試題試題建平中學2024學年第一學期期中教學質(zhì)量檢測高一數(shù)學試卷說明：（1）本場考試時間為90分鐘，總分100分；（2）請認真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一、填空題（本大題共12題，滿分36分）1.已知集合，，則__________.2.函數(shù)的定義域是________.3.不等式的解集為__________.4.已知冪函數(shù)圖象經(jīng)過點，求__________.5.函數(shù)（，且）的圖象過定點A，則點A的坐標是________．6.已知，則實數(shù)__________.7.已知，，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.8.若區(qū)間是函數(shù)一個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為__________.9.已知函數(shù)是定義域為奇函數(shù)，且當時，，則函數(shù)的值域為__________.10.已知函數(shù)（，），若對于任意的，且，均有，則實數(shù)a的取值范圍為__________.11.對于任意的，都存在b，，使得關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為__________.12.設（），記函數(shù)在區(qū)間（）上的最大值為，若對任意，都有，則實數(shù)t的取值范圍為__________.二、選擇題（本大題共4題，滿分12分）13.用反證法證明命題“若，則a，b中至少有一個不為0”成立時，假設正確的是（）A.a，b中至少有一個為0 B.a，b中至多有一個不為0C.a，b都不為0 D.a，b都為014.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件15.將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.16.已知是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意的、且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.三、解答題（本大題共5題，滿分52分）17.已知關(guān)于x的一元二次方程（）的兩個實根為、.（1）若，求實數(shù)a的值.（2）若，求表達式的最小值18.已知a是實數(shù)，函數(shù)的表達式為.（1）請用單調(diào)性的定義證明函數(shù)是區(qū)間上的嚴格增函數(shù)；（2）若函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值，并直接寫出不等式的解集.19.上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？20.已知函數(shù)．（1）直接寫出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間：（2）設常數(shù)t滿足，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值：（3）設函數(shù)，對于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．21.已知函數(shù)的定義域為D，若存在常數(shù)k（），使得對D內(nèi)的任意，且，都有成立，則稱為D上的“k-嚴格利普希茨”函數(shù).（1）判斷函數(shù)，是否為“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)（）為“k-嚴格利普希茨”函數(shù)，求常數(shù)k取值范圍；（3）若是上的“1-嚴格利普希茨”函數(shù)，且滿足，判斷是否存在，，使得成立，如果存在，請寫出一個滿足條件的函數(shù)和，的值；如果不存在，請說明理由.建平中學2024學年第一學期期中教學質(zhì)量檢測高一數(shù)學試卷說明：（1）本場考試時間為90分鐘，總分100分；（2）請認真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一、填空題（本大題共12題，滿分36分）1.已知集合，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集概念求出答案.【詳解】.故答案為：2.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解出原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，由可得，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.3.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，運用一元二次不等式解法計算即可.【詳解】不等式的解集，等價于,即，即解得.故答案為：.【點睛】4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求__________.【答案】【解析】【分析】設冪函數(shù)，為常數(shù)，根據(jù)圖象經(jīng)過點，求出，進而求解.【詳解】設，為常數(shù)，因為，所以，即，所以.故答案為：.5.函數(shù)（，且）的圖象過定點A，則點A的坐標是________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為（，且）的圖象過定點A，令，則，，所以點A的坐標為.故答案為：.6.已知，則實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化得解.【詳解】因為，所以，解得或（由底數(shù)為正數(shù)，舍去），故答案為：7.已知，，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及冪函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由知，所以，即所以，即，解得，所以不等式的解集為，故答案為：8.若區(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】或【解析】【分析】先得到的單調(diào)性，從而得到或.【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想?yún)^(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則或，故實數(shù)a的取值范圍為或.故答案為：或9.已知函數(shù)是定義域為奇函數(shù)，且當時，，則函數(shù)的值域為__________.【答案】【解析】【分析】先求出時函數(shù)的取值范圍，再由奇函數(shù)的對稱性即可得出時函數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，又當時，，所以，當時，由奇函數(shù)的對稱性可知，所以函數(shù)的值域為.故答案為：10.已知函數(shù)（，），若對于任意的，且，均有，則實數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】或.【解析】【分析】由題目條件得到在R上單調(diào)遞增，分和兩種情況，結(jié)合系數(shù)的正負得到不等式，求出答案.【詳解】對于任意的，且，均有，故在R上單調(diào)遞增，當時，在R上單調(diào)遞增，此時需，所以，當時，在R上單調(diào)遞減，此時需，所以，綜上，或.故答案為：或.11.對于任意的，都存在b，，使得關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合三角不等式的關(guān)系即可求解.【詳解】令，由于對任意的，都有，故，，因此，故，又，，故，當，即可取到等號，此時,滿足在上恒成立，故最大值為2，故答案為：212.設（），記函數(shù)在區(qū)間（）上的最大值為，若對任意，都有，則實數(shù)t的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)在內(nèi)單調(diào)遞增，分析可知或，整理得關(guān)于的不等式或，的解集為，即可根據(jù)求解．【詳解】因為，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，又因為在區(qū)間上的最大值為，可得或，由題意可知：或，則或，整理得或，即關(guān)于的不等式或的解集為，可知，整理得，則，故，故答案為：．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分）13.用反證法證明命題“若，則a，b中至少有一個不為0”成立時，假設正確的是（）A.a，b中至少有一個為0 B.a，b中至多有一個不為0C.a，b都不為0 D.a，b都為0【答案】D【解析】【分析】將結(jié)論a，b中至少有一個不為0否定即可【詳解】用反證法證明命題“若，則a，b中至少有一個不為0”成立時，應假設a，b都為0．故選：D14.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性即可求解.【詳解】當時，，沒有意義，故；在上單調(diào)遞增，時，必有；所以，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.15.將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的平移變換求得的解析式，結(jié)合奇偶性、零點個數(shù)及特殊值可排除錯誤選項.【詳解】．因為，即，所以為奇函數(shù)，排除A；令，解得，即有唯－零點，排除C；由解析式可知，排除D．只有B符合條件．故選：B．【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，結(jié)合奇偶性、單調(diào)性、特殊值等性質(zhì)即可排除錯誤選項，屬于基礎題.16.已知是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意的、且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，，推出，在上單調(diào)遞增，并根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)得到為上的偶函數(shù)，并求出，從而得到，由單調(diào)性得到不等式，求出答案.【詳解】不妨設，則，即，所以，令，則，故在上單調(diào)遞增，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，的定義域為R，且，故為上的偶函數(shù)，因為，所以，，即，故，即，解得.故選：A三、解答題（本大題共5題，滿分52分）17.已知關(guān)于x的一元二次方程（）的兩個實根為、.（1）若，求實數(shù)a的值.（2）若，求表達式的最小值【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）由根的判別式得到或，由韋達定理得到兩根之和，兩根之積，從而得到方程，求出；（2）由韋達定理得到，結(jié)合，由函數(shù)單調(diào)性求出最小值.【小問1詳解】（）有兩個實根，故，解得或，由韋達定理得，故，解得，由于或，故；【小問2詳解】由（1）知，，，因為，所以當時，取得最小值，最小值為.18.已知a是實數(shù)，函數(shù)的表達式為.（1）請用單調(diào)性的定義證明函數(shù)是區(qū)間上的嚴格增函數(shù)；（2）若函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值，并直接寫出不等式的解集.【答案】（1）證明見解析（2），或，【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義即可求解，（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性即可求解不等式.【小問1詳解】，，，則，因為，所以，所以，即，故函數(shù)是區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．【小問2詳解】的定義域為，故，解得，故，由于，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，故當時，或，故的解集為或，19.上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？【答案】（1）；（2）分鐘.【解析】【分析】(1)時，求出正比例系數(shù)k，寫出函數(shù)式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比較大小即可得解.【詳解】（1）由題意知，（k為常數(shù)），因，則，所以；（2）由得，即，①當時，，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ虎诋敃r，在[10，20]上遞減，當時Q取最大值24，由①②可知，當發(fā)車時間間隔為分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.20.已知函數(shù)．（1）直接寫出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間：（2）設常數(shù)t滿足，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值：（3）設函數(shù)，對于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）當時，最小值為，當時，最小值為1（3）【解析】【分析】（1）配方后得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）分和，得到函數(shù)單調(diào)性，得到最小值；（3），換元后得到，，從而得到，求出答案.【小問1詳解】，故在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，，若時，在上單調(diào)遞減，故最小值為，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故最小值為，故當時，的最小值為，當時，的最小值為1.【小問3詳解】，對于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，即，令，故在上恒成立，，由得，故當時，取得最小值，最小值為，，解得，故實數(shù)k的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒成立問題常常利用函數(shù)最值解決，可以直接利用函數(shù)性質(zhì)求解最值，也可分離參數(shù)后利用易解決的函數(shù)性質(zhì)求解最值，從而解決問題.21.已知函數(shù)的定義域為D，若存在常數(shù)k（），使得對D內(nèi)的任意，且，都有成立，則稱為D上的“k-嚴格利普希茨”函數(shù).（1）判斷函數(shù)，是否為“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)（）為“k-嚴格利普希茨”函數(shù)，求常數(shù)k的取值范圍；（3）若是上的“1-嚴格利普希茨”函數(shù)，且滿足，判斷是否存在，，使得成立，如果存在，請寫出一個滿足條件的函數(shù)和，的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，不是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，理由見解析；（2）（3）不存，，使得成立，理由見解析【解析】【分析】（1）對于，有，滿足要求，對于，舉出反例；（2）任取，分子有理化，得到，求出，得到；（3）不妨設，分和兩種情況，得到，從而得到結(jié)論.【小問1詳解】是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，不是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)，理由如下：定義域為R，任取，，故是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)；的定義域為R，任取，，當，此時，故不是“2-嚴格利普希茨”函數(shù)；【小問2詳解】任取，，由于，故，故，，要想恒成立，則，故常數(shù)k