2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)分層優(yōu)化練專題02全等三角形的九大模型一、全等三角形的常用模型模型一：平移模型模型①加(減)共線部分，得到一組對(duì)應(yīng)邊相等；②利用平行線性質(zhì)找對(duì)應(yīng)角相等模型二：翻折(軸對(duì)稱)模型翻折(軸對(duì)稱)模型的直線或公共邊折疊，兩①通過(guò)公共角、垂直、對(duì)頂角、等腰三角形等條件得對(duì)應(yīng)角相等；②通過(guò)公共邊、中點(diǎn)、等邊等條件得對(duì)應(yīng)邊相等模型三：手拉手模型模型兩個(gè)頂角相等的等腰三角形頂角頂點(diǎn)重合，左底角模型四：半角模型半角模型較大角的兩邊相等.通過(guò)作輔助線將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并延長(zhǎng)一邊，構(gòu)造全等三角形，關(guān)系模型五：一線三等角模型等角模型左圖，兩個(gè)三角形有一條邊右圖，同一直線上有三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)，∠1＝2＝∠3利用三角形內(nèi)角和為180°和內(nèi)、外角關(guān)系，通過(guò)等角代換得到一組相等的角，利用AAS模型六：雨傘模型雨傘模型通過(guò)延長(zhǎng)線段與直線相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)C，證明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD平行線中點(diǎn)模型平行線之間夾中點(diǎn)，通過(guò)延長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段與平行線相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)PO交CD于點(diǎn)Q，證明△POE≌△QOF模型九：婆羅摩笈多模型向外作雙等腰直角三角形（知中點(diǎn)，證垂直）條件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)方法：倍長(zhǎng)中線AF結(jié)論：AF⊥DE，DE＝2AF向外作雙等腰直角三角形（知垂直，證中點(diǎn)）條件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC方法：作DM⊥AF，EN⊥AF結(jié)論：G是DE的中點(diǎn)，BC＝2AG向內(nèi)作雙等腰直角三角形（知中點(diǎn)，證垂）條件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)方法：倍長(zhǎng)中線AF結(jié)論：AF⊥DE，DE＝2AF向內(nèi)作雙等腰直角三角形（知垂直，證中點(diǎn)）條件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC方法：作DM⊥AF，EN⊥AF結(jié)論：G是DE的中點(diǎn)，BC＝2AG【模型1平移模型】 例1．如圖，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．求證：△AFB≌△CFD．【變式11】．已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD．（1）求證：EC=FD；（2）若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度數(shù)．【變式12】．如圖，點(diǎn)B,E,C,（1）求證：△ABC?△（2）若∠D=45°，求【變式13】．如圖1，△ABC和△DEF是兩塊可完全重合的三角板，∠BAC=∠FDE=90°，∠ABC=∠DEF=30°.在如圖1所示的狀態(tài)下，△DEF固定不動(dòng)，將△ABC沿直線a向左平移.（1）當(dāng)△ABC移到圖2位置時(shí)，連解AF、DC，求證：AF=DC；（2）若EF=8，在上述平移過(guò)程中，試猜想點(diǎn)C距點(diǎn)E多遠(yuǎn)時(shí)，線段AD被直線a垂直平分。并證明你的猜想是正確的?！灸Ｐ?翻折(軸對(duì)稱)模型】 例2．如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，△ACD沿直線CD翻折，點(diǎn)A恰好落在直線BC上F處．（1）如圖2，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，①求∠EDB的度數(shù)；②求證：CD=2BE；（2）當(dāng)∠ABC=2∠BAC時(shí)，若AC=a，BC=b，求△BDF的周長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）【變式21】．根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).如何制作風(fēng)箏?素材一風(fēng)箏的制作技藝是中國(guó)傳統(tǒng)工藝，為了讓同學(xué)們感受傳統(tǒng)工藝的魅力，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行風(fēng)箏制作.素材二風(fēng)箏由骨架、風(fēng)箏面、尾巴、提線、放飛線五部分構(gòu)成，如圖，是小明制作的風(fēng)箏骨架模型圖(為軸對(duì)稱圖形)的一部分，其中直線l為對(duì)稱軸.問(wèn)題解決任務(wù)一請(qǐng)你畫(huà)出風(fēng)箏完整的骨架ABCD；任務(wù)二連接BD交AC于點(diǎn)O，有以下結(jié)論，其中一定正確的有結(jié)論有▲；(填寫序號(hào))①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC；⑤OA=OC.任務(wù)三已知竹條AC的長(zhǎng)為60cm，與其垂直的竹條長(zhǎng)為30cm，若給風(fēng)箏骨架ABCD的正反兩面都粘上絹布形成風(fēng)箏面，求絹布的面積.【變式22】．如圖，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：∠B＝∠C；（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度數(shù)．【變式23】．如圖，將△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則圖中全等的三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【模型3手拉手模型】 例3．如圖1，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)G，與CE交于點(diǎn)F．（1）求證：BD=CE；（2）∠BFC=度；（3）如圖2，連接FA，F(xiàn)A平分∠BFE嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式31】．已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上，CD∥AB，且CD=BE．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）判斷△ADE的形狀，并說(shuō)明理由．【變式32】．．如圖①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于點(diǎn)M，連接（1）求證：BE=AD；（2）用含?α?的式子表示∠AMB的度數(shù)；（3）當(dāng)α=90°時(shí)，AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，連接CP，CQ，【變式33】．．綜合與實(shí)踐（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，已知△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)及線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BE=4，CM=3，則四邊形ABEC的面積為．【模型4半角模型】 例4．操作：如圖，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)，連接MN.（1）探究：線段BM，MN，CN之間的關(guān)系，并加以證明.（2）若點(diǎn)M，N分別是射線AB，CA上的點(diǎn)，其他條件不變，再探索線段BM，MN，NC之間的關(guān)系.【變式41】．．半角模型半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等，通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問(wèn)題的本質(zhì).（1）問(wèn)題背景如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論.他的結(jié)論應(yīng)是.（2）探索延伸如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）實(shí)際應(yīng)用如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.【變式42】．如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠EAF＝45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法。小明為了解決線段EF，BE，DF之間的關(guān)系，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后解決了這個(gè)問(wèn)題。（1）請(qǐng)直接寫出線段EF，BE，DF之間的關(guān)系.（2）如圖3，等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BD上，且∠EAF=45°，請(qǐng)寫出EF，BE，DF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.【變式43】如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，求證：EF＝BE﹣【模型5一線三等角模型】 例5．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直線l過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為（1）求證：EF=BF-AE；（2）若BF=3AE，EF=4，直接寫出△BFC的面積．【變式51】．如圖，在Rt△ABC中，LBAC=90°，AB=AC，P為斜邊BC上的一點(diǎn)(PB<CP)，分別過(guò)點(diǎn)B，C作BE⊥AP于點(diǎn)E，CD⊥AP于點(diǎn)D．（1）求證：AD=BE．（2）若AE=2DE=2，求△ABC的面積．【變式52】．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．由∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠D=90°，得∠BAC=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，可以推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC=______，BC=______．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為5,1，若△AOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【深入探究】（3）如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC、DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G，求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．【變式53】．“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個(gè)相等的情況，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)，還經(jīng)常會(huì)伴隨著出現(xiàn)全等三角形．根據(jù)對(duì)材料的理解解決以下問(wèn)題∶（1）如圖1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC．猜想DE，AD，BE之間的關(guān)系：（2）如圖2，將（1）中條件改為∠ADC=∠CEB=∠ACB=α(90°<α<180°)，AC=BC，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=2，BF=5，請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng)．【模型6雨傘模型】 例6．雨傘的側(cè)面圖如圖所示，傘背AB=AC，支撐桿OE=OF，AE=14AB，AF=14AC，當(dāng)O點(diǎn)沿AD滑動(dòng)時(shí)，雨傘開(kāi)閉；在雨傘開(kāi)閉的過(guò)程中，∠BEO與.【變式61】．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．【變式62】．如圖，在△ABC中，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠BAP=∠CAPB．△ABP與△ACP的面積比等于邊AB與AC之比C．BC=AP+ACD．若∠BAC=60°，則∠BPC=120°【變式63】．如圖，在△ABC中，DE垂直平分線段BC，AE平分∠BAC，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：BF=CG．（2）若AB=8，AC=6，求AF的長(zhǎng)．【模型7角平分線模型】 例7．課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且AB+BD=AC，求證：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE=AB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明.（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明.輔助線的畫(huà)法是：延長(zhǎng)AB至F，使BF=▲，連接DF請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫(huà)法，并在圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：如圖3，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，（3）小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的.請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明.【變式71】．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD.（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.【變式72】．如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD，BC于點(diǎn)E、F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：CE=FG；（2）若AC=12，AB=15，CE=4，求△ABC的面積．【變式73】．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．（1）求證：AE平分∠FAD．（2）求證：DE平分∠ADC．（3）若AB=7，AD=4，CD=8，S△ACD=15，求【模型8中點(diǎn)模型】 例8．已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM.（1）如圖①，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論.（2）如圖②，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在BC上，(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論.（3）將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB=13，CE=5，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫出MF的長(zhǎng).【變式81】．八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】：數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們解決這樣的一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．同學(xué)們?cè)诮M內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到解決方法：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使得EF=AE，連結(jié)CF．易證△ABE≌△FCE，故對(duì)應(yīng)角∠BAE=∠CFE，所以∠CFE=∠CDE，因此可得AB=CD．以上解法稱之為“倍長(zhǎng)中線”法，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問(wèn)題；【初步感知】：（1）AD是△ABC的中線，若AB=5，AC=9，設(shè)AD=x，則x的取值范圍是；【靈活運(yùn)用】：（2）如圖2，在△BGC中，GF平分∠BGC，E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED∥GF，ED交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BG于點(diǎn)A．求證：AB=CD．【拓展延伸】：（3）如圖3，E是BC的中點(diǎn)，∠BAE=∠CDE，D，A，E三點(diǎn)共線，連結(jié)AC，若∠CAE=2∠BAE，當(dāng)AD=4，BC=6時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【變式82】．如圖，在△ABC和△ADE中，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，連接BE，CD，點(diǎn)F為BE求證：（1）∠ABE+∠AEB=∠CAD.（2）CD=2AF.【變式83】．如圖1，線段AD∥BC，連接AB，CD，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，AE平分∠BAD．（1）線段AB，AD，BC之間存在怎樣