內的所有家庭進行調查。調查結果顯示，10個群的平均月均消費支出為8000元，群內方差（S2）的樣本平均值為50000元。試估計該城市所有家庭月均消費支出的總體均值及其抽樣標準誤（假設群間方差為零）。*答案：*總體均值估計值：$\bar{y}=\bar{y}_{cl}=8000$元。*抽樣標準誤：$SE(\bar{y})=\sqrt{\frac{\sigma_{cl}^2}{r}+\frac{\sigma^2}{nr}}=\sqrt{\frac{0}{10}+\frac{50000}{10\times200}}=\sqrt{\frac{50000}{2000}}=\sqrt{25}=5$元。*解析思路：計算整群抽樣均值估計值，直接使用樣本群均值$\bar{y}_{cl}$。計算抽樣標準誤時，因為假設群間方差$\sigma_{cl}^2=0$，第一項消失。使用群內方差$S^2$的樣本平均值$\overline{S^2}$作為$\sigma^2$的估計。公式為$SE(\bar{y})=\sqrt{\frac{\overline{S^2}}{r}+\frac{\sigma^2}{nr}}$，代入數(shù)據(jù)計算。注意區(qū)分群內方差和群間方差，以及公式中$r$和$n$的含義。2.某公司想估計其產品在市場上的占有率。已知總體規(guī)模為N=10000，產品占有率p估計在0.1左右，要求抽樣估計的置信度為95%，抽樣誤差（絕對誤差）E≤0.03。若采用不重復簡單隨機抽樣，試計算所需的最小樣本量。若采用分層抽樣，將總體按地區(qū)分為三層，各層規(guī)模比例為N?:N?:N?=5:3:2，層內方差已知為S?2=0.04，S?2=0.06，S?2=0.02，試說明按比例分配和最優(yōu)分配哪種方式所需樣本量更小？*答案：*不重復簡單隨機抽樣最小樣本量：$n=\frac{Np(1-p)}{E^2N(\frac{N-1}{N})}=\frac{10000\times0.1\times0.9}{0.03^2\times10000\times(1-1/1000)}\approx\frac{900}{0.0009\times9.99}\approx\frac{900}{0.008991}\approx998\approx999$。取整數(shù)，需至少999個樣本。*按比例分配所需樣本量：$n_p=\frac{N_p}{N}n=\frac{5000}{10000}\times999=499.5\approx500$；$n_{p'}=\frac{N_{p'}}{N}n=\frac{3000}{10000}\times999=299.7\approx300$；$n_{p''}=\frac{N_{p''}}{N}n=\frac{2000}{10000}\times999=199.8\approx200$?？倶颖玖?n_p+n_{p'}+n_{p''}=500+300+200=1000$。*最優(yōu)分配所需樣本量：$n_{opt}=N\sum_{h=1}^H\frac{N_hS_h^2}{\sum_{h=1}^HN_hS_h^2}=10000\left(\frac{5000\times0.04}{5000\times0.04+3000\times0.06+2000\times0.02}+\frac{3000\times0.06}{...}+\frac{2000\times0.02}{...}\right)$。計算權重：$5000\times0.04=200$；$3000\times0.06=180$；$2000\times0.02=40$。權重和$200+180+40=420$。最優(yōu)分配樣本量$n_{opt}=10000\times\left(\frac{200}{420}+\frac{180}{420}+\frac{40}{420}\right)=10000\times\frac{420}{420}=1000$。*比較結果：按比例分配樣本量1000，最優(yōu)分配樣本量1000。在本例中，由于各層方差接近（0.04,0.06,0.02），按比例分配和最優(yōu)分配所需樣本量相同。若方差差異大，最優(yōu)分配通常能更小。*解析思路：第（1）問，使用不重復簡單隨機抽樣樣本量公式$n=\frac{Np(1-p)}{E^2N(1-f)}$，代入數(shù)據(jù)計算。注意區(qū)分重復抽樣和不重復抽樣公式，以及有效樣本量N(1-f)的考慮。第（2）問，先計算不重復簡單隨機抽樣的基礎樣本量。然后計算按比例分配樣本量，將基礎樣本量按各層比例分配。計算最優(yōu)分配樣本量，使用公式$n_{opt}=N\sum_{h=1}^H\frac{N_hS_h^2}{\sum_{h=1}^HN_hS_h^2}$，計算各層權重并求和，最后乘以總體規(guī)模N。比較按比例和最優(yōu)分配的結果。注意區(qū)分比例系數(shù)、層內方差和層權重。四、論述題1.詳細論述影響抽樣方法選擇的主要因素，并舉例說明在不同情境下應如何選擇合適的抽樣方法。*答案：*影響抽樣方法選擇的主要因素：*調查目標：目標是估計總體參數(shù)值還是比較不同子總體？需要特定子總體的代表性？*總體特征：總體規(guī)模大小、單元分布范圍、內部差異程度（變異性）、同質性。*抽樣框：抽樣框的可獲得性、完整性與準確性。*經費預算：不同抽樣方法的成本差異很大。*時間限制：調查周期長短會影響方法的復雜程度選擇。*精度要求：對抽樣誤差允許的大小。*抽樣方法的可操作性與實施難度：如地理區(qū)域限制對整群抽樣的影響。*不同情境下的選擇舉例：*情境一：全國性人口普查式調查，需要了解全國各省市的詳細情況，且地理分布廣泛。選擇：可能結合多階段抽樣。理由：總體巨大且地理分散，單一抽樣方法難以覆蓋，多階段抽樣靈活且成本可控，能分層和分區(qū)域。*情境二：調查某大學學生對某課程的評價，學生名單完整可用。選擇：可采用簡單隨機抽樣或分層抽樣（如按年級分層）。理由：總體規(guī)模適中，分布集中，抽樣框完整，簡單隨機易實施；若不同年級評價差異大，分層能提高精度。*情境三：評估某城市公交車晚點情況，公交車按線路編號，線路間差異大。選擇：可采用整群抽樣（按線路抽取部分線路，觀察線路內所有或部分車次）。理由：線路是自然聚類，整群抽樣成本較低；線路間差異大，需注意其可能導致的較大抽樣誤差。*情境四：抽樣調查某種價格昂貴的商品的用戶滿意度，用戶分布廣泛且價格敏感度高，抽樣框不完整。選擇：可能采用多階段抽樣，或在抽樣過程中考慮配額或輔助變量。理由：多階段可克服框不全問題；價格敏感性可能需要特殊抽樣設計（如PPS抽樣）來確保代表性。*解析思路：第一步，系統(tǒng)列出選擇抽樣方法時需要綜合考慮的關鍵維度（目標、總體、框、預算、時間、精度、操作）。第二步，針對每種因素可能導向的抽樣方法偏好進行簡要說明。第三步，通過設置幾個具體的、具有不同特點的假設情境（如全國普查、校園調查、城市交通、特定商品調查），分析在這些情境下，基于前面列出的因素，應該傾向于選擇哪種或哪幾種抽樣方法，并清晰闡述理由。要體現(xiàn)出選擇的權衡過程。2.結合實際或想象中的研究案例，闡述如何評估一個抽樣方案的質量，包括對其有效性和可行性的分析，并提出改進建議。*答案：*評估抽樣方案質量的維度：有效性和可行性。*評估有效性：*代表性評估：方案是否能確保樣本對總體的代表性？是否覆蓋了總體的所有重要子群？可通過分析抽樣框的覆蓋情況、樣本結構與總體結構（已知）的相似性來初步判斷。例如，調查某市居民收入，需檢查抽樣框是否遺漏低收入或特定區(qū)域居民，樣本年齡、性別結構是否與全市比例接近。*抽樣誤差評估：方案設計的抽樣方法是否會導致過大的抽樣誤差？可通過計算或估計該方案下的抽樣方差或設計效應（Deff）來判斷。比較不同方法或調整樣本量后對誤差的影響。例如，采用整群抽樣相比簡單隨機抽樣，預期誤差會增大（Deff>1），方案設計時是否已考慮通過增加樣本量或優(yōu)化群劃分來控制？*目標達成性評估：方案是否能夠有效支持研究目標？例如，若目標是精確估計總體均值，但方案選擇了成本極高且誤差未必縮小的復雜分層方法，則需評估其性價比。*評估可行性：*操作可行性：方案在實際執(zhí)行中是否可行？包括抽樣框獲取難易、抽樣過程是否清晰可執(zhí)行、訪員能否按要求操作等。例如，設計一個需要深入偏遠地區(qū)的抽樣方案，若預算和時間有限，則可行性低。*資源可行性：方案所需的人力、物力、財力資源是否在預算和時間限制內？例如，一個需要大規(guī)模入戶訪談的方案，成本遠超預算則不可行。*時間可行性：方案能否在規(guī)定時間內完成所有環(huán)節(jié)（抽樣、數(shù)據(jù)收集、分析）？例如，一個需要數(shù)月時間進行多階段抽樣的方案，若只有兩周時間則不可行。*提出改進建議（以假設案例為例）：*案例：某公司想了解其新產品在特定城市（人口500萬）的潛在市場接受度