2023-2024年重慶八年級上數(shù)學期末復習分類匯編:

幾何綜合比值、角度、中點

一、比值問題

1.在等邊中，〃為上一點，少為“4上一點，過〃作8/〃AC,連接瓦DF,且N￡F7)=60。.

(2)如圖2,若〃為8延長線上一點，試探究8。、BE、8F的關系，并說明理由.

⑶如圖3,若〃為AC延長線上一點，￡為胡延長線上一點，AE-.BF-.AC=2:3:5,請直接寫出8:8。的

比值.

【答案】(1)1

(2)BF=BD+BE

⑶8:30=1:2

【分析】(1)延長D3至點〃，使眄=跖，易得.BHF為等邊三色形,證明〃紂在得到W7=8E,

利用DH-BH求出3。的長即可.

(2)延長BD至點M,使BM=BF,易得一BMF為等邊三角形,證明一廠/加金在得到MO=B￡,根

據(jù)=即可得到5戶=/?。+4￡;：

(3)在6。上截取6M=8尸，易得二3M廣為等邊三角形，證明_DW產(chǎn)金二E8尸，得到設

AE=2k,BF=3k,AC=5k,求出BD,CD,即可得解.

【詳解】(1)解：延長。8至點〃，使BH=BF,

'E

HBDC

???三角形ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZC=60°,

BF〃AC,

，4FBH=9。,

????麗是等邊三角形，

AZ/7=ZBFH=60°,HF=BF、

■:2EFD=60。,

???/EFB=ZDFH=60°+Z.BFD,

???Z/75F=ZABC=60°,

:.乙EBF=4H=3,

???DHF^EBF(ASA),

/.DH=BE=5,

■:BH=BF=4,

:.BD=DH-BH=5-4=1；

(2)解：BF=BD+BE；理由如下:

延長3。至點M,使BM=BF,

???三角形ABC是等邊三角形,

:.ZABC=ZC=60°,

???BF//AC,

???ZFBM=60°,

???是等邊三角形，

A=ZBFM=(/)°,MF=BF,

???ZEFD=60°，

:.4EFB=/DFM="。一/BFD,

VZMBF=ZABC=60°,

???ZEBF=ZM=60°,

DMF金EBF(ASA),

:.MD=BE,

?/BM=BD+DM,

:.BF=BD+BE；

(3)解：在4。上截取4M=8尸,

???三角形43c是等邊三角形，

:、ZA3C=4C4=60。，

BF//AC,

:.ZraM=60°,

??.../由M是等邊三角形，

:.乙BMF=4BFM=位，MF=BF

???ZEFD=60°,

???AEFB=ZDFM=600-ZEFM,

,?ZA/^F=ZABC=60°,

???/EBF=/BMF=6O。,

：,.DMF^AEBF(ASA),

???MD=BE,

'：A七:6"：AC=2:3:5,

設AE=2k,8F=3Z,4c=51，

AAB=BC=AC=5k,MD=BE=AB+AE=7k,BM=BF=3k,

/.BD=BM+MD=\Ok,CD=BD-BC=5k,

：.CD:BD=\:2.

【點睛】本題考杳全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質.通過添加輔助線，證明三角形全

等，是解題的關鍵.

2.如圖，已知在直角58C中，ZABC=90°,E為AC邊上一點，連接昭，過E作￡O_LAC,交AC邊

于點。.

⑴如圖1,連接4/),若CE=2,BD=3亞，NC=45。，求VA/無的面積；

⑵如圖2,作/A8C的角平分線交4c于點尸，連接DF,若/BDE=NCDF,求證：AE+DE=6BE；

(3)如圖3,若NC=30。，將..8CE沿跖折疊，得到△8M,且所與AC交于點G,連接AO,DF,點、E

DF

在AC邊上運動的過程中‘當時’直接寫出質的值.

【答案】(1)8

(2)見解析

⑶立

2

【分析】(1)EDA.AC,NC=45利用等腰直角三角性質C。、AC,再利用勾股定理求得AC,計算出AE

即可求出面積；

(2)如圖2中，過點8作交E。的延長線于點了.證明-ABF四一。BF(SAS),推出再證

明；A8E四。*(ASA),推出4￡=。7，推出4￡+?！辏?。7+。￡：=夕，推出M￡T是等腰直

角三角形，可得結論；

(3)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求得4。，證明△4OF是直角三角形，進而勾股定理

求得。/，即可求解.

【詳解】(1)解：EDA.AC,ZC=45°,

.??/￡DC=NC=45°,

：.CE=DE=2,

CD=y)CE2+DE2=2x/2，

BD=30，

/.BC=BD+CD=5y/2，

在直角一ABC中，zL4BC=90°,ZC=45°,

,-.ZBAC=ZC=45°,

AB=BC=5\f2，

：.AC=>JAB2+BC2=10?

AAE=AC-CE=S,

SADF==XAEDE=—X8X2=8；

*匕22

(2)證明：如圖2中，過點8作87_L8E交EO的延長線于點T.

T

圖2

ZBDE=NCDF,

:"CDE=4BDF,

DEA.AC,

：.NDEC=ZABC=90。,

ZA+ZC=ZEDC+ZC=9(r,

:.NEDC=ZA,

：.ZA=/BDF,

ZABF=/DBF,BF=BF,

:.^ABF^DBF(SAS),

：.AB=/3D,

NAbC=4EBT=%o,

.../ABE=/DBT,

ZBDT=4CDE=NA,

"ABE2一DBT(ASA),

:.BE=BT,AE=DT,

:.AE+DE=DT+DE=ET?

.?.ABET是等腰直角三角形,

ET=6BE.

：.AE+ED=6BE；

(3)如圖,

/84C=600,

當B//AC時，ZABG=30°,

???將.BCE沿跖折疊，得到48廳

；?/FBE=/CBE=30°,

又NC=NEBC=30。，

.?.EB=EC,EB=EA,

是等邊三角形,

設AH=a,則AC=2a,

BC=Ca,

；?BF=2BG=2x6GE=百AE=瓜i,

???BO邛

在■△ABO中，AD=2BD=-a

3

如圖，連接AF,

F

:.ZAEF=ZAEB=(/)°,

???△4話是等邊三角形，

:.AF=AE=AB,

，ZFAD=ZFAE+ZEAD=60°+30°=90°,

:.DF=yjAF2+AD2=

后

?空=上=也

**DA25/32

a

3

【點睛】本題考查了全等三角形全等的證明和性質的綜合運用，還考杳了等腰直角三角形的性質以及勾股

定理；勾股定理解直角三角形，解題的關鍵是旋轉構造全等.

3.已知：“以7中，Z4CB=90°,AC=CH,連接A。，在直線AC右側作A。，

圖3

(1)如圖1,當點〃在線段上時，過點/作律工AC于E若。。=1,種=3；求C"

(2)如圖2,當點〃在線段的延長線上時，連接跖交C4的延長線于點尺若NAPC=30。.求證：BE=4AC；

(3)如圖3,當點〃在C8延長線上時，連接交AC的延長線于點尸08:80=3:4,請直接寫出學的值(不

需要計算過程).

【答案】(1)6；

(2)見解析;

⑶A

【分析】(1)由結合已知得NE4廣=ZAOC結合題意證.石4廠也工AOC(AAS'),利用全等的性質代入計算即

可；

(2)如圖2,過點￡作硒_1從尸，由垂直得結合己知證,.4VEg.DC4(A4S),得到EN=AC,BC=NE,

再證“A*.ENP(AAS)得BE=2BP,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半換算即可；

(3)當點〃在C8延長線上時，如圖，交AP的延長線FM由O3:AC=3:4,設08=3。則BC=47=船，

解出DC=08+30=7〃，分別?/W￡9.QC4(A4S),.&*ENQ(AAS),利用全等的性質求出AP,最

后利用三角形面積公式計算即可.

【詳解】(1)解：???AE_LAO,EFJ.AC,

ZAFE=ZE4Z)=ZACB=90°,

.?.NDAC+ZADC=90°,ZDAC+ZEAF=90°,

:./EAF=ZADC,

又：AE=AD,NA莊=48=90°

/..EAF^.ADC(AAS)f

.?.EF=AC=3,AF=CD=\r

:.CF=AC-AF=6；

(2)證明：如圖2,過點￡作硒_1從尸，

VAE1AD,ENYAP,

:.ZANE=AEAD=AACB=90°,

ZDAC+Z4DC=90°,ZDAC+NEAN=90°,

<EAN=/ADC,

XVAE=AD,ZANE=ZACD=900,

：.ANE^.Z)C4(A4S),

:.EN=AC,

???BC=AC,

???BC=NE,

又Z.BPC=乙EPN、2BCP=乙ENP=90c,

???BCPgENP(AAS),

:.BP=EP,

:.BE=2BP,

在心△8CP中，ZBPC=30°,

:.BP=2BC=2AC,

：.BE=2BP=4AC；

(3)解：當點〃在CB延長線上時，如圖，交心的延長線于此

圖3

?：DB:BC=3:4,

?,?設DB=3a則BC=AC=4a,

:?DC=DB+BC=7a,

VAE1AD,ENLAP,

..4XNE=4AD=/ACB=yr,

ZD4C+ZADC=90。,ZDAC+工EAN=90°,

:.4EAN=4ADC,

XVAE=AD,Z/W￡=ZACD=90°,

A.ANE^.LX：A(AAS),

??.EN=AC=4a,AN=CD=7a,

CN=AN-AC=3a,

又?:/BPC=4EPN,ZBCP=4ENP=90°,

???BCP^.ENP(AAS),

：,CP=PN=-CN=—,

22

???AP=AC+CP=-

2f

??-BD-AC

.-ABD_JAB。______2___________

C-CIC-II

°ABE》ABP十》.AEP士APBC+上APEN

22

_BD-AC_3a?a

=AP(BC+EN)=*

=3_

~11

.SABD_3

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、三角形面積公式；解

題的關鍵是證明三角形全等并運用性質進行等量換算.

4.在等邊△/1%中，〃為以延長線上一點，F(xiàn)為加上一點,過后作監(jiān)〃力￡連接施，EF,且/〃筋=60°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若BE=2,BD=5,求成的長.

(2)如圖2,若尸為⑦延長線上一點，試探究劭、BE、跖的關系，并說明理由.

⑶如圖3,若尸為8c延長線上一點，且月〃：BE：AC=\x2：3,請直接寫出夕'：比'的值.

【答案】(1)3；

(2)〃廬做"況理由見解析；

(3)3：2.

【分析】(1)在小〃的延長線上取點M使/游祿,連接物；證明AEMF經(jīng)AEBDUSA),由全等三角形的

性質得出,的〃員則可得出答案；

(2)在即的延長線上取點M使B將BE,連接.跖證明△麗0△￡3。(ASA),由全等三角形的性質得

出爐的，則可得出結論；

(3)在用上取點M使B用BE,連接，陽同理可知△EM/WAEHO(ASA),得出，，雁做設力方x,BE=2x,

力自3才，求出上3x,則可得出答案.

【詳解】(1)解：在的延長線上取點M使B護BE,連接加，

MBFC

圖1

???三角形力回是等邊三角形，

???460。，

■:BE//AC,

:./鹿生60。,

???△以”是等邊三角形，

:,乙忙/BEW60。，M枚BE,

VZZ^60°,

???N〃冊/比片/應冊/婀

:.乙DEB-乙FEM,

???/MB拄/ABO60。,

???/幽AN加60。，

/./XEMF^/XEBDCASA),

:,小DB,

.:雁MB+BF,

...盼比+外,

???除2,盼5,

???幅5-2=3；

(2)

理由：在即的延長線上取點機使.BJUBE,連接，跖

???NON困代60°,

???為等邊三角形，

:.酢BE,乙生NJ修60°,

???/布/EBD,

。：/DE聲60°,

:./MEJ^NBED,

A^EMF^EBD(ASA),

:,眸BD,

'：明仁MFH*,

:?BE=B訃BR

(3)在8c上取點M使BA仁BE,連接孫

D

A

B

E

圖3

同理可證△EM尸名△EBO(ASA),

:,崢BD,

設4戶x,〃廬2x,AC=3x,

/.BD=AB+A/3x+x=4x,

...於陽化爐2A+4產(chǎn)6x,

.*.C2BABe6x~3萬3x,

*.CFxBE=2>xz2A=3：2.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與

性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

二、倍長中線

5.在.SBC中，N84C=90。，AB=AC,〃是邊AC上一動點(〃不與力、。兩點重合)，連接B。.

(1)如圖1,當8。平分NA8C時，若6=2,求AC的長；

圖1

(2)如圖2,將3。繞點〃順時針旋轉90。，得到OE,連接CE,取CE的中點凡連接OP.

AF

/D\\

BC

圖2

①猜想人。與。尸的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

②如圖3,點/在邊8C上，且3K=5CK,連接K/.當K/取最小值時，直接寫出絲的值.

圖，

【答案】⑴2+0

⑵①4。=血。/，證明見解析?：②晅.

【分析】(1)過點〃作OM_L4C,根據(jù)角平分線的性質，得到AO=OM,再根據(jù)等腰直角三角形判定和

性質，得到N/WC=NC=45。，進而得到ZMDC="=45。，DM=MC,最后由勾股定理得到AO=0,即

可求出AC的長；

(2)①延長AF至點，使得AF=HF,連接DH、E”，先利用“SAS”證明..."gHFE,得到AC=EH,

ZACF=/HEF,進而得到AC〃田，根據(jù)旋轉的性質得到N8QE=90。，BD=ED,再利用“SAS”證明

HEERABD,得到=ZEDH=ZBDA,進而推出NAOH=90。，得到.4Q4為等腰直角三角形，然

后利用等腰三角形三線合一性質，得到OF_LA尸，從而推出是等腰直角直角三角形，最后利用勾股

定理即可證明猜想；

②連接4戶，由①得ND4/=NAQf=45。，ZACB=45°,DF1AF,AD=42DF=42AF,推出4/〃BC,

根據(jù)垂線段最短可知，當/K_LBC時，K尸有最小，此時點〃在尸K上，然后過點尸作FNJ.AC,設CK=m,

nr\

BK=5m利用線段間的關系和勾股定理，依次用含，”的式子表示出相關線段，最后即可計算出二■的值?

tCE

【詳解】（1）解：如圖1，過點力作力M_L8C與點〃，則NBMD=90。，

Q6D平分ZA5C,ZfiAC=90°,

:.AD=DM，

N8AC=90。，AB=AC,

/.Z4BC=ZC=45°,

DM1BC,

：.ZMDC=ZC=45°,

:.DM=MC,

：.AD=DM=MC,

CDZDMRMC，，

：.CD=\IAD2+AD2=y/2AD，

.0=2,

/.AD=>/2，

/.AC=AD+CD=2+s/2X

A

B

（2）解：①如圖2,AD=41DF?證明如下：

連接A/T并延長至點〃，使得=連接EH,

尸為CE的中點，

:.CF=EF,

在△AFC'和..HFE中,

AF=HF

ZAFC=NHFE,

CF=EF

:.^AFC^HFE(SAS),

:.AC=EHtZACF=ZHEF,

:.AC//EHt

:.ZHED=ZADE,

由旋轉性質可知，ZBDE=90°,BD=ED

:.ZADE+ZADB=90°,

N8AC=90。，

:.ZABD+ZADB=90。,

;.ZABD=ZADE,

:.ZHED=ZABD,

AB=AC,AC=EH,

在和/XAB。中，

EH=AB

、ZHED=NABD,

ED=BD

.7HED4ABD(SAS),

/.DH=AD,ZEDH=mDA,

ZEDH+ZADE=ZBDA+ZADE,

/./ADH=NBDE=9QP,

.-.zZW/=ZDW4=45°,

DH=AD,HF=AF,

：.DFLAF,

ZADF=9()°-ZDAH=9(r-45°=45°,

：.ZADF=ZDAH=45°t

:.DF=AF,

：.AD=yjAF2+DF-=JDF2+DF1=0DF；

圖2

②如圖3,連接A尸，

由①得NQA/=Z4DF=45。，ZAC8=45。，DFYAF,AD=&DF=&F,

NDAF=ZACB,

AF//BC,

.,?當FKLBC時,K/的值最小，

QDFAAF,AF〃BC,

:.DFLBC,

???點〃在/K上，如圖4,

過點?作/W_LAC與點M

BK=5CK,

設CK=m,BK=5m,則BC=6〃z，

.N84c=90。，AB=AC,

sinNABC二sin450----,

BC2

AC=BC=x6m=3>/2m,

22

DK工BC,Z4CB=45°,

..DK=CK=m,

：.CD=JCK2+DK2=xlCK2+CK2=J1CK=41m，

AD=AC-CD=-41m=141m，

AD=y/2AF,

：.AF=2m,

FNLAC,ZDAF=45°,

：.ZAFN=^DAF=45°,

:.AN=FN，

：.AF=\lAN2+FN2=y/2AN=近FN，

AN=FN=—AF=—x2m=y/2mt

22

：.CN=AC-AN=3x/2/n-42m=2叵m，

/.CF=\lFN2+CN2==710/w,

尸為CE中點，

:.CE=2CF=2M”I,

DK工BC,

HD=>IBK2+DK2=m2=726/7：,

.BD_y/26m_x/65

CE2x/i()/w10

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，

角平分線的性質，銳角三角函數(shù)，旋轉的性質，垂線段最短等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質，

靈活運用勾股定理是解題關鍵.

6.數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：

如圖1,在，A8C中，A8=6,AC=\O,〃是比的中點，求比邊上的中線力〃的取值范圍.

【閱讀理解】

小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

(1)如圖1,延長力〃到￡點，使OE=4),連接跖.根據(jù)可以判定△4ZX?0_____,得出AC=

這樣就能把線段月反AC.2Ao集中在石中.利用三角形三邊的關系，即可得出中線力〃的取值范圍是.

【方法感悟】

當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”一一把中線延長一倍，構造全等三角形，

把分散的已知條件和所求證的結論集中到同個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法.

【問題解決】

(2)如圖2,在中，NA=90,〃是比邊的中點，ZEDF=9(),DE交AB于點、E,加交AC于點、F,

連接他求證：BE2+CF2=EF2.

F

E

B

D

圖2

【問題拓展】

(3)如圖3,“BC中，ZB=90,AB=3,力〃是“BC的中線，CE工BC,CE=5,且/ADE=90.直

接寫出力￡'的長=

【答案】(1)SAS；AEDB；BE；2<AD<8；(2)見解析；⑶8.

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質以及三角形三邊的關系求解即可；

(2)延長/“使I)G=EI),連接儆紿根據(jù)垂直平分線的性質得到M=G尸，然后利用S1S證明BD-.CDG,

得到A￡=CG,/B=NDCG,進而得到4CG=180。-4=90,，最后根據(jù)勾股定理證明即可；

(3)延長力〃交比的延長線于點E根據(jù)力倒證明然后根據(jù)垂直平分線的性質得到=

最后根據(jù)全等三角形的性質求解即可.

【詳解】解：(1)在和AEZ汨中，

AD=ED

ZADC=/EDB

CD=BD

???△ADCZAEDB(SAS),

:.AC=BE=\0.

VAB=6,

:.BE—AB<AE〈BE+AB,BP10-6<AE<10+6,

???4V4Evl6,

:.4<2AD<16,

解得：2<AT><8；

故答案為：SAS；AEDB；BE；2<AD<8；

(2)如圖所示，延長劭使除切,連接內￡GC,

'：NEDF=9U,

:.EF=GF,

在△8DE和.COG中，

BD=CD

NBDE=NCDG

DE=GD

：.4BDE忠ACDGlSAS),

:.BE=CG,/B=/DCG,

:.AB//CG,

???ZACG=180°-ZA=90°,

，在/^△FGC中，CG2+FC2=FG2,

ABE2+CF2=EF2；

(3)如圖所示，延長月〃交/葉的延長線于點區(qū)

■:ABLBCEhBC,

ZABD=ZFCD,

在△A3。和一尸C￡＞中，

ZABD=NFCD

BD=CD

ZADB=NFDC

：.^BD^^FCD(ASA),

：.CF=AB=3,AD=DF,

VADE=90,

:.AE=EF,

?:EF=CE+AB=5+3=8,

???AE=S.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定方法，三角形的三邊關系，“中線加倍”法的運用，解題的關

鍵是根據(jù)題意作出輔助線構造全等三角形.

7.已知點。是等邊》8。的邊BC上一動點，連接AO,將線段人。繞點。順時針旋轉120°得到線段OE,

連接8E.

(1)如圖1,連接CE,若CE_L3C,且AB=6,50=2,求線段CE的長;

(2)如圖2,若點尸為線段的的中點，連接。尸、CF,求證：CF=6DF.

【答案】(1)273

⑵見解析

【分析】(1)過點〃作。產(chǎn)_LAB于凡則N。陽=90。，由等邊三角形性質可知/48C=60。，在直角三角形

4。尸中，分別得出D/=石，BF=1,根據(jù)勾股定理得出人。=2近，由旋轉性質可知ED=AO=2X/7，再

求8=4,最后根據(jù)勾股定理即可得出答案：

(2)延長C尸至G使得CV=FG,連接ZX7、EG,先證明乙EFG烏一BFC(SAS),推出BC=EG,

NDCG=NEGC,所以8C〃EG,推出/。&7=/。。E，由等邊三角形性質可知4。=8。，Z4CB=60°,

所以AC=EG,ZG4D+ZCm=120°,進而得出NC4￡>=N￡>￡G,再證明人。Cg.EOG(SAS),得出

DC=DG,/EDG=^ADC,進而得出/66=12伊，由此可得出NDC戶=NQGC=30°,在Rt.Ob中，

設。"=〃，則CD=2DF=勿，進一步即可得出結論.

【詳解】(1)解：過點〃作。/_LA3于E則NO尸6=90。，

???.ABC是等邊三角形，

???Z4BC=60°,

"DB=3(T,

??.BF=-BD=-x2=\,

22

；?DF=\IDB2-BF2=V22-I2=x/3，

AAF=AB-BF=6-\=5,

:.AD=-JAF2+DF2=J52+(X/3)2=2幣,

由旋轉可知：ED=AD=2幣，

■:CEA.BC,

???ZECD=90n,

,:CD=BC-BD=6-2=4,

:.CE=>]ED2-CD2=J(2⑺°-4?=2后;

(2)證明：延長C尸至G使得。尸=尸6,連接DG、EG,

?二F為線段的的中點，

，EF=BF,

在4EFG和△8FC中，

EF=BF

/EFG=NCFB,

CF=GF

；..EFG&BFC(SAS),

/.BC=EG,ZDCG=NEGC,

???BC〃EG,

/DEG=NCDE,

???是等邊三角形，

AAC=BC,ZACB=60°,

:,AC=EG,ZC4D+ZCDA=12O°,

由旋轉可知：ZA￡>￡=120°,ED=AD,

ZADC+^CDE=\20°,BPZADC+ZDEG^120°,

:.NCAD=/DEG,

在△ADC和△EDG中，

AD=ED

ZCAD=ZEDG,

AC=EG

；..ADC，EDG(SAS),

:.DC=DG,NEDG=ZADC,

???/EDG+/CDG=NCDE+ZADC=T200,即ZCDG=120°,

?:DC=DG,CF=FG,

:.DFLCG,

：./DCF=NDGC=30°,

在RjOb中，設DF=a,則C￡）=2O尸=2a,

:.CF=ylCD2-DF2=y］（2a）2-a2=43a

.DFaE

CFga3

:.CF=G>DF.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，正確作

出輔助線是解題的關鍵.

三、角度問題

8.如圖1,點尸、。分別是邊長為4c勿的等邊回邊/以回1二的動點，點，從頂點力，點。從頂點8同時

出發(fā)，且它們的速度都為1CR/S.

（1）連接力0、C戶交于點收則在只。運動的過程中，圖變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則

求出它的度數(shù)；

（2）何時4/W是直角三角形？

（3）如圖2,若點以。在運動到終點后繼續(xù)在射線月氏函上運動，直線10、CP交點、為M,則NQ幻變化

嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

48

【答案】（1）/以/0=60°不變.理由見解析；（2）當?shù)?秒或第4秒時，△/W為直角三角形：（3）ACMQ

=120°不變.理由見解析.

【分析】（1）利用等邊三角形的性質可證明△APCg/XBQA,則可求得NBAQ=/ACP,再利用三角形外角的

性質可證得NCMQ=60°；

（2）可用t分別表示出BP和BQ,分NBPQ=90°和NBPQ=900兩種情況，分別利用直角三角形的性質可

得到關于t的方程，則可求得t的值；

(3)同(1)可證得△PBCgZiQCA,再利用三角形外角的性質可求得NCMQ=120°.

【詳解】(1)ZCMQ=60°不變.

VAABC為等邊三角形，

???AB=AC,ZB=ZCAP=600.

???點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s,

，AP=BQ.

/.△ABQ^ACAP(SAS).

/.ZBAQ=ZACP.

:.ZCMQ=ZACP+ZCAM=NBAQ+/CAM=ZBAC=60°.

(2)設時間為t秒，則AP=BQ=t,PB=4-t

①當NPQB=90。時，

VZB=60°,

4

???FB=2BQ,得4?t=2t,t=y.

②當NBPQ=90。時，

VZB=60°,

8

???EQ=2BP,得t=2(4-t),t=-.

J

48

???當?shù)谌牖虻?秒時，△PBQ為直角三角形.

(3)ZCMQ=120°不變.

???在等邊AABC中，BC=AC,ZB=ZCAP=60°

.\ZPBC=ZACQ=120°.

???點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s,

AEP=CQ.

/.△PBC^AQCA(SAS).

AZBPC=ZMQC.

又???NPCB=NMCQ,

AZCMQ=ZPBC=180°-60°=120°.

【點睛】本題為三角形的綜合應用，等邊三角形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，

解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.

9.(1)【感知】：如圖1,點/，是“人。〃角平分線上一點，過點Q作尸于點C,產(chǎn)。JLQ6于點。，證

明PC=PD（不需要證明）

（2）【探究】如圖2,在AABC中，ZC=90°,A。是/84C的平分線，點E在AC邊上，ZAED+ZB=180°

①證明：DB=DE；

②請判斷A8,AE,CE三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由.

（3）【拓展】如圖3,MBC的外角ZACD的平分線CP與內角ZABC的平分線BP交于點、P,若4BAC=80°,

請直接寫出NC4P的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）①見解析；?AB=AE+2CE,見解析；（3）50°

【分析】⑴根據(jù)AAS訐明即可：

（2）①過點〃作。尸_LA8于點凡再根據(jù)AAS證明一IX將一。底B即可

②由RtACD且可得AC=A"，再由二力CEV,。/7“可得CEuA/7進而可得A4=AE+2CE

（3）過點尸作PG_LB。、PFLAC.PEJL/W,垂足分別為G、F\E,根據(jù)角平分線的性質得出依=PF,

再根據(jù)補角的定義求出NE4C的度數(shù)，最后由機證明RJAE/NRQAb即可.

【詳解】（1）TOP平分NAO8

:.ZAOP=ZBOP

?：PC1OA,PD1OB

???^OCP=ZODP=90°

在△OC。和一OD夕中

40cp=/ODP

NCOP=NDOP

OP=OP

???△OCPAODP（AAS）

,PC=PD

（2）①過點。作。b_L44于點尸，

人。是N84C在平分線，ZC=90°

可得DC=DF,且NC=/DFB=90

ZA￡D+ZB=180,ZAED+ZCED=\S0

/CED=NB

在△OCE和△。尸8中

NC=NDFB

ZCED=NB

DC=DF

:.DCM&DFB(AA^)

:.DE=DB

?AB=AE+2CE,理由如下：

在RtAACD和Rt^AFD中

AD=AD

DC=DF

，Rt.ACD^RtAAFD(HL)

:.AF=AC

DC/DFB

:.CE=BF

：.AB=AF+BF

=AC+CE

=AE+CE+CE

=AE+2CE

(3)過點尸作PG，A。、PFLAC、PE1AB,垂足分別為G、尸、E,

O平分/AC。，BP平■分NABC,

，PE=PF

???ZB4C=180°

:.ZE4C=180o-80o=100°

???Rt^AEP^Rt.AFP(HL)

???ACAP=/LEAP=-ZEAC=50°

2

【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的綜合證明，解題的關鍵在于熟練掌握證明方法，并能

結合已知和隱含條件靈活使用方法.

10.在銳角阿中，AHBC千點D,E為AD上一點、，且應=6,連接BE.

圖3

(1)如圖1,若N4必=30°,BE=6,力￡=4,求的面積；

(2)如圖2,力'為力〃中點，尸為原上一點，連接/；若/DBE=/CAg/AFE,求證"'=25；

(3)如圖3,若/DBE=/CAD,M是直線8。上一動點,連接4V并統(tǒng)力點逆時針旋轉90°,得至U極,連接DN,

EN.當〃V長度最小時，請直接寫出N/1斷與惱所滿足的等量關系

【答案】⑴合21

(2)見解析

⑶NABE+NDNE=45

【分析】(1)由/僅L以及/痂30°,可得OE=g8E=3,即可得力伊7：再由叱。3,即可求得△/R7?

的面積；

(2)由已知易得△8〃&△4T,則可得除力〃；延長熊至G,使￡G=8￡,連接AG,則可證得△應儂

△GAE,則有除&,N〃%%NG；再由已知及所證可得力后總分2/；

(3)由已知易得△8〃修△4T,可得△力劭是等腰直角三角形；作AA/_LAD且A〃=A。，連接"N,則易

得.A”NgZWW,4"N=/4)M=9O,則動點N一定在經(jīng)過定點〃且垂直于直線8。的直線/上運動，

當DN_L/時，ON取得最小值，此時點M與點8重合，則由線段垂直平分線的性質定理即可得N4宏與/

〃怯所滿足的等量關系.

【詳解】(1)VADJ.BC,

；?"04=90°.

???在凡BDE中，NDBE=30°，

???DE=-BE=-x6=3.

22

:.AD=AE+ED=4+3=7.

???CD=DE=3,

???在MAC”中,

1121

S=-ADCD=-X1X3=—.

zAAC/ivD-M222

(2)在和△AQC中,

NDBE=NDAC

ZBDE=ZADCt

DE=DC

:?XBDE會/\ADC(A4S).

:.BD=AD.

延長跖至G,使EG=BE,連接4G,如圖.

VE為AD中點,

:.DE=AE.

在ZiBZ比:和.一G4E中，

DE=AE

?:、NBED=/GEA,

BE=GE

：.KBDEg-GAE(SAS).

:,BD=GA,4DBE=4G.

???ADBE=ZAFE,

:.AAFE=Z.G.

：,AF=AG=HD=AD=2DE.

,/CD=DE,

???AF=2CD.

(3)AABE+/DNE=4S.

理由如下：

?：ZDBE=NCAD,AD上BC,DE=CD,

：,(AAS).

，BD=AI),

???△ABO是等腰直角三角形，

???//!盼45

作且AH=AO,連接印V,

則/如盾NZH好N.悅生90°,

由旋轉的性質得：Aif=AN,乙MAN=/MAm/DAN=90°,

:.NNA44MAD,

在和△力〃V中，

AH=AD

NNAH=NM4。,

AN=AM

:一AHN迫4ADM(SAS).

:.乙AHN=NADM=90’，ZANH^AAMD.

???動點N一定在經(jīng)過定點〃且垂直于直線BC的直線/上運動.

???當ONJJ時，￡W取得最小值，此時點M與點3重合.

??N游4MAD1BN,

:.AO垂直平分8N,

：.EB=EN,

???2DNE=/DBE.

/.^ABE+NONE=NABE+ZDBE=NABD=45°

【點睛】本題是全等三角形的綜合，考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含30度

角直角三角形的性質，旋轉的性質，關鍵是靈活運用三角形全等的判定與性質，確定點N的運動路徑是難

點.

四、解答題

11.在等邊58C的兩邊AC、4B所在直線上分別有兩點七、尸，。為/8C外一點且NEZ*=60。,

ZBDC=120°,DB=DC.探究：當E、尸分在直線AC、A8上移動時，CE、BF、放之間的數(shù)量關系

及△AM的周長。與等邊A8C的周長L的關系.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點￡、/在功AC、ARk,9時,CE、BF、ME間的數(shù)最關系是什么，此時。

與L的比值為多少？

(2)如圖2,點E、尸在邊4C、A8上，且當OEwOF時,猜想(1)問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜

想并加以證明；

⑶如圖3,當上、〃分別在邊AC、胡的延長線上時，若A8=5,AF=3,則。=

【答案】⑴EF=CE+BF,-=-

L3

⑵成立，證明見解析

⑶16

【分析】(1)先證RJE8絲RtF3O(HL),然后由直角三角形的性質，即可求得CK、BF、進而說明

EF=CE+BF,再求得△心的周長Q,最后將。、￡代入與計算即可；

(2)如圖，延長A8至點例，使8W=CE,連接。M.可證,.E8g：MBD(SAS),即可得DW=OE,進

而得到NFDM=NBDC—NEDF=60。,則可證得,EOFWMZ*(SAS),然后由全等三角形的性質

EF=MF=CE+BF,再求得所的周長。，最后將0、/代入g計算即可；

(3)在84上截取點N,使BN=CE,并連接￡W,可證,2/比W(SAS),即可得DE=ON,然后證

得NNDF=NEDF=W,易證得尸烏-瓦尸(SAS),則可得=然后根據(jù)54C的周長，表示出

力〃的長，然后根據(jù)JMN的周長，應用等量代換即可求解.

O2

【詳解】⑴解.：CE、BF、夕?之間的數(shù)量關系是E/=CE+M,此時勺=彳，理由如下:

L3

BD=CD,且NHDC=120°,

:.NDCB=NDBC=3H

又.?..ABC是等邊三角形，

ZACD=ZABD=90°,

在RtZXECO和RtF8D中，

CD=80

DE=DF'

RtAECD且RtAFBD（HL）,

:.CE=IiF,NCBE=NBDF=3日,

:.CE=、DE,BF=-DF,

22

即M=CE+8產(chǎn)，

.??的周長。:AE+A尸+EF=AC+A8=2A8,

又L—3AB,

.。一

-=-2?

*,I3，

（2）解：猜想：結論仍然成立，證明如下：

如圖，延長A8至點〃，使8M=CE,連接。M,

D

BD=CD,且N8DC=120。，

:"DCB=/DBC=30。,

又「ABC是等邊三角形，

/.ZACD=ZABD=90°,

在二EC。和”/。中,

EC=BM

NECD=NMBD,

BD=CD

:AECD經(jīng)AMBD(SAS),

DM=DE,NCDE=/BDM,

:.Z.FDM=NBDC-/EDF=60°,

在尸和AWD“中，，

DM=DE

4EDF=NMDF,

DF=DF

.\AEDF^AWF(SAS),

：.EF=MF=CE+BF,44"的周KQ=AE+4尸+EF=AC+AB=2AB,

又.1=345,

.。一2

■工一針

(3)解：在胡上截取點N,使BN=CE,并連接ON,

由(1)得，乙DCE=zLDBN=9^',

在_COE和.8ZW中,

CE=BN

ZDCE=ZDBN,

DC=DB

:ACDE^ABDTV(SAS),

：.￡3E=4BDN,DE=DN、

NBDC=12U,N磯歷'=60。，

:.￡NDF=4EDF=3,

在工ND尸和,EZW中，

DE=DN

4NDF=ZEDF,

DF=DF

:ANDF^AEDF(SAS),

:.EF=NF,

：.Q=AE+EF+AF,

=AC+CE+NF+AF,

=AB+BN+NF+AF,

=(ABiAF)\(BNiNF),

=2BF,

=2x(5+3),

=16.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質等知識點，熟知等邊三角形的性質及

全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

12.已知58C是正三角形，〃為5c邊上一點，連接AO.

⑴如圖1,在AC上截取點總使得CE=A。，連接酩交4）于點E若77）=2,BE=8,求點力到晅的

距離;

⑵如圖2,在（1）的條件下，連接。尸，取48的中點G,連接證明C尸=2FG；

⑶如圖3,點P為.A8C內部一點，連接AP,將線段AC繞點A逆時針旋轉得到線段AQ.NCAQ=N3AP.將

一沿AP翻折到同一平面內的_A7P，在線段AQ上截取AM=AP,連接MT.已知M7=6,P7'=8,

AM=10.直接寫出△APT的面積.

【答案】（l）3g；

⑵見解析；

⑶做了兩天了，還沒思路

【分析】（1）如圖過力作于，，證△/^原△8CE（S4S）,得NBAD=NCBE,求

ZAFE=ZABF+ZBAF=ZABF-￥ZCBE=（^°,在直角A5中運用勾股定理即可；

（2）由（1）可知4瓦汪BCE,NA莊=60。，同理可證ABD^.BCE^CAH,

ZAFE=ZMLF=ZFML=60°,即一ML是等邊三角形，延長2使尸G=GN,連接AN,在AC上截取

AH=