2019年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

第1卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（5分）已知集合AXXYVI）,B=｛y|y=|x|｝,則APB二（）

A.0B.（0,1）C.[0,1）D.[0,1]

2.（5分）設(shè)隨機(jī)變量自?N（3,a2）,若P（&>4）=0,2,則P（3V&W4）=（）

A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2

3.（5分）3知復(fù)分z二一1（i為虛數(shù)單位），則，J（）

A1R1C-1'V3iD-1+V5i

A.\D.-1U.-----------------D.---------------

22

22

4.（5分）過雙曲線工k-二■=1（a>0,b>0）的一個焦點(diǎn)F作兩漸近線的垂線，垂足分別

ab

為P、Q,若NPFQ=2n,則雙曲線的漸近線方程為（）

3

A.y二±返xB.y=±V3xc.y=±xD.y二士返x

32

5.（5分）將半徑為1的圓分割成面積之比為1:2:3的三個扇形作為三個圓錐的側(cè)面，設(shè)

這三個圓錐底面半徑依次為門，r2,r3,那么c+rz+n的值為（）

A.2B.2C.V3D.1

6.（5分）如圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（5分）等差數(shù)列｛玉｝中，a3=7,a5=11,若b.=~J—,則數(shù)列｛bj的前8項(xiàng)和為（）

%一1

A.ciDl

102，0

8.(5分)已知(x-3)=a0+ai(x+1)+a2(x+1)+-*-+aio(x+1),則a&二()

A.45B.180C.-180D.720

9.（5分）如圖為三棱維S-ABC的三視圖，其表面積為（）

A.16B.8A/6+6V2C.16>/6D.16+6A/6

22

10.(5分)已知橢圓E：*?，-1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-3,0),P為橢圓上一動點(diǎn)，

”b2

橢圓內(nèi)部點(diǎn)M(-1,3)滿足PF+PM的最大值為17,則桶圓的離心率為()

A.1B.返C.工D.也

2233

ln(x+l)(x>0)

11.(5分)已知f(x)=,若函數(shù)尸f(x)-kx恒有一個零點(diǎn)，則k

ex-1(x<0)

的取值范圍為()

A.kWOB.kWO或k21C.kWO或kNeD.kWO或k2工

e

12.(5分)已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a0=-2n+p,數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式為b52n二設(shè).二

aan>bn

,j,若在數(shù)列｛cj中C6〈Cn(n￡N*,n=#6),則p的取值范圍()

lbnan<bn

A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)

二、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在

答題紙的指定位置上)

13.已知集合用={x//+2x=0,xeR},N={x/x2-2x<0,xeR],

則MnN=▲.

14.已知復(fù)數(shù)z滿足*=i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為▲.

15.某校共有400名學(xué)生參加了?次數(shù)學(xué)競賽，競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示.成績

分組為[50,60),[60,70),[90,100),則在本次競賽中，得分不低于80分的人數(shù)

為▲.

16.在標(biāo)號為0,1,2,4的四張卡片中隨機(jī)抽取兩張卡片，則這兩張卡片上的標(biāo)號之和為

奇數(shù)的概率是▲.

17.運(yùn)行如圖所示的流程圖，則輸出的結(jié)果5是▲.

19.已知y=/(x)是R上的奇函數(shù)，月”>()時，/(x)=l,則不等式勸vf(0)的

解集為▲.

20.在直角坐標(biāo)系工。》中，雙曲線/一號=1的左準(zhǔn)線為/,則以/為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程是▲.

21.四面體中，平面4c￡),C/)J■平面A3C,且八8=4C=CD=lcm,貝!四面

體ABCD的外接球的我面積為▲cm2.

22.已知0vy<x<7t,且tanxtany=2sinxsinN=；,則x-y=A

23.在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，若直線/：x+2)，=0與圓C：*-d+(y-4=5相切,

且圓心C在直線/的上方，貝h力的最大值為▲

秒，廣告時間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播映時間為1分鐘，廣告時間為1分鐘，

收視觀眾為20萬.廣告公司規(guī)定每周至少有3.5分鐘廣告，而電視臺每周只能為該欄目宣

傳片提供不多于16分鐘的節(jié)目時間.電視臺每周應(yīng)播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收

視觀眾最多？

29.（本小題滿分14分）

如圖組合體中，三棱柱AAC-A4G的側(cè)面是圓柱

的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個點(diǎn)

（I）求證：無論點(diǎn)C如何運(yùn)動，平面平面AAC；

（II）當(dāng)點(diǎn)。是弧A4的中點(diǎn)時，求四棱錐4-3CG。與圓柱的體積比

30.（本小題滿分14分）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子

彈.根據(jù)以往資料知,甲擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.6,0.3,0.1,乙擊中8環(huán),

9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.4,0.4,0.2.

設(shè)甲、乙的射擊相互獨(dú)立.

（I）求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；

（II）求在獨(dú)立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率.

31.(本小題滿分14分)

拋物線丁=2*的準(zhǔn)線的方程為x=-2,該拋物線上的每個點(diǎn)到準(zhǔn)線x=-2的距離都與到

定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線4:y=x和：)'二一工相切攸圓.

(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；(2)是否存在一條直線/同時滿足下列條件：

①/分別與直線4和(交于4、8兩點(diǎn)，且48中點(diǎn)為￡(4,1)；

②/被圓N截得的弦長為2.

32.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=e'-kx,x￡R

(I)若％=。，試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(1【)若&>0,且對于任意xtR,/(兇)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)&的取值范圍；

H

(III)設(shè)函數(shù)尸(幻=/(大)+/(-幻，求證：尸⑴尸(2)??](〃)>(e"+i+2"(〃wN?)

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（5分）已知集合A二{x|x?V1},B={y|y=|x|},則AUB二（）

A.0B.（0,1）C.[0,1）D.[0,1]

【解答】解：A={x|x2<1}={x|-1<x<1},B={y|y=|x>0）,

貝”APB=[0,1）,

故選：C.

2.(5分)設(shè)隨機(jī)變量自?N(3,a2),若P(&>4)=0,2,則P(3V&W4)=()

A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2

【解答】解：???隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,a2),

Au=3,得對稱軸是x=3.

VP(&>4)=0.2

AP(3<MW4)=0.5-02=0.3.

故選：C

3.（5分）3知復(fù)數(shù)z二二13三（i為虛數(shù)單位）,則z3=（)

2

A.1B.-1C,「MiD,一1+俗

22

【解答】解：復(fù)數(shù)z二叩^1,

可得^二一;"+isin”

-哼S33

則Z3=COS4n+isin4n=1.

故選：A.

22

4.（5分）過雙曲線J-三二1（a>0,b>0）的一個焦點(diǎn)F作兩漸近線的垂線，垂足分別

a2b2

為P、Q,若NPFQ=2n,則雙曲線的漸近線方程為（）

3

A.y=±^^xB.y=±V3xC.y=±xD.y=±^x

3

【解答】解：如圖若NPFQ/n,

3

則由對稱性得NQFO二三，

3

則ZQ0x=—,

3

即0Q的斜率k=—=tan—=V3，

b3

則雙曲線漸近線的方程為y=±V3x,

5.（5分）將半徑為1的圓分割成面積之比為1：2：3的三個扇形作為三個圓錐的側(cè)面，設(shè)

這三個圓錐底面半徑依次為門，r2,r3,那么c+n+n的值為（）

A.2B.2C.V3D.1

【解答】解：???2nrF^X2九，，門《，同理r、二二，

662332

/.ri+r2+r3=1,

故選：D.

6.（5分）如圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：第一次循環(huán)，sin-—>sinO,即1>0成立，a=1,T=1,k=2,kV6成立,

第二次循環(huán)，inn>sin—,即0>1不成立，a=0,T=1,k=3,kV6成立，

S2

第三次循環(huán)，sin^2L>sinn,即-1>0不成立，a=0,T=1,k=4,kV6成立，

2

第四次循環(huán)，sin2n>sin^2L,即0>-1成立，a=1,T=1+1=2,k=5,kV6成立，

2

第五次循環(huán)，sin且L>sin2n,即1>0成立，a=1,T=2+1=3,k=6,kV6不成立，輸出

2

T=3,

故選：B

7.（5分）等差數(shù)列（aj中，a=7,a=11,若b0=~J—,則數(shù)列版｝的前8項(xiàng)和為（

35)

%一1

A.二B.2C.1D.2

32989

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,a3=7,a5=11,

a3=a1+2d=7

??49

a5=a1+4d=ll

解得a產(chǎn)3,d=2,

=

an3+2(n-1)=2n+1,

.,__1,1/1-1

?A-4n(n+1)-4:

故選B.

8.(5分)已知(x-3)"-ao+a)(x+1)+a?(x+1)?+…+a[。(x+1)‘°,則a&二()

A.45B.180C.-180D.720

【解答】解：(x-3)，0=[(x+1)-4]10,

2

???a8=cf0(-4)=720，

故選：D.

9.（5分）如圖為三棱錐S-ABC的三視圖，其表面積為（）

A.16B.8V6+6A/2C.16A/6D.16+6A/6

【解答】解：由三視圖可知該三棱錐為邊長為2,4,4的長方體切去四個小棱錐得到的幾何

體.

三棱錐的三條邊長分別為2娓，2泥，472,

工表面積為4X,X4^xJ（2依）2一（4歷）2:16代.

乙

22

10.（5分）已知橢圓E：--y^y,-1（a>b>0）的左焦點(diǎn)F（-3,0）,P為橢圓上一動點(diǎn),

/b2

橢圓內(nèi)部點(diǎn)M（-1,3）滿足PF+PM的最大值為17,則神圓的離心率為（）

A.工B.返C.

—1口U.-再---

2233

【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)為Q,

由F(-3,0),可得Q(3,0),

由橢圓的定義可得|PF|+|PQ|=2a,

gp|PF|=2a-|PQ|,

則|PM|+|PF|二2a+(|PM|-|PQ|)W2a+|MQ|,

當(dāng)P,M,Q共線時，取得等號，即最大值2a+|MQ|,

由|MQ|二｛(一]—3)2+32=5,可得2a+5=17,

所以a二6,

則e=—=—=—

a62

故選：A.

ln(x+l)(x)0)

11.(5分)已知千(x)二,若函數(shù)產(chǎn)f(x)-kx恒有一個零點(diǎn)，則k

ex-l(x<0)

的取值范圍為()

A.kWOB.kWO或k21C.kWO或keeD.kWO或kN工

e

【解答】解：由尸f(x)-kx=0得千(x)=kx,

作出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象如圖，

由圖象一如當(dāng)kVO時，的數(shù)f(x)和y二kx恒有一個交點(diǎn)，

當(dāng)x20時，函數(shù)f(x)=ln(x+1)的導(dǎo)數(shù)f'(x)則f'(0)=1,

x+1

當(dāng)xVO時,函數(shù)f(x)=e*-1的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex,則f'(0)=e°=1,

即當(dāng)k=1時，y=x是函數(shù)f(x)的切線，

則當(dāng)0VkV1時，函數(shù)f(x)和y=kx有3個交點(diǎn)，不滿足條件.

當(dāng)k21時，函數(shù)千(x)和y=kx有1個交點(diǎn)，滿足條件.

綜上k的取值范圍為kWO或kN1,

故選：B.

12.(5分)已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a?F-2n+p,數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式為b.二設(shè)/二

anan>bn

若在數(shù)列(cj中C6〈Cn(n￡N*,n=#6),則p的取值范圍()

bnan<bn

A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)

【解答】解：??2-8=-2n+p-2…，

???an-bn隨著n變大而變小，

又??““二-2n+p隨著n變大而變小，

4隨著n變大而變大，

&5>b5

=12<p<22,

b［〉a

7

aab6a

_6=>16<p<20

(1)當(dāng)c6=a6=12+p,

a6Vb7

%6〉合6

(2)當(dāng)=be=4,=>14<p<16,

be，%

綜上p￡(14,20),

故選D.

二、填空題答案

13.{0}14.315.12016.；_1_

17.

2

18.-519.(0,I)2O.)2=2x21.3n22-T

25

23.

8

解；因?yàn)橹本€/：k+2y—0與圓C；(“—a)：十(y—〃)2=5相切,所以廿的

乂因?yàn)閳A心。在直線/的上方，所以。+2/?>0,所以。+2〃=55=4+2〃之2石石,

9

所以油的最大值為曾.

O

24.6

解：利用元在族上的投影得，ACAE=-AE2=6.

2

25.(-8,0)U[4,6]

解：①avO

x

xWO時,f(x)=ae-\<Ot所以/(%)在(-oo,0)單調(diào)遞減,且/(0)=。<0,所以/(%)在

(一8,0)有一個小于0的零點(diǎn).

x>0時，f(x)在(0,+<?)單調(diào)遞增，因?yàn)?⑴=1,所以在(0,+oo)有一個小于1的零點(diǎn).

因此滿足條件.

②〃>0

(1)0<〃Wl時，/'(X)在(70,0)單調(diào)遞減，/(0)=4>0,所以/(外在上沒有零

點(diǎn).又因?yàn)椤?/-4〃<0,故/(x)在(0,+o))上也沒有零點(diǎn).因此不滿足題意.

(2)1v〃v4時，/(文)在上單調(diào)遞減，在(in上單調(diào)遞增，

/fln-l=l+ln?>0,所以f(x)在(―8,0]上沒有零點(diǎn).又因?yàn)椤?/一4a<0,故/(x)在

(0,內(nèi))上也沒有零點(diǎn).因此不滿足題意.

(3)。=4時，/")=羋"*W0,/")在(一3,()]上沒有零點(diǎn)，零點(diǎn)只有2,滿足

jr-4x+4,x>0

條件.

(4)。>4時，/(文)在(-8,0]上沒有零點(diǎn)，在(0,+oo)上有兩個不相等的零點(diǎn)，且和為。，

故滿足題意的范圍是4<aW6.

綜上所述，a的取值范圍為(-8,0)U[4,6].

7

26.aW#或

J

解：因?yàn)?+〃2"二比對任意。、〃都成立，

2

所以，(x+2sin/7cosO)2+(x+asin火acosO)?2(2sin/7cos)asin/T-acosO)?,

(2sin<9cos+asinaacos。)?？；，

3+2sin^cos^+—3+2sin^cos^--

即對任意作|0,與，都有一———1?或一-7——了工

乙sin6/+cos6/小sin夕+cos。'

3+2sin^cos￡7+—、]

因?yàn)?---------------=sin0+cos。+-------------

sin。+cos。2sin8+cos。

當(dāng)ee[0,與時，14sin-+cos"血,

所以。22同理a<\[6.

2，

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是位址或

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

27.（本小題滿分12分）

在AABC中，角A、B、C所對邊分別為a,b,c,已知tanA=',tan8=1，且最長邊的邊

23

長為I.

求：（1）角C的大?。?/p>

解：（1）tanC=tan[n—（A+B）].......2分

=—tan（A+B）

——1T—1

tanA+tanA?3,.八

=-------=--JI=T........4分

1-tanAtanB.1J

23

???OvCv乃，：.C=—……6分

4

（2）z^ABC最短邊的長.

W：*/O<tanB<tanA,:.A、B均為銳角,則B<A,

又C為鈍角，團(tuán)最短邊為b,最長邊長為c……8分

由tan5=L解得sinB="^

310

由‘一二」一,……10分

sinBsinC

.,cs\nB

..b-----12分

sinC

28.（本小題滿分12分）

（本題為線性規(guī)劃問題，重點(diǎn)考察學(xué)生的審題能力和解決生活中實(shí)際問題的能力）

央視為改版后的《非常6+1》欄目播放兩套宣傳片.其中宣傳片甲播映時間為3分30

秒，廣告時間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播映時間為1分鐘，廣告時間為1分鐘，

收視觀眾為20萬.廣告公司規(guī)定每周至少有3.5分鐘廣告，而電視臺每周只能為該欄目宣

傳片提供不多于16分鐘的節(jié)目時間.電視臺每周應(yīng)播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收

視觀眾最多？

解：設(shè)電視臺每周應(yīng)播映片甲x次，片乙y次總收視觀眾為z萬人.

則有如下條件：

4x+2＞工】6

?0.5x+yN3.5

目標(biāo)函數(shù)z=60x+2?！?.....6分

作出滿足條件的區(qū)域:如下圖

d■—9一―-A,?-A-、?、一、

o\?23y???、???

由圖解法可得:當(dāng)x=3,片2時,Zm0x=220.……10分

答：電視臺每周應(yīng)播映甲種片集3次，乙種片集2次才能使得收視觀眾最多.

12分

29.(本小題滿分14分)

如圖組合體中，三棱柱A4C-A4G的側(cè)面444A是圓柱

的軸截面，。是圓柱底面圓周上不與A、8重合一個點(diǎn).

(I)求證：無論點(diǎn)C如何運(yùn)動，平面A8C_L平面AAC；

證明：因?yàn)閭?cè)面A是圓柱的的軸截面，

是圓柱底面圓周上不與A、6重合一個點(diǎn)，所以AC_L3C

2分

又圓柱母線4A，平面ABC,

BCu平面A8C,所以A41BC,

又AACAC=A,所以8C_L平面A|AC,

因?yàn)锽Cu平面A8C,

故平面A3C_L平面AAC；6分

(II)當(dāng)點(diǎn)。是弧A8的中點(diǎn)時，求四棱錐A-8CCg與圓柱的體積比。

解:設(shè)圓柱的底面半徑為母線長度為/?,

當(dāng)點(diǎn)。是弧AB的中點(diǎn)時，三角形A8C的面積為，，

三棱柱ABC-A^C.的體積為嚴(yán)〃，

三棱錐A—ABC的體積為弓,肌

12

四棱錐A-BCC1用的體積為r-h--rh=-rh,

..........10分

圓柱的體積為萬產(chǎn)力，....................12分

四棱錐a-8CCM與圓柱的體積比為2:34.............14分

30.(本小題滿分14分)

甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈.根據(jù)以往資料知,

甲擊中8環(huán)，9環(huán)，1()環(huán)的概率分別為().6,0.3,0.1,乙擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分

別為0.4,0.4,0.2.

設(shè)甲、乙的射擊相互獨(dú)立.

(I)求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；

解：記4,4分別表示甲擊中9環(huán)，10環(huán)，

華分別表示乙擊中8環(huán)，9環(huán)，

A表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，

8表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，

G，分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù).

(I)A=A0用+&?+&o生，............2分

OB+AOB+AOB)=P(A。與)+。用)+

P(A)=p(%12122p(&P(A2OB2)

p(4)XP(q)+P(A2)XP(B,)+P(A)XP(B2)

=().3X0.4+O.1X0.4+O.1X0.4=().2.......................7分

ID求在獨(dú)立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率.

解：B=C1+C2,......................8分

Pg)=C;[P(A)]2[1-P(A)]=3XO.22x(l-0.2)=0.096,10分

P(C2)=[P(A)F=0.23=0008,12分

P（B）=P（C,+C2）=P（C］）+P（C2）=0.096+0.008=0.104.…14分

31.（本小題滿分14分）

拋物線），2=2p.r的準(zhǔn)線的方程為工=-2,該拋物線上的每個點(diǎn)到準(zhǔn)線工=-2的

距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心.同時與直線4：），=X和—X

相切的圓.

（1）求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

解：（1）因?yàn)閽佄锞€），=2px的準(zhǔn)線的方程為x=—2

所以〃=4,根據(jù)拋物線的定義可知：

點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，

所以定點(diǎn)/V的坐標(biāo)為（2,0）...........6分

（2）是否存在一條直線/同時滿足卜.列條件：

①/分別與直線乙和（交于48兩點(diǎn)，且陽中點(diǎn)為￡（4,1）；

②/被圓/V截得的弦長為2.

解:假設(shè)存在直線/滿足兩個條件，顯然/斜率存在,

設(shè)/的方程為y—l=Z(x—4),(4w±1)

以A/為圓心，同時與直線4：y=和4：y=-工相切的圓N的

半徑為行，

因?yàn)?被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,

即d二jl,

4

解得左二0或一，

3

當(dāng)女=0時，顯然不合A8中點(diǎn)為七(4,1)的條件，矛盾！

4

當(dāng)女=§時，/的方程為4x-3y-13=O

14/-3)，-13=0

田,，

Iy=x

解得點(diǎn)A坐標(biāo)為(13,13),

由產(chǎn)一3),一13=0,解得點(diǎn)8坐標(biāo)為「竺］,

y=-x(77)

顯然4B中點(diǎn)不是E(4,l),矛盾！

所以不存在滿足條件的直線/.