高級示范班高二上期開學(xué)考試數(shù)學(xué)考試時間：分鐘滿分：分一?選擇題（每小題5分，共分）1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩點的斜率公式求出斜率,結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系可得傾斜角.【詳解】因為,所以過兩點的直線斜率為,所以傾斜角為.故選：A.2.已知橢圓上一點到橢圓的一個焦點的距離為3，則到另一個焦點的距離為（）A.7B.5C.3D.2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的方程求出，再利用橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓的方程可得，設(shè)左焦點為，右焦點為，由橢圓的定義可得，若，則，故選：A3.如圖，空間四邊形中，分別是的中點，則（）第1頁/共21頁【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的運算法則即可作出判斷.【詳解】因為中點，所以；又因為為中點，所以且，所以.所以.故選：C4.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．5.已知平面，法向量，則下列各點不在平面內(nèi)的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第2頁/共21頁【分析】結(jié)合各項分別求出，計算的值是否為0，從而得出結(jié)論.【詳解】對A，，，則該點不在平面內(nèi)，A正確；對B，，，則該點在平面內(nèi)，B錯誤；對C，，,則該點在平面內(nèi)，C錯誤；對D，,,則該點在平面內(nèi)，D錯誤；故選：A6.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字123456，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”“第二次取出的球的數(shù)字是5”“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與乙互斥B.丙發(fā)生的概率為C.甲與丁相互獨立D.乙與丙相互獨立【答案】C【解析】【分析】先分別計算出事件甲、乙、并、丁的概率，可判斷B選項；直接由互斥事件的概念判斷A選項；由獨立事件概率公式判斷C、D選項即可.【詳解】由題意可知，兩點數(shù)和為6的所有可能為，兩點數(shù)和為7的所有可能為，甲乙丙丁，對于A選項，甲與乙可以同時發(fā)生，故選項A錯誤；對于B選項，由上可知錯誤，故選項B錯誤；對于C選項，（甲?。祝〤正確；對于D選項，（乙丙）（乙）D錯誤.第3頁/共21頁故選：C.7.已知圓和圓的交點為、，則下列選項錯誤的是（）A.圓和圓有兩條公切線B.直線的方程為C.圓上存在兩點和使得D.圓上的點到直線的最大距離為【答案】C【解析】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，可判斷A選項；將兩圓方程作差，可得出直線的方程，可判斷B選項；求出，可判斷C選項；求出圓上的點到直線的最大距離，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，因，則兩圓相交，故這兩圓有兩條公切線，A對；對于B選項，將兩圓方程作差可得，即直線的方程為，B對；對于C選項，圓心到直線的距離為，所以，，對于圓上的任意兩點、，，C錯；對于D選項，圓心到直線的距離的最大值為，D對.故選：C.8.已知點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，線段MF與圓相切于點．若，則橢圓的離心率為（）第4頁/共21頁A.B.C.D.【答案】B【解析】的等量關(guān)系以及離心率的計算，可得答案.【詳解】設(shè)為橢圓的左焦點，且其焦距為，連接，設(shè)圓的圓心為，半徑，作圖如下：由，，，則，，所以，因為，所以，因為與圓，所以，即，易知，則，可得，則，在中，，則，由，則，所以.故選：B.第5頁/共21頁二?多選題（在每小題給出的四個選項中，至少有兩個符合題目要求的若全對得6對得部分分，選錯或不選得0分）9.已知點在圓上，點、，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當(dāng)最小時，D.當(dāng)最大時，【答案】ACD【解析】到直線AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，CD選項正確.第6頁/共21頁故選：ACD.與半徑為的圓到直線的距離為上一點到直線的距離的取值范圍是.10.OPMNMN⊥OP的圖形有（）AB.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)各選項的條件，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于A，如圖，連接，則，而是的斜邊，則與不垂直，與不垂直，A不是；對于B，如圖，連接，則，由平面，平面，得，而，是平面內(nèi)兩條相交直線，則平面，又平面，則，，B是；第7頁/共21頁對于C，如圖，連接，由選項B同理得，C是；對于D，如圖，為所在棱的中點，可得四邊形都是平行四邊形，，令正方體棱長為2，則，與不垂直，與不垂直，D不是.故選：BC已知橢圓的左?右焦點分別為是橢圓）A.B.C.直線與橢圓相交于兩點，且點為線段的中點，則直線的斜率為D.的最大值為【答案】ABD第8頁/共21頁A；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合點與橢圓的關(guān)系即可判斷B法即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義可得，進而可判斷D.【詳解】對于A，由，可知直線的斜率不存在，直線的斜率為零，所以，故A正確；對于B，因為，所以點在橢圓內(nèi)，所以，故B正確；對于，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則有，兩式作差有，有，即直線的斜率為，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點在兩點中間時，取等號，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：解決中點弦的問題的兩種方法：（1）韋達定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；（2）點差法：設(shè)出交點坐標(biāo)，利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.三?填空題第9頁/共21頁【答案】【解析】【詳解】從題意看出，切線長、直線上的點到圓心的距離、半徑之間滿足勾股定理，顯然圓心到直線的距離最小時，切線長也最?。畧A心到直線的距離為：,切線長的最小值為：故本題正確答案為.13.已知，，直線與直線垂直，則的最小值是___________.【答案】【解析】的最小值.【詳解】的法向量的法向量兩直線垂直得，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.14.已知，為圓上的兩個動點，為直線上一動點，則的最小值為______.【答案】6【解析】第10頁/共21頁值，再利用點到直線的距離公式求的最小值即可.【詳解】如圖：取中點，因為，圓的半徑為2，所以，點的軌跡是以原點為圓心，以1為半徑的圓，.，由點到直線距離公式，得：，所以，所以.故答案為：6四?解答題15.如圖，在長方體中，，為的中點.（1）求證：.（2）在棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的長；若不存在，說明理由.【答案】（12）存在，.【解析】1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；第11頁/共21頁（2的一個法向量即可求出得出.1為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.設(shè)，則，，，，，故，，，因為，所以.（2）假設(shè)在棱上存在一點，使得平面，此時.又設(shè)平面的法向量，所以，得，取，得平面的一個法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在點，滿足平面，此時.“四破”“建系關(guān)”破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.16.第12頁/共21頁是文明城市的主要創(chuàng)造者，我市為提高市民對文明城市建設(shè)的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）若從成績位于區(qū)間和的答卷中，采用分層隨機抽樣，抽取7份，再從這7份中隨機抽取兩份，求這兩份答卷的成績都落在的概率；（3）已知落在的平均成績是56，方差是7，落在的平均成績?yōu)?5，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.（注：）【答案】（1）（2）（3），.【解析】1）根據(jù)頻率之和為1求的值.（2）根據(jù)分層抽樣的概念，古典概型概率公式求解即可.（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)與方差公式計算即可．【小問1詳解】由題意，解得：.【小問2詳解】由題可知，成績在區(qū)間的頻數(shù)為：；第13頁/共21頁成績在區(qū)間的頻數(shù)為：.利用分層抽樣，從中抽取7份，成績在的頻數(shù)為，成績在的頻數(shù)為.再從這7份答卷中隨機抽取兩份，這兩份答卷的成績都落在的概率為：.【小問3詳解】因為落在與頻率之比為；所以，.17.已知橢圓C：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）2）：，：.【解析】1出點的縱坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進行求解即可；（2）由（1）可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓的四個頂點坐標(biāo)，再確定拋物線的準(zhǔn)線方程，最后結(jié)合已知進行求解即可；1）因為橢圓的右焦點坐標(biāo)為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因為橢圓的方程為：，第14頁/共21頁所以當(dāng)時，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；又因為拋物線的方程為，所以當(dāng)時，有，所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.由已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的四個頂點的坐標(biāo)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了數(shù)學(xué)運算能力.18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．第15頁/共21頁【答案】（1）2）【解析】1為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.1）方法一：空間坐標(biāo)系空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；方法二相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．第16頁/共21頁因為，所以．所以，于是．所以．所以．方法三：幾何法三角形面積法如圖，聯(lián)結(jié)交于點N．由[方法二]知．第17頁/共21頁在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點，則，，．由，得，解得，所以．（2）方法一空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.方法二：構(gòu)造長方體法等體積法H，以平面．過H作的垂線，垂足記為G．第18頁/共21頁故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強，需注意進行嚴(yán)格的論證.19.已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑