第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年北京大學(xué)附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長度的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.6，8，102.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.3.在平行四邊形ABCD中，∠A=2∠B，則∠C的度數(shù)是（）A.60° B.90° C.120° D.135°4.下列各式中，運算正確的是（）A.=-2 B.+= C.×=4 D.2-5.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4，則矩形對角線的長等于（）

A.6 B.8 C. D.6.下列命題正確的是（）A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有兩個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形7.下列函數(shù)的圖象是由正比例函數(shù)y=2x的圖象向左平移1個單位長度得到的是（）A.y=2x+1 B.y=2x+2 C.y=2x-1 D.y=2x-28.我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，邊長為2的菱形ABCD的形狀可以發(fā)生改變，在這個變化過程中，設(shè)菱形ABCD的面積為y,AC的長度為x,則下列圖象中，可以表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B.

C. D.二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

．10.如圖，AB=AC，BD⊥x軸于D，且BD=1，則數(shù)軸上點C所表示的數(shù)為______．

11.若點A（-1，y1）和點B（2，y2）在一次函數(shù)y=-3x+b的圖象上，則y1______y2（用“＞”、“＜”或“=”連接）.12.已知菱形兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個菱形一邊上的高為______cm.13.如圖，在Rt△ABC中，AB=12，AC=5，∠BAC=90°，D、E分別為AB、AC的中點，P為DE上一點，且滿足∠EAP=∠ABP，則PE=______.14.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”.如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，連接CE.若正方形ABCD的面積為5，EF=BG，則CE的長為______.

15.將一張矩形紙片ABCD如圖所示折疊，使頂點C落在C′點，已知AB=2，∠DEC′=30°，則折痕DE的長為______．

16.如圖，直線y=kx+b分別交x軸、y軸于點A、C，直線y=mx+n分別交x軸、y軸于點B、D，直線AC與直線BD相交于點M（-1，2），則不等式kx+b≤mx+n的解集為______．

三、解答題：本題共8小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題5分)

計算：.18.(本小題4分)

已知，求代數(shù)式的值.19.(本小題10分)

在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，3），B（-2，0）.

（1）畫出該一次函數(shù)的圖象，并求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)0＜y＜2時，x的取值范圍是______；

（3）如果點C（2，0），那么△ABC的面積是______.20.(本小題9分)

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.

求作：以AC為對角線的矩形ADCE.

作法：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M，N；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點P，作射線AP與BC交于點D；

②以點A為圓心，CD的長為半徑畫?。辉僖渣cC為圓心，AD的長為半徑畫弧，兩弧在AC的右側(cè)交于點E；

③連接AE，CE.

四邊形ADCE為所求的矩形.

（1）根據(jù)以上作法，使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成以下證明.

證明：∵AE=CD，CE=AD，

∴四邊形ADCE為平行四邊形（______）.（填推理的依據(jù)）

由作圖可知，

AD平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC（______）.（填推理的依據(jù)）

∴∠ADC=90°.

∴平行四邊形ADCE是矩形（______）.（填推理的依據(jù)）21.(本小題10分)

某校舞蹈隊共有12名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm），數(shù)據(jù)整理如下：

a.12名學(xué)生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，

b.12名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.3mn（1）寫出表中m,n的值；

（2）現(xiàn)將12名學(xué)生分成如下甲乙兩組.對于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好.據(jù)此推斷：在下列兩組學(xué)生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是______（填“甲組”或“乙組”）；甲組學(xué)生的身高165167167168168171乙組學(xué)生的身高160164164166167169（3）該舞蹈隊要選六名學(xué)生參加藝術(shù)節(jié)比賽，已經(jīng)確定甲組四名參賽的學(xué)生的身高分別為165，167，168，168.在乙組選擇另外兩名參賽學(xué)生時，要求所選的兩名學(xué)生與已確定的四名學(xué)生所組成的參賽隊身高的方差最小，則乙組選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為______和______.22.(本小題10分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于點O，O為AC中點.（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）延長AB到點E，使得BE=AB，連接CE.若AC=8，BC=5，求CE的長.23.(本小題10分)

在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過點（1，3），與x軸交于點B.

（1）求這個一次函數(shù)的表達式及點B的坐標；

（2）當(dāng)x＜-2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=-x+m的值大于一次函數(shù)y=x+b的值，直接寫出m的取值范圍.24.(本小題10分)

在正方形ABCD中，點E在邊CD上，點F在邊AD上，CE=DF，連接BE，CF.

（1）求證：BE⊥CF；

（2）在邊AB上取點M，使得AM=AF，過點M作MN∥BE交CF于點N，連接AN.用等式表示線段AN，F(xiàn)N，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】x≥-3

10.【答案】-1

11.【答案】＞

12.【答案】

13.【答案】0.5

14.【答案】

15.【答案】4

16.【答案】x≤-1

17.【答案】解：原式=3-2+2-

=3-2+2-2

=．

18.【答案】解：∵a=，

∴

=a+

=a+|1-a|

=a+a-1

=2a-1

=2-1．

19.【答案】y=x+2；

-2＜x＜0；

6．

20.【答案】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

三線合一

有一個角是90°的平行四邊形是矩形

21.【答案】167，167；

甲組；

166、167

22.【答案】（1）證明：∵AB∥DC，

∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，

∵O為AC中點，

∴OA=OC，

在△ABO和△CDO中，

，

∴△ABO≌△CDO（AAS），

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC⊥BD

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC=AC=×8=4，OB=OD=BD，AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD，

在Rt△BCO中，

OB===3，

∴BD=2OB=6，

∵BE=AB，

∴CD=BE，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CE=BD=6，

即CE的長為6．

23.【答案】解：（1）∵一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過點（1，3），

∴1+b=3，

∴b=2，

∴這個一次函數(shù)的表達式為y=x+2；

令y=x+2=0，

得x=-2，

∴點B的坐標為（-2，0）；

（2）將（-2，0）代入y=-x+m,

得：-（-2）+m=0，解得m=-2，

∴直線y=-x-2與直線y=x+2交于點（-2，0），

∵當(dāng)m的值變大時，y=-x+m的圖象向上平移，函數(shù)y=-x+m的值變大，

∴m的取值范圍為m≥-2．

24.【答案】設(shè)BE與CF的交點為H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠D=90°，

在△BCE與△CDF中，

，

∴△BCE≌△CDF（SAS），

∴∠CBE=∠DCF，∠BEC=∠CFD，

∵∠CBE+∠BEC=90°，

∴∠DCF+∠CEB=90°，

∵∠ECH+∠CEH+∠EHC=180°，

∴∠CHE=90°，

∴BE⊥CF；

，理由如下：

延長NM到點Q，使MQ=FN，連接AQ，如圖，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠C