中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《銳角三角函數(shù)》題庫試題考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（5小題，每小題4分，共計20分）1、如圖所示，九（二）班的同學(xué)準(zhǔn)備在坡角為α的河堤上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為8m，那么這兩棵樹在坡面上的距離AB為（）A．8m B．m C．8sinam D．m2、如圖，飛機(jī)于空中A處測得目標(biāo)B處的俯角為，此時飛機(jī)的高度AC為a，則A，B的距離為（）A．a(chǎn)tan B． C． D．cos3、如圖要測量小河兩岸相對的兩點(diǎn)P，A的距離，點(diǎn)P位于點(diǎn)A正北方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)A的北偏西46°，若測得PC＝50米，則小河寬PA為（）A．50sin44°米 B．50cos44° C．50tan44°米 D．50tan46°米4、球沿坡角的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（）．A．米 B．米 C．米 D．米5、如圖，中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，連接，以為直徑的圓交于點(diǎn)．若長為4，則線段長的最小值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題80分）二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）1、如圖，中，，D為邊上一動點(diǎn)（不與B，C重合），和的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接、、和、與的交點(diǎn)記為點(diǎn)F．下列說法中，①；②；③；④當(dāng)時，，正確的是__________（填所有正確選項的序號）2、如圖，ABC中，∠BAC＞90°，BC＝4，將ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在BA的延長線上，若sin∠AC＝0.8，則AC＝___．3、已知正方形ABCD中，AB＝2，⊙A是以A為圓心，1為半徑的圓，若⊙A繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），則當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓與正方形ABCD的邊相切時，α＝_____．4、如圖，“心”形是由拋物線和它繞著原點(diǎn)O，順時針旋轉(zhuǎn)60°的圖形經(jīng)過取舍而成的，其中頂點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)A，B是兩條拋物線的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則_______________．5、如圖所示，河堤的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，m，點(diǎn)A到BC的距離為m，斜坡AB的坡度為1：3，斜坡CD的坡角為45°，則四邊形ABCD的面積為__________．三、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M的⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)，交OM的反向延長線于點(diǎn)N．（1）求經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式．（2）如圖①，點(diǎn)E為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，連接EN，判斷直線EN與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖②，連接MD、BD，過點(diǎn)D的直線交拋物線于點(diǎn)P，且，直接寫出直線DP的解析式．2、如圖，在?ABCD中，過B作BE⊥CD于點(diǎn)E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠AFB＝∠D．（1）求證：△ABF∽△EAD．（2）若，AD＝6，∠BAE＝30°，求BF的長．3、（1）計算：2?cos30°﹣（﹣1）2021；（2）解方程組：．4、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動．以PQ為底邊向下作等腰Rt△PQR，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜4）．（1）直接寫出AB的長；（2）用含t的代數(shù)式表示BP的長；（3）當(dāng)點(diǎn)R在△ABC的內(nèi)部時，求t的取值范圍．5、6、如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝40cm，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∠ACD＝75°．（1）求點(diǎn)C到AB的距離；（2）求線段AD的長度．-參考答案-一、單選題1、B【分析】運(yùn)用余弦函數(shù)求兩樹在坡面上的距離AB．【詳解】解：∵坡角為α，相鄰兩樹之間的水平距離為8米，∴兩樹在坡面上的距離（米）．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形中的坡度坡角問題及學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力．2、C【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)，即可求得【詳解】解：飛機(jī)于空中A處測得目標(biāo)B處的俯角為，AC為a，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的應(yīng)用，俯角的意義，掌握正弦的概念是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】先根據(jù)AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函數(shù)AP=米即可．【詳解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=，PC=50米，∴AP=米．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查測量問題，掌握測量問題經(jīng)常利用三角函數(shù)求邊，熟悉銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．4、A【分析】過鉛球C作CB⊥底面AB于B，在Rt△ABC中，AC=5米，根據(jù)銳角三角函數(shù)sin31°=，即可求解．【詳解】解：過鉛球C作CB⊥底面AB于B，如圖在Rt△ABC中，AC=5米，則sin31°=，∴BC=sin31°×AC=5sin31°．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．5、D【分析】如圖，連接由為直徑，證明在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的上運(yùn)動，連接交于點(diǎn)則此時最小，再利用銳角的正弦與勾股定理分別求解，即可得到答案.【詳解】解：如圖，連接由為直徑，在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的上運(yùn)動，連接交于點(diǎn)則此時最小，，，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓外一點(diǎn)與圓的最短距離的理解，銳角的正弦的應(yīng)用，掌握“圓外一點(diǎn)與圓的最短距離求解線段的最小值”是解本題的關(guān)鍵.二、填空題1、①②【解析】【分析】先證∠AED=90°，再利用∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，得出∠2=∠3可判斷①；利用∠EAF和∠3的余弦值相等判斷②；利用△ACD∽△AEF及勾股定理可判斷③；設(shè)BM=a，用含a的式子表示出ED2和【詳解】∵AC=BC，∠C=90°，∴∠3+∠DAB=∠CAB=∠ABC=45°，∵和的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴AE=ED=BE，∠∴∠1=∠2，∠1+CBA=∠EDB∴∠CAB+∠2=∠1+CBA，∴∠EDB=∠CAE，∵∠EDB+∠CDE=180°，∴∠CAE+∠CDE=180°，∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠AED=360°，∴∠C+∠AED=90°，∵∠C=90°，∴∠AED=90°，∵AE=ED，∴∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，∴∠2=∠3，∴△ACD∽△AEF，故①正確；∵△AED為等腰直角三角形，∴AD=2AE=ED，∴cos∠EAF=cos∠3=ACAD∴，故②正確；∵△ACD∽△AEF，∴ACAD=AEAF，在Rt△AED中，AE∴ACAD∴22∴AD∵BE∥AD，∴BFAF∴BFAB∴S△DFB∵BE∥AD，∴∠DAB=∠1，∴∠2+∠1=∠1+∠DAB=45°，過點(diǎn)B作BM⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)M，∵∠MEB=∠2+∠1=45°，∴EM=BM，設(shè)BM=a，則EM=a，∴BE=a，∴AE=a，∴AB2=AM2∵ED∴ED2AB故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)值等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．2、5【解析】【分析】作CD⊥BB′于D，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CB＝CB′＝4，∠BCB′＝90°，則可判定△BCB′為等腰直角三角形，可由CD＝BC·sin∠B求出CD＝4，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義求AC即可．【詳解】解：作CD⊥BB′于D，如圖，∵△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長線上，∴BC＝B′C＝4，∠BCB′＝90°，∴△BCB′為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠B=22在Rt△ACD中，∵sin∠DAC＝＝0.8，∴AC＝CD0.8故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．3、30°，60°或120°【解析】【分析】根據(jù)題意得，可分三種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓A'與正方形ABCD的邊AB相切時，與邊CD也相切；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓與正方形ABCD的邊AD相切時，與邊BC也相切；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓與正方形ABCD的邊BC相切時，即可求解．【詳解】∵正方形ABCD中AB=2，圓A是以A為圓心，1為半徑的圓，∴當(dāng)圓A繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）過程中，圓A與正方形ABCD的邊相切時，可分三種情況討論：如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓A'與正方形ABCD的邊AB相切時，與邊CD也相切，設(shè)圓與正方形ABCD的邊AB相切于點(diǎn)E，連接E，B，則在Rt△EB中，E=1，B=2，∴，∴∠BE=30°，即∠α=30°；如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓與正方形ABCD的邊AD相切時，與邊BC也相切，設(shè)圓與正方形ABCD的邊BC相切于點(diǎn)F，連接F，B，則，∴在中，，∴∠BF=30°，∴∠α=∠BA=∠ABC-∠BF=60°；如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圓與正方形ABCD的邊BC相切時，設(shè)切點(diǎn)為G，連接，則，∴在中，，∴∠BG=30°，∴∠α=∠BA=∠ABC+∠BG=120°綜上，旋轉(zhuǎn)角α=30°，60°或120°．故答案為：30°，60°或120°【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．4、【解析】【分析】連接OD，做BP⊥x軸，垂足為M，作AP⊥y軸，垂足為N，AP、BP相交于點(diǎn)P．根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖和“心”形的對稱性得到∠COB=30°，∠BOG=60°，設(shè)OM=m，得到點(diǎn)B坐標(biāo)為，把點(diǎn)B代入，求出m，即可得到點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出AB．【詳解】解：如圖，連接OD，做BP⊥x軸，垂足為M，作AP⊥y軸，垂足為N，AP、BP相交于點(diǎn)P．∵點(diǎn)C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)D，∴∠COD=60°，由“心”形軸對稱性得AB為對稱軸，∴OB平分∠COD，∴∠COB=30°，∴∠BOG=60°，設(shè)OM=m，在Rt△OBM中，BM=,∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B在拋物線上，∴，解得，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴AP=，BP=9，在Rt△ABP中，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)、軸對稱、勾股定理、三角函數(shù)等知識，綜合性較強(qiáng)，理解題意，表示出點(diǎn)B坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．5、40m2【解析】【分析】過A作AE⊥BC于E，DF⊥BC與F，先證四邊形AEFD為矩形，得出AE=DF=4m，AD=EF=2m，根據(jù)斜坡AB的坡度為1：3，求出BE=3AE=3×4=12m，根據(jù)斜坡CD的坡角為45°，求出CF=DF=4m，再求BC=BE+EF+FC=18m，然后利用梯形面積公式計算即可．【詳解】解：過A作AE⊥BC于E，DF⊥BC與F，∴∠AEF=∠DFE=90°，∵AD∥BC，∴∠ADF+∠DFE=180°，∴∠ADF=180°-∠DFE=180°-90°=90°，∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∴四邊形AEFD為矩形，∴AE=DF=4m，AD=EF=2m，∵斜坡AB的坡度為1：3，∴tan∠ABE=，∴BE=3AE=3×4=12m，∵斜坡CD的坡角為45°，∴tan∠C=，∴CF=DF=4m，∴BC=BE+EF+FC=12+2+4=18m，∴四邊形ABCD的面積為．故答案為40m2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，坡度，坡角，斜坡，銳角正切函數(shù)，矩形判定與性質(zhì)，梯形面積公式，掌握解直角三角形的應(yīng)用，坡度，坡角，斜坡，銳角正切函數(shù)，矩形判定與性質(zhì)，梯形面積公式，關(guān)鍵是利用輔助線把梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形來解．三、解答題1、（1）；（2）直線EN與⊙O相切，理由見解析；（3）或【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)圓和勾股定理的性質(zhì)，計算得圓的半徑，從而得，；根據(jù)拋物線軸對稱的性質(zhì)，得經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線，對稱軸為：；通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，計算得；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)，得，；根據(jù)圓的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理的逆定理，通過，推導(dǎo)得，結(jié)合圓的切線的定義，即可得到答案；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，分當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)大于0和小于0兩種情況，根據(jù)圓周角、圓心角的性質(zhì)，推導(dǎo)得；根據(jù)含角直角三角形和勾股定理的性質(zhì)，計算得點(diǎn)坐標(biāo)，再通過待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，即可得到答案．【詳解】（1）∵⊙O過點(diǎn)M∴∵⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），∴∴，∴經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線，對稱軸為：∵⊙O交OM的反向延長線于點(diǎn)N∴設(shè)經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線為：∴經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線，對稱軸為：∴∴∴∴∴經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線為：；（2）經(jīng)過A、N、B三點(diǎn)的拋物線為：，且對稱軸為：∴當(dāng)時，拋物線取最小值，即∴，∵∴∵∴∴∴直線EN與⊙O相切；（3）∵∴∴如圖，當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)大于0時，直線交⊙O于點(diǎn)Q，連接，過點(diǎn)Q作，交OB于點(diǎn)K∴∴∵，，∴∴∴∴設(shè)直線DP的解析式為：∴∴∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)小于0時，直線交⊙O于點(diǎn)Q，連接，過點(diǎn)Q作，交OB于點(diǎn)K∴∵，，∴∴∴∴設(shè)直線DP的解析式為：∴∴∴；∴直線DP的解析式為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、二次函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理、直角三角形、軸對稱、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、圓周角、圓心角、二次函數(shù)圖像、勾股定理及其逆定理、切線、特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．2、（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，推，再根據(jù)，證三角形相似，用的是兩角對應(yīng)相等兩個三角形相似；（2）先根據(jù)，推，在直角三角形中，用三角函數(shù)求出的長，再根據(jù)，得比例線段，把已知的線段代入計算即可．【詳解】（1）證明：四邊形為平行四邊形，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判斷，三角函數(shù)的應(yīng)用與相似比例線段的結(jié)合．3、（1）﹣1；（2）．【解析】【分析】（1）利用二次根式性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及乘方的意義計算即可得到結(jié)果；（2）利用代入消元法求出解即可．【詳解】解：（1）原式＝2﹣2﹣2×﹣（﹣1）＝2﹣2﹣+1＝﹣1；（2），由①得：x＝﹣2y﹣3③，把③代入②得：﹣6y﹣9＝y(tǒng)+5，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入③得：x＝1，則方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)計算和解方程組，解題關(guān)鍵是熟記特殊角三角函數(shù)值，熟練運(yùn)用負(fù)指數(shù)、二次根式和解二元一次方程組的方法求解．4、（1）AB＝5cm；（2）當(dāng)0＜t≤時，BP＝5﹣2t，當(dāng)＜t＜4時，BP＝2t﹣5；（3）＜t＜．【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得答案；（2）分0＜t≤和t＜4兩種情況列式即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以BC、AC所在的直線為x，y軸建立坐標(biāo)系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，求出此時t的值即可解決問題；【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝＝5（cm）；（2）當(dāng)0＜t≤時，BP＝AB﹣AP＝5﹣2t，當(dāng)t＜4時，BP＝2t﹣AB＝2t﹣5；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，R在△ABC外部，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以BC、AC所在的直線為x，y軸建立坐標(biāo)系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，∴∠E＝∠G＝90°，∴∠PRE+∠RPE＝90°，∵∠PRQ＝90°，∴∠PRE+∠GRQ＝90°，∴∠RPE＝∠GRQ，∵PR＝QR，∴△PER≌△RGQ（AAS），∴PE＝RG，ER＝GQ，∵AP＝2t，sin∠BAC＝，cos＝，∴PD＝2t?sin∠BAC＝，AD＝2t?cos∠BAC＝，設(shè)點(diǎn)R（x，y），∴PE＝﹣，RG＝y(tǒng)﹣t，GQ＝﹣x，ER＝4﹣﹣y，∴，