高中數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)精要與習(xí)題演練引言：函數(shù)——高中數(shù)學(xué)的基石與靈魂函數(shù)，作為貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，其思想與方法滲透在代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等各個(gè)分支。從簡(jiǎn)單的一次函數(shù)到復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，從靜態(tài)的圖像分析到動(dòng)態(tài)的變化研究，函數(shù)的魅力在于它能精準(zhǔn)地描述現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律。本復(fù)習(xí)資料旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理函數(shù)的核心知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，提升解題能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清障礙。我們將從函數(shù)的基本概念出發(fā)，逐步深入其性質(zhì)、圖像及應(yīng)用，并輔以精選習(xí)題，力求做到溫故知新，融會(huì)貫通。第一部分：函數(shù)的基本概念與表示一、函數(shù)的定義：從對(duì)應(yīng)關(guān)系到集合映射函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。核心要素解析：1.定義域(Domain)：自變量x的取值范圍，即集合A。它是函數(shù)的“源頭”，任何函數(shù)問題的解決都必須首先考慮定義域。常見的限制條件有：分式分母不為零；偶次根式被開方數(shù)非負(fù)；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；零次冪的底數(shù)不為零等。2.對(duì)應(yīng)法則(RuleofCorrespondence)：即f，它是函數(shù)的“核心”，決定了輸入x如何轉(zhuǎn)化為輸出y。理解對(duì)應(yīng)法則的關(guān)鍵在于明確“對(duì)于每一個(gè)x，y是如何被唯一確定的”。3.值域(Range)：函數(shù)值y的集合{f(x)|x∈A}，即集合B的子集。它由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同決定，是函數(shù)的“結(jié)果”。思考與辨析：*如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)？（定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同）*“y=f(x)”中各個(gè)符號(hào)的含義是什么？二、函數(shù)的表示方法：多角度呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系函數(shù)的表示方法是溝通函數(shù)概念與圖像、運(yùn)算的橋梁。1.解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如y=2x+1，y=x2-3x+2等。其優(yōu)點(diǎn)是精確、便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。2.列表法：通過列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是直觀、便于查詢特定值。3.圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是形象、能直觀反映函數(shù)的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)。注：三種表示方法各有優(yōu)劣，在解決實(shí)際問題時(shí)，常常需要靈活轉(zhuǎn)換與綜合運(yùn)用。解析法是我們研究函數(shù)性質(zhì)的主要依據(jù)，圖像法則能為我們提供直觀的幾何背景。第二部分：函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)研究的核心內(nèi)容，它們揭示了函數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。一、單調(diào)性：函數(shù)的增減趨勢(shì)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。區(qū)間D稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間。理解要點(diǎn)：*單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，談?wù)搯握{(diào)性必須指明區(qū)間。*定義中的x?，x?具有任意性，不能用特殊值代替。*判斷方法：1.定義法：取值、作差（或作商）、變形、定號(hào)、下結(jié)論。2.圖像法：觀察函數(shù)圖像在某區(qū)間內(nèi)是上升還是下降。3.導(dǎo)數(shù)法：（后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，是判斷單調(diào)性的有力工具）應(yīng)用：比較大小、解不等式、求函數(shù)最值等。二、奇偶性：函數(shù)圖像的對(duì)稱性定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。理解要點(diǎn)：*奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。*偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*判斷步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2.計(jì)算f(-x)，并與f(x)、-f(x)比較。常見結(jié)論：*既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是f(x)=0（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。*在公共定義域內(nèi)：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。三、周期性：函數(shù)值的重復(fù)出現(xiàn)定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。理解要點(diǎn)：*周期T必須是非零常數(shù)。*定義域必須是無界的（至少在一個(gè)方向上可以無限延伸）。*若T是周期，則kT（k∈Z，k≠0）也是周期。常見函數(shù)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為2π；正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為π。四、最值：函數(shù)的峰值與谷值定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），且存在x?∈I，使得f(x?)=M，那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（或最小值）。求最值的常用方法：1.圖像法：觀察函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。2.單調(diào)性法：若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；若單調(diào)遞減，則反之。3.配方法：適用于二次函數(shù)等可化為完全平方式的函數(shù)。4.基本不等式法：（滿足“一正二定三相等”條件時(shí)）5.導(dǎo)數(shù)法：（后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，是求復(fù)雜函數(shù)最值的主要方法）第三部分：基本初等函數(shù)我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函數(shù)主要是基本初等函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)。一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)1.一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)*定義域：R*值域：R*圖像：一條直線，k為斜率，b為y軸截距。*性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。*特殊情況：當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx(k≠0)，為正比例函數(shù)，是奇函數(shù)。2.反比例函數(shù)：y=k/x(k≠0)*定義域：(-∞,0)∪(0,+∞)*值域：(-∞,0)∪(0,+∞)*圖像：雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）。*性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞增。二、二次函數(shù)解析式：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。*零點(diǎn)式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?，x?是函數(shù)的零點(diǎn)。定義域：R值域：*當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閇k,+∞)（k為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）*當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?-∞,k]圖像：拋物線，對(duì)稱軸為x=-b/(2a)（或x=h），頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))（或(h,k)）。性質(zhì)：*對(duì)稱性：關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。*單調(diào)性：當(dāng)a>0時(shí)，在(-∞,h]上單調(diào)遞減，在[h,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，在(-∞,h]上單調(diào)遞增，在[h,+∞)上單調(diào)遞減。*最值：當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)取得最值k。二次函數(shù)的零點(diǎn)：即方程ax2+bx+c=0的實(shí)根。判別式Δ=b2-4ac。*Δ>0：兩個(gè)不相等的實(shí)根。*Δ=0：兩個(gè)相等的實(shí)根。*Δ<0：無實(shí)根。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：關(guān)鍵在于判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求解。三、冪函數(shù)（簡(jiǎn)單介紹）定義：y=x^α(α為常數(shù)，α∈R)常見冪函數(shù)：y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x^(-1)等。*重點(diǎn)掌握這幾個(gè)常見冪函數(shù)的定義域、值域、圖像特征和單調(diào)性。*圖像都過點(diǎn)(1,1)。四、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a≠1)*定義域：R*值域：(0,+∞)*圖像：過點(diǎn)(0,1)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。*性質(zhì)：非奇非偶函數(shù)，圖像恒在x軸上方。2.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>0且a≠1)*定義域：(0,+∞)*值域：R*圖像：過點(diǎn)(1,0)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。*性質(zhì)：非奇非偶函數(shù)。*與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。注：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要熟練掌握其運(yùn)算性質(zhì)、圖像變換及應(yīng)用。自然指數(shù)函數(shù)y=e^x和自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx（底數(shù)為e，e為無理數(shù)，約等于2.718）尤為重要。五、三角函數(shù)（正弦、余弦、正切函數(shù)）*正弦函數(shù)：y=sinx*余弦函數(shù)：y=cosx*正切函數(shù)：y=tanx*定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、圖像特征是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。*三角函數(shù)是描述周期性變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。第四部分：函數(shù)的圖像及其變換函數(shù)圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，掌握?qǐng)D像變換規(guī)律對(duì)于理解和運(yùn)用函數(shù)至關(guān)重要。一、基本圖像：熟練掌握各類基本初等函數(shù)的圖像。二、圖像變換：1.平移變換：*y=f(x)→y=f(x+a)：向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位。*y=f(x)→y=f(x)+b：向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位。2.伸縮變換：*y=f(x)→y=f(ωx)(ω>0)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/ω倍（ω>1時(shí)壓縮，0<ω<1時(shí)拉伸）。*y=f(x)→y=Af(x)(A>0)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（A>1時(shí)拉伸，0<A<1時(shí)壓縮）。3.對(duì)稱變換：*y=f(x)→y=-f(x)：關(guān)于x軸對(duì)稱。*y=f(x)→y=f(-x)：關(guān)于y軸對(duì)稱。*y=f(x)→y=-f(-x)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*y=f(x)→y=f(|x|)：保留y軸右側(cè)圖像，并將右側(cè)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱到左側(cè)。*y=f(x)→y=|f(x)|：保留x軸上方圖像，將x軸下方圖像翻折到上方。注：圖像變換往往是多種變換的組合，要注意變換的順序和每一步變換對(duì)解析式的影響。第五部分：函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用廣泛，主要包括：*利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題（數(shù)學(xué)建模）。*函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用。*函數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模步驟：審題→抽象概括→建立函數(shù)模型→求解模型→檢驗(yàn)并回答實(shí)際問題。第六部分：練習(xí)題一、基礎(chǔ)鞏固1.求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)(2)g(x)=log?(x+1)/(x-3)2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=x3-x(2)g(x)=|x+1|+|x-1|(3)h(x)=(1+x2)/(x)(x≠0)3.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。(2)若x∈[t,t+2]，求函數(shù)f(x)的最小值（用t表示）。4.比較大?。?1)log?3與log?5(2)(1/2)^0.3與(1/2)^0.4(3)log?2與log?45.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。二、能力提升1.已知函數(shù)f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=1/2。(1)求函數(shù)f(x)的解析式。(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。2.已知函數(shù)f(x)=log?(2-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。3.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值為8，求二次函數(shù)f(x)的解析式。4.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+2|(a為常數(shù))。(1)若a=1，求不等式f(x