第三章圓錐曲線的方程章節(jié)綜合檢測（提高卷）一、單選題1．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1B．2C．4D．6【答案】C【詳解】由，可得其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為則，解得，故選：C.2．若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.3．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.4．若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（

）．A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等【答案】B【詳解】解：橢圓，可知，，，長軸長是10，短軸長是6；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是；離心率是：．橢圓中，，，，長軸長是，短軸長是；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是；離心率是．橢圓與橢圓關(guān)系為有相等的焦距．故選：B．5．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)焦點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為（

）A．－4 B．－3 C． D．－2

【答案】D【詳解】如圖，連接，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，，在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故選：D6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得,所以.因?yàn)椋允堑冗吶切?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以.所以.所以所以拋物線的方程是.故選：C7．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據(jù)可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線上，設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題知，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.二?多選題9．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．直線與相切C．若，則的最小值為D．若，則的周長的最小值為11【答案】BCD【詳解】解：拋物線：，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；設(shè)點(diǎn)，所以，所以，故C正確；如圖過點(diǎn)作準(zhǔn)線，交于點(diǎn)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：BCD10．已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值【答案】ABC【詳解】解：設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對于A選項(xiàng)，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，正確；對于B選項(xiàng)，記，則，由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，B正確；對于C選項(xiàng)，由于，故，所以，C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)，則，，于是,故錯(cuò)誤.故選：ABC11．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為B．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得C．過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為8D．若P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為2【答案】BC【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，所以，即，所以橢圓C的離心率，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，且，又，，所以，，因此，令，可得，故B正確；對于選項(xiàng)C，由橢圓的定義可得，因此的周長為，故C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，由題意可得點(diǎn)到圓的圓心的距離，因?yàn)?，所以則，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三?填空題12．已知橢圓：的焦點(diǎn)為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，以，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好也在橢圓上，則______．【答案】【詳解】依題意可知，設(shè)，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，且直線的傾斜角為60°，所以，所以，，，所以，將其代入，得，又因?yàn)?，所以，．故答案為?3．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_____________．【答案】【詳解】設(shè)橢圓設(shè)由橢圓的定義可得，可得取的中點(diǎn)，連接，則由勾股定理可得即為將帶入上式化簡可得，所以，所以，所以或者，所以或（舍），所以.故答案為：．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，，分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若的周長為16，則當(dāng)雙曲線的實(shí)軸長為______時(shí)，取得最大值______．【答案】

4

4【詳解】解：因?yàn)榈闹荛L為16，且，所以的周長為32，將代入雙曲線得，解得，所以，因?yàn)棰?，②，所以?②得，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)雙曲線的實(shí)軸長為4時(shí)，取得最大值4，故答案為：4；4四、解答題15．設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或(1)由題意知，，且，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由題意知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由得，則……①，……②，因?yàn)?，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直線的方程為或，故答案為：，或.16．已知點(diǎn)?分別是橢圓C：）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，當(dāng)∠PF1F2=時(shí)，面積達(dá)到最大，且最大值為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)3(1)△PF1F2面積達(dá)到最大時(shí)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，而此時(shí)∠PF1F2=，故面積最大時(shí)為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)設(shè)，則由可得，此時(shí)恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即的最大值為3.17．如圖，橢圓：的離心率是，短軸長為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．【答案】(1)橢圓，拋物線(2)（1）解：根據(jù)題意得：，解得，，，所以，拋物線焦點(diǎn)，所以，橢圓，拋物線（2）解：設(shè)，聯(lián)立與橢圓，整理得：，

判別式：弦長公式：點(diǎn)到直線的距離為所以聯(lián)立與拋物線，整理得：，判別式：弦長公式：，點(diǎn)到直線的距離為所以，因?yàn)?，即，解得?所以，直線在軸上截距或，所以，直線在軸上截距取值范18．已知，如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓雉曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為曲線所在圓雉曲線的焦點(diǎn)(1)若，求曲線的方程;(2)如圖，作斜率為正數(shù)的直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)和(2)，（1）解：因?yàn)?，，所以，解得，所以曲線的方程為和；（2）解：曲線的漸近線為，設(shè)直線則又由數(shù)形結(jié)合知，所以設(shè)點(diǎn)，，，則所以，，所以，即點(diǎn)的軌跡為，；19．已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)，使得直線TM，T