試題試題備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（上海專用）（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．在0，，，，，（每相鄰兩個1之間的0逐次多1）這六個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1

個 B．2個 C．3個 D．4

個2．如果把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（）A．不變 B．縮小3倍 C．擴大3倍 D．擴大9倍3．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（

）A． B．C． D．4．若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，則反比例函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．5．元旦聯(lián)歡會上，3名同學分別站在三個頂點的位置上．游戲時，要求在他們中間放一個凳子，該先坐到凳子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放置的最適當?shù)奈恢檬窃诘模?/p>

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊中線的交點 D．三邊上高的交點6．下列說法中，不正確的是（

）A．底角為的兩個等腰三角形相似B．一個兩邊長分別是6和4，另一個兩邊長分別是9和6，則這兩個直角三角形相似C．一個銳角為的兩個直角三角形相似D．有個角為的兩個等腰三角形相似二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分.）7．比較大?。?（填“”、“”或“”）．8．分解因式：．9．若沒有平方根，則．10．方程：的解為11．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的大小關系是______________．12．把拋物線右平移1個單位長度，所得到的拋物線是．13．一個不透明的盒子里有n個除顏色外其它完全相同的小球，其中有8個黃球，m個白球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量的重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在，那么估計盒子中白球的個數(shù)．14．請舉一個反例說明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的：.15．如圖，在中，點在邊上，線段經(jīng)過重心，向量，向量，那么向量．（用向量、表示）16．一次統(tǒng)計七年級若干名學生每分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，根據(jù)這個直方圖，下面說法正確的是（請?zhí)顚懶蛱枺賲⒓訙y試的總人數(shù)是15人；②數(shù)據(jù)分組時的組距為25；③頻數(shù)最多的組的組中值為87次；④最后一組所占的百分比為；⑤第二組的頻數(shù)是4．17．如圖，為的角平分線，過點D作交于點E，如果，那么．18．如圖，在正方形中，，O為上一點，且，將線段繞點O逆時針旋轉（旋轉角小于），得到線段，連接并延長，交直線于點P，則的最小值為，最大值為．三、解答題：（本大題共7題，第19-22每題10分，第23-24每題12分，第25題14分，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）19．計算：20．解方程組：21．某小型企業(yè)獲得授權生產(chǎn)甲．乙兩種奧運吉祥物，生產(chǎn)每種吉祥物所需材料及所獲利潤如下表：種材料（）種材料（）所獲利潤（元）每個甲種吉祥物每個乙種吉祥物該企業(yè)現(xiàn)有種材料，種材料，用這兩種材料生產(chǎn)甲．乙兩種吉祥物共個．設生產(chǎn)甲種吉祥物個，生產(chǎn)這兩種吉祥物所獲總利潤為元．(1)求出（元）與（個）之間的函數(shù)關系式，并求出自變量的取值范圍：(2)該企業(yè)如何安排甲．乙兩種吉祥物的生產(chǎn)數(shù)量，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？22．綜合與實踐【任務】測量小水池的最大寬度，如圖1．【工具】一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．①皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）②測角儀的功能是測量角的大小．即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得的大小，如圖3．【操作實踐】步驟1：在小水池外選點C，如圖4，測得，；步驟2：分別在，上測得，；測得．【實踐探索】(1)請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，用你所學的數(shù)學知識計算出小水池的最大寬度；(2)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．（要求：測量得到的長度用字母a，b，表示，角度用，，表示）23．如圖，在中，點E在邊上，連接，在線段上取一點P，連接，．(1)求證：是矩形；(2)過點P作于點H，若，求證：．24．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是拋物線對稱軸上一點，點是平面內(nèi)任意一點，當以、、、為頂點的四邊形是矩形時，求點的坐標；(3)過點的直線交直線于點，連接，當直線與直線的夾角等于的2倍時，請直接寫出點的坐標．25．如圖，已知中，，，，點D是射線上一動點（不與A、B重合），過點D作，交射線于點E，點Q為中點，連接并延長，交射線于點P．(1)如圖，當點D在線段上時，①若，求的長；②當與相似時，求的長．(2)當是以為腰的等腰三角形時，試判斷以點A為圓心、為半徑的與以C為圓心、為半徑的的位置關系，并說明理由．備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（上海專用）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）123456BAABAB二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分.）7．8．9．/10．11．12．13．1214．矩形15．16．17．18．214三、解答題：（本大題共7題，第19-22每題10分，第23-24每題12分，第25題14分，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）19．解：．（10分）20．解：，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程組可化為或，故原方程組的解為，．（10分）21．（1）解：根據(jù)題意得，，由題意，解得：，自變量的取值范圍是且是整數(shù)；（2）由（1），，隨的增大而減小，又且是整數(shù)，當時，有最大值，最大值是（元），生產(chǎn)甲種吉祥物個，乙種吉祥物個，所獲利潤最大，最大為元．（10分）22．（1）解：由測量知，，，，，，又，，，又，；（2）解：測量過程：在小水池外選點C，如圖，用測角儀在點B處測得，在點A處測得；用皮尺測量得，求解過程：由測量知，在中，，，，過點C作，垂足為，在中，，即，所以，同理，，在中，，即，所以，所以，故小水池的最大寬度為．（10分）23．（1）證明：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是矩形（2）證明；∵于點H，，∴，由（1）知四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（12分）24．（1）解：∵拋物線與軸交于兩點，∴設，把代入得：，解得：，∴拋物線為：；（2）解：根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸為直線，設，則，當為矩形邊時，可得或，當時，則，即，解得：，則；當時，則，即，解得：，則；如圖，當為矩形對角線時，，四邊形是矩形，，則，即，解得：或，則或；綜上：或或或．（3）解：設直線的解析式為，則，解得：，故直線的解析式為，設，作的垂直平分線，垂足為，交于點，如圖所示．根據(jù)題意可得，當時，，，故符合條件．此時，，解得：，∴點的坐標為．作于點，作點關于點的對稱點．如圖所示．此時，則，故點符合條件．根據(jù)題意，∴，∵，∴，過點作于H，則，∴，∵點關于點N對稱，即點為線段的中點，∴點的坐標為．∴點的坐標為或．（12分）25．（1）解：①過點作，交于，如圖所示，，，，，，解得，，，，，，，在中，，，，點Q為中點，，，，，四邊形為矩形，，，，，．②當與相似時,過點作，交于，，，，，，，，，，，，，，設，則，，，點Q為中點，，，，，在中，，，，即，解得：，，在中，，，，．（2）解：當是以為腰的等腰三角形時，過點作于，過點作，交于，如圖所示，則，，點Q為中點，，，，，即為角平分線，，，，，設，，，，，，，，，，在中，設，，，，，在中，，即，解得，即，，，以點A為圓心、為半徑的，即半徑為與以C為圓心、為半徑的，即半徑為，，兩圓心距離，，兩圓的位置關系為外離．（14分）備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（上海專用）（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，共24分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．在0，，，，，（每相鄰兩個1之間的0逐次多1）這六個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1

個 B．2個 C．3個 D．4

個【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)的識別，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，由此判斷即可．【詳解】解：，所給六個數(shù)中，0，，，是有理數(shù)，，是無理數(shù)，共2個，故選B．2．如果把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（）A．不變 B．縮小3倍 C．擴大3倍 D．擴大9倍【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質，利用已知條件，代入原式變形化簡即可得出答案．利用分式的基本性質變形化簡得出答案．【詳解】如果把分式中的x和y都擴大3倍，得，．∴分式的值不變．故選：A．3．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的配方法的運用，掌握配方法的計算方法是解題的關鍵．找出一次項系數(shù)，在等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可．【詳解】解：，移項得，，等式兩邊同時加上得，，∴，故選：A．4．若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，則反比例函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對稱性確定交點坐標是解題的關鍵．根據(jù)題意得出，，再把代入即可得到答案．【詳解】解：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，兩點關于原點對稱，，，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為，故選：B．5．元旦聯(lián)歡會上，3名同學分別站在三個頂點的位置上．游戲時，要求在他們中間放一個凳子，該先坐到凳子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放置的最適當?shù)奈恢檬窃诘模?/p>

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊中線的交點 D．三邊上高的交點【答案】A【分析】本題考線段垂直平分線的性質，正確理解游戲的公平性是解題的關鍵．根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可得解．【詳解】解：3名同學站在一個三角形的三個頂點的位置上，要使游戲公平，那么凳子到三個人的距離相等才行，∴凳子應放的最適當?shù)奈恢檬窃诘娜叴怪逼椒志€的交點．故選：A．6．下列說法中，不正確的是（

）A．底角為的兩個等腰三角形相似B．一個兩邊長分別是6和4，另一個兩邊長分別是9和6，則這兩個直角三角形相似C．一個銳角為的兩個直角三角形相似D．有個角為的兩個等腰三角形相似【答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形內(nèi)角和，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)有兩角對應相等的兩個三角形相似判定A；根據(jù)三邊不對應成比例的三角形不相似判定B；根據(jù)有兩角對應相等的兩個三角形相似判定C；根據(jù)有兩角對應相等的兩個三角形相似判定D．【詳解】解：A、底角為的兩個等腰三角形，有兩底角對應相等，兩三角形相似，故此選項不符合題意；B、一個的斜邊為6，直角邊為4，則另一直角邊為，另一個兩直角邊長分別是9和6，則斜邊為，∵兩三角形三邊不對應成比例，∴兩三角形不相似，故此選項符合題意；C、一個銳角為的兩個直角三角形，有角和直角兩對應角相等，兩三角形相似，故此選項不符合題意；D、有個角為的兩個等腰三角形，它們頂角是，底角是，頂角與底角分別對應相等，兩三角形相似，故此選項不符合題意；故選：B．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，共48分.）7．比較大小：3（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】本題考查實數(shù)的比較大小，依據(jù)，然后根據(jù)被開方數(shù)大的數(shù)就大即可得出答案．【詳解】解：，∵，∴，故答案為：.8．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提取公因式2，然后根據(jù)平方差公式進行因式分解即可．【詳解】解：原式，故答案為：．9．若沒有平方根，則．【答案】/【分析】本題考查了平方根的意義，實數(shù)的性質，根據(jù)負數(shù)沒有平方根得出，即可求出m的取值范圍，再判斷的取值范圍，最后根據(jù)絕對值的性質化簡即可．【詳解】解：∵沒有平方根，∴，∴，∴，∴，故答案為：．10．方程：的解為【答案】【分析】本題考查解無理方程，需要注意對解進行檢驗．把方程兩邊平方去根號得一元二次方程，解得后將解代入方程檢驗．【詳解】解：，兩邊同時平方可得：，可化為：，可解得：或；經(jīng)檢驗不符，故答案為：．11．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的大小關系是______________．【答案】【分析】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握本一次函數(shù)性質是解題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質，當時，y隨x的增大而增大可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)中，，∴y隨著x的增大而增大．∵一次函數(shù)的圖象過點，，，∴，故答案為：．12．把拋物線右平移1個單位長度，所得到的拋物線是．【答案】【分析】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可求解．【詳解】解：將拋物線平移后得到的拋物線解析式為．故答案為：．13．一個不透明的盒子里有n個除顏色外其它完全相同的小球，其中有8個黃球，m個白球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量的重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在，那么估計盒子中白球的個數(shù)．【答案】12【分析】本題考查了利用頻率估計概率．利用大量重復試驗下事件發(fā)生的頻率可以估計該事件發(fā)生的概率，根據(jù)概率公式求出n，即可得的答案．【詳解】解：∵通過大量的重復摸球試險后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在，∴估計摸到白球的概率為，∴估計摸到黃球的概率為，∴（個），∴（個）．故答案為：12．14．請舉一個反例說明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的：.【答案】矩形【分析】本題考查的是命題與定理，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．根據(jù)矩形的性質、正多邊形的概念解答即可．【詳解】解：矩形的各角都是，即各角相等，但矩形不一定是正多邊形，則命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯誤的，故答案為：矩形．15．如圖，在中，點在邊上，線段經(jīng)過重心，向量，向量，那么向量．（用向量、表示）【答案】【分析】此題考查了平面向量的三角形法則和重心性質（三角形的重心是各中線的交點，重心性質是說三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中點的線段長的），先求解，，再利用三角形的重心的性質可得答案．【詳解】解：如圖，∵是中線，，∴，

∵，∴，根據(jù)三角形的重心性質，，∴；故答案為：．16．一次統(tǒng)計七年級若干名學生每分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，根據(jù)這個直方圖，下面說法正確的是（請?zhí)顚懶蛱枺賲⒓訙y試的總人數(shù)是15人；②數(shù)據(jù)分組時的組距為25；③頻數(shù)最多的組的組中值為87次；④最后一組所占的百分比為；⑤第二組的頻數(shù)是4．【答案】【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，能從頻數(shù)分布直方圖中獲取有用信息是解題的關鍵．將4組頻數(shù)相加的和與15比較即可判斷①是否正確；將相鄰的跳繩次數(shù)相減的差與25次比較即可判斷②是否正確；觀察頻數(shù)分布直方圖，找出頻數(shù)最多的對應組中值與87次比較即可判斷③是否正確；將最后一組的頻數(shù)除以總頻數(shù)與0.3比較即可判斷④是否正確；將頻數(shù)分布直方圖中第二組的頻數(shù)與4比較即可判斷⑤是否正確．【詳解】解：組頻數(shù)相加的和為：，正確；，正確；∵頻數(shù)最多的對應組中值是，不正確；，不正確；∵頻數(shù)分布直方圖中第二組的頻數(shù)是4，正確，故答案為：．17．如圖，為的角平分線，過點D作交于點E，如果，那么．【答案】【分析】本題主要考查了三角形相似的判定與性質、等角對等邊、角平分線的定義；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．由可得，得到，進而結合題干中的條件得到，即可求解．【詳解】解：∵∴，∴，又∵，∴，又∵為的角平分線，∴，∴∴．故答案為：．18．如圖，在正方形中，，O為上一點，且，將線段繞點O逆時針旋轉（旋轉角小于），得到線段，連接并延長，交直線于點P，則的最小值為，最大值為．【答案】214【分析】本題考查的是正方形的性質，相似三角形的判定與性質，切線長定理的應用，如圖，當與相切時，最小，則，如圖，當與相切于正方形外的點時，此時最大；再進一步求解即可．【詳解】解：∵正方形中，，∴，，如圖，當與相切時，最小，則，∴為的切線，，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴的最小值為：；如圖，當與相切于正方形外的點時，此時最大；同理可得：，∴的最大值為：；故答案為：2，．三、解答題：（本大題共7題，第19-22每題10分，第23-24每題12分，第25題14分，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）19．計算：【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、立方根，再進行加減計算即可．熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．【詳解】解：．20．解方程組：【答案】，【分析】先將第2個方程變形為x+6y＝0，x﹣y＝0，從而得到兩個二元一次方程組，再分別求解即可．【詳解】解：，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程組可化為或，故原方程組的解為，．21．某小型企業(yè)獲得授權生產(chǎn)甲．乙兩種奧運吉祥物，生產(chǎn)每種吉祥物所需材料及所獲利潤如下表：種材料（）種材料（）所獲利潤（元）每個甲種吉祥物每個乙種吉祥物該企業(yè)現(xiàn)有種材料，種材料，用這兩種材料生產(chǎn)甲．乙兩種吉祥物共個．設生產(chǎn)甲種吉祥物個，生產(chǎn)這兩種吉祥物所獲總利潤為元．(1)求出（元）與（個）之間的函數(shù)關系式，并求出自變量的取值范圍：(2)該企業(yè)如何安排甲．乙兩種吉祥物的生產(chǎn)數(shù)量，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)，且是整數(shù)(2)生產(chǎn)甲種吉祥物個，乙種吉祥物個，所獲利潤最大，最大為元【分析】（1）本題的等量關系是：總利潤生產(chǎn)甲吉祥物的利潤生產(chǎn)乙吉祥物的利潤，可根據(jù)此得出函數(shù)關系式，然后根據(jù)生產(chǎn)甲吉祥物用的材料生產(chǎn)乙吉祥物用的材料，生產(chǎn)甲吉祥物用的材料生產(chǎn)乙吉祥物用的材料，來列出不等式組求出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍，依據(jù)函數(shù)的性質判斷出最大利潤及生產(chǎn)方案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，由題意，解得：，自變量的取值范圍是且是整數(shù)；（2）由（1），，隨的增大而減小，又且是整數(shù)，當時，有最大值，最大值是（元），生產(chǎn)甲種吉祥物個，乙種吉祥物個，所獲利潤最大，最大為元．22．綜合與實踐【任務】測量小水池的最大寬度，如圖1．【工具】一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．①皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）②測角儀的功能是測量角的大?。丛谌我稽cO處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得的大小，如圖3．【操作實踐】步驟1：在小水池外選點C，如圖4，測得，；步驟2：分別在，上測得，；測得．【實踐探索】(1)請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，用你所學的數(shù)學知識計算出小水池的最大寬度；(2)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．（要求：測量得到的長度用字母a，b，表示，角度用，，表示）【答案】(1)(2)【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識．（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；（2）在小水池外選點C，如圖，用測角儀在點B處測得，在點A處測得；用皮尺測得，由此求解即可，【詳解】（1）解：由測量知，，，，，，又，，，又，；（2）解：測量過程：在小水池外選點C，如圖，用測角儀在點B處測得，在點A處測得；用皮尺測量得，求解過程：由測量知，在中，，，，過點C作，垂足為，在中，，即，所以，同理，，在中，，即，所以，所以，故小水池的最大寬度為．23．如圖，在中，點E在邊上，連接，在線段上取一點P，連接，．(1)求證：是矩形；(2)過點P作于點H，若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定、矩形的判定和性質、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質等知識點，掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理求出，再結合四邊形是平行四邊形即可證明結論；（2）由等腰三角形的性質推出，由矩形的性質得到，易得，由平行線的性質推出，于是，再結合即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是矩形（2）證明；∵于點H，，∴，由（1）知四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．24．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是拋物線對稱軸上一點，點是平面內(nèi)任意一點，當以、、、為頂點的四邊形是矩形時，求點的坐標；(3)過點的直線交直線于點，連接，當直線與直線的夾角等于的2倍時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)或或或(3)或【分析】（1）由拋物線與軸交于兩點，設，再把代入利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分兩種情況討論：如圖，當為矩形邊時，當為矩形對角線時，如圖，再結合圖形求解即可．（3）作的垂直平分