試題試題復興中學2024學年第一學期高二年級數(shù)學期末2025.1一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.直線的傾斜角為___________.2.平行于同一平面的兩直線的位置可能是___________.3.已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長為__________．4.求過點A(2，1)與圓相切的直線方程________5.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，則此球表面積為___________.6.長方體中，，，那么直線和平面的距離是________．7.已知平行直線和的距離為，則___________.8.已知雙曲線，若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，則橢圓的標準方程為___________.9.如圖，是底面半徑為的圓柱側(cè)面上兩點，它們在底面上的射影分別為，若，弧，則沿圓柱側(cè)面從到的最短距離是___________.10.已知直線是拋物線準線，拋物線的頂點為原點，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為________.11.閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為____________.12.在三棱錐中，，且，則二面角的余弦值的最小值為___________.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.13.數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點坐標為，則△ABC歐拉線的方程為（）Ax+y-4=0 B.x-y+4=0C.x+y+4=0 D.x-y-4=014.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒15.如圖，在棱長為1正方體中，點為棱的中點，則由三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為（）A. B.C. D.16.已知函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）A.線段（不包含端點） B.橢圓一部分C.雙曲線一部分 D.線段（不包含端點）和雙曲線一部分三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.17.如圖，長方體中，，點P為的中點.（1）求證:直線平面;（2）求異面直線、所成角的大小.18.已知圓，直線.（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒相交于兩點；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？19.已知雙曲線的左，右焦點分別為.（1）若的實軸長為2，焦距為4，求的漸近線方程；（2）已知是雙曲線左支上一點，）.當周長最小時，求的面積.20.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面.（1）求證：；（2）求證：為直角三角形；（3）若，求四棱棱體積.21.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于Ax1,y1，兩點．（1）證明：是常數(shù)；（2）過點作直線的垂線與拋物線的準線相交于點，與拋物線相交于，兩點（點的橫坐標小于點的橫坐標）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．復興中學2024學年第一學期高二年級數(shù)學期末2025.1一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.直線的傾斜角為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式方程可求得直線的斜截式方程，再根據(jù)斜截式方程得出直線斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，，即直線的斜率為，所以直線的傾斜角的正切值為，則直線的傾斜角為.故答案為：.2.平行于同一平面的兩直線的位置可能是___________.【答案】平行或相交或異面【解析】【分析】根據(jù)線面平行的位置關系及線線位置關系的分類及定義，可由已知兩直線平行于同一平面，得到兩直線的位置關系．【詳解】若且，則與可能平行，也可能相交，也有可能異面，故平行于同一個平面的兩條直線的位置關系是平行或相交或異面，故答案為：平行或相交或異面．3.已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構特征，圓錐底面半徑、高、母線長構成一個直角三角形，可根據(jù)銳角三角函數(shù)進行求解底面圓的半徑，再利用勾股定理求解母線.【詳解】已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，因為圓錐底面半徑、高、母線長構成一個直角三角形，所以底面圓半徑為1，所以母線長等于.故答案為：.4.求過點A(2，1)與圓相切的直線方程________【答案】【解析】【分析】首先說明切線斜率存在，設出切線方程后由圓心到切線距離等于半徑求得參數(shù)值得切線方程．【詳解】顯然斜率不存在的直線與圓不相切，因此設切線方程為，即，圓心是，圓半徑為，所以，解得，所以切線方程為，即．故答案：．5.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，則此球表面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用長方體和外接球的關系可求球的半徑，利用面積公式可得答案.【詳解】因為長方體的三條棱的長分別為，所以其對角線的長為，因為長方體的各頂點均在同一球的球面上，所以球的直徑等于長方體的對角線長，即半徑為，所以球表面積為.故答案為：6.長方體中，，，那么直線和平面的距離是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合長方體，將原距離轉(zhuǎn)化為點和平面的距離解決，最終轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高求解即可.【詳解】解：∵直線平面，∴直線和平面的距離即為點和平面的距離.∵面面，在面內(nèi)過作的垂線，即為面的垂線，也就是直角三角形斜邊上的高d，由面積法得：.故答案為：.【點睛】本題考查線面距離的求法，屬于基礎題.7.已知平行直線和的距離為，則___________.【答案】6或8【解析】【分析】根據(jù)直線平行求出，再由平行線間的距離求出.【詳解】因為直線和平行，所以，又，解得或，故答案為：6或88.已知雙曲線，若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，則橢圓的標準方程為___________.【答案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的頂點坐標，設橢圓方程為，依題意可得、，從而求出，即可得解.【詳解】雙曲線的頂點為、，設橢圓方程為，則，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.故答案為：9.如圖，是底面半徑為的圓柱側(cè)面上兩點，它們在底面上的射影分別為，若，弧，則沿圓柱側(cè)面從到的最短距離是___________.【答案】【解析】【分析】畫出側(cè)面展開圖，運用兩點間線段最短.結(jié)合勾股定理計算長度即可.【詳解】畫出側(cè)面展開圖，如下，已知，則，弧，側(cè)面從到的最短距離是AB.根據(jù)勾股定理知道.故答案為：.10.已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為原點，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為________.【答案】【解析】【分析】過作，垂足為，根據(jù)拋物線定義以及正弦定理可求得，可得為等腰直角三角形，所以.【詳解】過作，垂足為，如下圖所示：易知，，在中，，由正弦定理可得，即，則在中，可得，則，所以，即.可得為等腰直角三角形，又易知，可得.故答案為：11.閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，進而求得直線的一個方向向量，再利用向量的夾角公式即可得解.【詳解】平面的方程為，可得平面的法向量為，平面的法向量為的法向量為，設直線的方向向量為，則，即，令，則，設直線與平面所成角，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.12.在三棱錐中，，且，則二面角的余弦值的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】首先得的軌跡方程，進一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【詳解】因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），

又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）

過點作，而面，所以面，

設為中點，則二面角為，所以不妨設，所以，所以，令，所以，等號成立當且僅當，所以當且僅當時，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：關鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設參即可順利得解.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分.其中第13-14題4分，第15-16題5分）.13.數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點坐標為，則△ABC歐拉線的方程為（）A.x+y-4=0 B.x-y+4=0Cx+y+4=0 D.x-y-4=0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷三角形形狀并求出垂心及外心，進而求出歐拉線的方程.【詳解】由，得，則的垂心為，外心為，所以歐拉線的方程為，即.故選：A14.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒【答案】C【解析】【分析】由圓錐的體積公式計算細沙體積和沙堆體積，根據(jù)細沙體積不變即可求解．【詳解】沙漏中的細沙對應的圓錐底面半徑為，高為，所以細沙體積為所以該沙漏的一個沙時為秒，故選：C15.如圖，在棱長為1正方體中，點為棱的中點，則由三點所確定的平面截該正方體所得截面的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別取的中點，連接，利用平面的性質(zhì)可得過的平面截該正方體所得截面為菱形，再計算其面積.【詳解】如圖所示，分別取的中點，連接，由且，得是平行四邊形，則，又且，得是平行四邊形，得，所以，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長為1，，，，，故的面積為.故選：D.16.已知函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）A.線段（不包含端點） B.橢圓一部分C.雙曲線一部分 D.線段（不包含端點）和雙曲線一部分【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程進行求解判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以有，且有成立，即成立，由，化簡得：，或，當時，即，因為，所以平面上點（s，t）的軌跡是線段（不包含端點）；當時，即，因為，所以，而，所以不成立，故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.17.如圖，長方體中，，點P為的中點.（1）求證:直線平面;（2）求異面直線、所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設和交于點O，則O為的中點，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，，得到異面直線與所成的角就等于與所成的角，在直角中，即可求解.【小問1詳解】由題意得O為的中點，連結(jié)，又因為P是的中點，故，又因為平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】由（1）知，，所以異面直線與所成的角就等于與所成的角，故即為所求；因為，為的中點，則，則易知，因為中點，則，在直角中，可得，又因為，所以.18.已知圓，直線.（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒相交于兩點；（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？【答案】（1）證明見解析（2）能，理由見解析【解析】【分析】（1）首先根據(jù)直線的方程求出該線段經(jīng)過的定點，再判斷該點與圓的位置關系；（2）根據(jù)題干信息弧長比轉(zhuǎn)化為圓心角之比，再計算到點到直線距離，即可得到答案.【小問1詳解】直線，即，由，解得，故直線過定點，又因為，故點在圓內(nèi)，則直線與圓C恒相交兩點，【小問2詳解】設直線與圓C相交于，假設直線能將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧，則圓心角，即點C到直線的距離為化簡得，所以，所以存在直線滿足題意.（或者利用此時，此時即過垂直于的直線滿足題意）19.已知雙曲線的左，右焦點分別為.（1）若的實軸長為2，焦距為4，求的漸近線方程；（2）已知是雙曲線的左支上一點，）.當周長最小時，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用實軸長，和焦距求出漸近線.（2）利用雙曲線定義，及兩點之間線段最短，得到點在線段上，得到直線的方程，再代入得到面積.【小問1詳解】令雙曲線的半焦距為，依題意，，由，得，則，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由雙曲線的定義可得，所以的周長為,由于為定值，要使的周長最小，則應使最小為，即點在線段上,∵，所以直線的方程為：，即，將其代入，解得或（舍去），因此點.所以20.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面.（1）求證：；（2）求證：為直角三角形；（3）若，求四棱棱的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再由勾股定理即可得證；（2）由平面平面PCD依次證平面ADP、、平面ACP、即可；（3）由幾何關系可得，結(jié)合即可求值.【小問1詳解】作，E為垂足，如圖，在等腰梯形ABCD中，，∴，，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD，∴平面ADP，又平面ADP，∴，又，∵平面ACP，∴平面ACP，∵平面ACP，∴，∴，即為直角三角形.【小問3詳解】由（1）知在等腰梯形ABCD中，．，．∴．∴．又平面ADP，直角三角形，，∴，，∴．∴．21.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于Ax1,y1，兩點．（1）證明：是常數(shù)；（2）過點作直線的垂線與拋物線的準線相交于點，與拋物線相交于，兩點（點的橫坐標小于點的橫坐標）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關系證得.（2）①求得直線的方程，點的坐標，利用根與系數(shù)關系求得.②根