1.4課時5用空間向量研究空間中的夾角問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求兩異面直線所成的角.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)2.理解直線與平面所成角與直線的方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求直線與平面所成的角.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)3.理解二面角的大小與兩個平面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求二面角的大小.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【自主預(yù)習(xí)】1.如何求向量a與b的夾角θ?2.當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平面平行時,直線與平面所成的角為多少?直線與平面垂直時呢?3.直線AB與平面α相交于點B,設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則直線的方向向量與平面的法向量的夾角與直線與平面所成角的關(guān)系是什么?4.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,兩個平面的夾角與這兩個平面的法向量的夾角有什么關(guān)系?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.()(2)直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角.()(3)二面角的大小就是該二面角兩個面的法向量的夾角.()(4)線面角和異面直線所成角的范圍都是0,π2.()2.已知直線l的一個方向向量為a=(1,1,0),平面α的一個法向量為u=(1,2,2),則直線l與平面α夾角的余弦值為().A.2B.2C.±2D.13.(人教A版選擇性必修第一冊P41練習(xí)T3改編)在三棱錐OABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OC=3,OB=2,D是AB的中點,則CD與平面OAB所成角的正弦值為.

4.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.(1)求證:D1F⊥AE.(2)求直線EF和CB1所成角的大小.【合作探究】探究1兩條異面直線所成的角同學(xué)們可能經(jīng)常談?wù)撃衬惩瑢W(xué)是摩羯座的,某某同學(xué)是雙魚座的.可是你知道十二星座的由來嗎?我們知道,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”.黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26',它與天球相交的大圓稱為“黃道”,黃道南北兩邊各9°寬的環(huán)形區(qū)域稱為“黃道帶”.黃道帶內(nèi)有十二個星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、金牛座、雙子座等等.這便是星座的由來.如圖所示,這是摩羯座的星圖.將摩羯座的星圖抽象成如圖所示的空間四邊形.問題1:圖中BC與AD是異面直線嗎?問題2:若AB=AD=BC=CD=2,CD⊥AD,∠BAD=60°,如何求直線BC與AD所成角的余弦值?問題3:設(shè)直線a,b的夾角為θ,方向向量分別為a,b,那么夾角θ與方向向量的夾角<a,b>之間的關(guān)系是怎樣的?對應(yīng)的余弦值表達(dá)式是什么?若異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別是u,v,則cosθ=|cos<u,v>|=|u例1如圖,在三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.【方法總結(jié)】(1)用幾何法求異面直線的夾角時,需要通過作平行線將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面角,再利用解三角形來求解,過程相當(dāng)復(fù)雜;用向量法求異面直線的夾角,可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過程,只需對相應(yīng)向量進(jìn)行運算即可.(2)由于兩異面直線的夾角θ的取值范圍是0,π2,而兩向量的夾角α的取值范圍是[0,π],故應(yīng)有cosθ=|cosα|,求解時要特別注意.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作,其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖,△SAB,△SCD是直角圓錐SO的兩個軸截面,且cos∠BOC=13,則異面直線SA與BC所成角的余弦值為().A.1B.6C.6D.6探究2直線與平面所成的角如圖所示,設(shè)AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點,且AB=BC=2,∠CBD=45°.問題1:如何求直線AC與平面BCD所成角的大小?問題2:用幾何法如何求直線BD與平面ACD所成角的大小?問題3:用向量法如何求直線BD與平面ACD所成角的大小?(只寫方法,不用寫結(jié)果)直線與平面所成的角設(shè)直線與平面所成的角為θ,直線的方向向量為u,平面的法向量為n,則sinθ=|cos<u,n>|=|u例2(2022年全國乙卷)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD.(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成的角的正弦值.【方法總結(jié)】用向量法求線面角的基本步驟:(1)分析圖形關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求出直線的方向向量a和平面的法向量n;(3)求出夾角<a,n>;(4)判斷直線和平面所成的角θ和<a,n>的關(guān)系,求出角θ.在長方體ABCDA1B1C1D1中,12AB=AD=AA1=1,則直線AD與平面ACD1所成角的余弦值為().A.2B.2C.5D.6探究3平面與平面的夾角衛(wèi)星在近地圓軌道水平飛行時的速度叫作第一宇宙速度,即環(huán)繞速度.衛(wèi)星只要獲得這一水平方向的速度后,不需要再加動力就可以環(huán)繞地球飛行.這時衛(wèi)星的飛行軌跡叫作衛(wèi)星軌道.如圖所示,這是標(biāo)注衛(wèi)星軌道參數(shù)的衛(wèi)星軌道圖.衛(wèi)星軌道參數(shù)是用來描述衛(wèi)星在太空中運行的位置、形狀和取向的各種參數(shù).問題1:設(shè)衛(wèi)星軌道面與赤道面分別為α,β,其法向量分別是n1,n2,平面α與平面β所成的夾角為θ,則角θ與向量的夾角<n1,n2>之間有什么關(guān)系?它們的余弦值滿足什么等式?問題2:求二面角的方法有哪些?平面與平面的夾角(1)定義:平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)設(shè)平面α,β的法向量分別是n1,n2,則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n例3(2023年新高考全國Ⅱ卷)如圖,在三棱錐ABCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA.(2)若點F滿足EF=DA,求二面角DABF的正弦值.【方法總結(jié)】利用向量法求兩個平面夾角的基本步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)分別求出兩個平面的法向量n1和n2;(3)設(shè)平面間的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|;(4)利用余弦值,確定平面間夾角的大小.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,點D是棱AB的中點,則平面ABB1A1與平面B1CD夾角的正弦值為().A.3010 B.7010 C.306【隨堂檢測】1.如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為().A.1B.2C.3D.42.在正方體ABCDA1B1C1D1中,直線BB1與平面ACD1所成角的正弦值為().A.2B.3C.2D.63.已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,A1A的中點,則異面直線EF和BD1所成角的余弦值為.

4.如圖,已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都是2,AB=4.(1)證明:PQ⊥平面ABCD.(2)求異面直線AQ與PB所成角的余弦值.

參考答案課時5用空間向量研究空間中的夾角問題自主預(yù)習(xí)·悟新知預(yù)學(xué)憶思1.向量a與b的夾角可利用公式cosθ=a·b2.兩種情況下,直線與平面所成的角分別為0,π23.sinθ=|cos<u,n>|=|u4.若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角為向量n1和n2的夾角或其補角,設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=n1·n自學(xué)檢測1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.A【解析】因為直線l的一個方向向量為a=(1,1,0),平面α的一個法向量為u=(1,2,2),所以cos<a,u>=a·u|a||設(shè)直線l與平面α的夾角為θ,則sinθ=|cos<a,u>|=22故cosθ=1-sin3.67【解析】因為OC,OA,OB兩兩垂直,所以以O(shè)為原點,OA,OB,OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系所以A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D32,1,0,CD=32,1,-3.因為CO⊥底面OAB,所以CO設(shè)CD與平面OAB所成的角為θθ∈則sinθ=cos<CO,CD>=CO·即CD與平面OAB所成角的正弦值為674.【解析】(1)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則A(2,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),∴D1F=(0,1,2),AE=(0,2,1),∴D1F·AE=1×22×1=0,∴D(2)∵EF=(2,1,1),CB1∴cos<EF,CB1>=EF·CB∴直線EF和CB1所成角的大小為π6合作探究·提素養(yǎng)探究1情境設(shè)置問題1:是.問題2:可用向量法求解,因為BC=BA+AD+DC,所以BC·AD=(BA+AD+DC)·AD=BA·AD+AD·AD+DC·AD=2×2×cos120°+2×2×cos0°+2×2×cos90°=2,所以cos<BC,AD>=BC·AD|BC||所以直線BD與AD所成角的余弦值為12問題3:當(dāng)0°≤<a,b>≤90°時,θ=<a,b>;當(dāng)90°<<a,b>≤180°時,θ=180°<a,b>.余弦值表達(dá)式為cosθ=|cos<a,b>|.新知運用例1【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,0),O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),∴A1B=(3,1,3),O1A=(3∴cos<A1B,O1A>=|A∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為17鞏固訓(xùn)練B【解析】在圓錐SO中,SO⊥平面ABC,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OS所在直線分別為y軸、z軸,平面ABC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=6,則A(0,3,0),B(0,3,0),S(0,0,3),SA=(0,3,3).因為cos∠BOC=13,所以C(22所以BC=(22,2,0),所以cos<SA,BC>=SA·BC|SA||所以異面直線SA與BC所成角的余弦值為66探究2情境設(shè)置問題1:由已知得AB⊥平面BCD,所以∠ACB就是直線AC與平面BCD所成的角.因為AB=BC,所以∠ACB=45°,所以直線AC與平面BCD所成的角是45°.問題2:如圖,取AC的中點E,連接BE,DE.根據(jù)空間中垂直的判定和性質(zhì)易知,∠BDE為直線BD與平面ACD所成的角,解三角形可得直線BD與平面ACD所成的角為30°.問題3:以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的法向量n及向量BD=u,然后代入公式sinθ=|cos<u,n>|=|u·n||u||n|(其中θ新知運用例2【解析】(1)因為AD=CD,E為AC的中點,所以AC⊥DE.在△ABD和△CBD中,因為AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB.又因為E為AC的中點,所以AC⊥BE.又因為DE,BE?平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED.因為AC?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.(2)連接EF,由(1)知,AC⊥平面BED,因為EF?平面BED,所以AC⊥EF,所以S△AFC=12AC·當(dāng)EF⊥BD時,EF最小,即△AFC的面積最小.因為△ABD≌△CBD,所以CB=AB=2.又因為∠ACB=60°,所以△ABC是等邊三角形.因為E為AC的中點,所以AE=EC=1,BE=3.因為AD⊥CD,所以DE=12AC=1在△DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BE⊥DE.以E為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,則A(1,0,0),B(0,3,0),D(0,0,1),所以AD=(1,0,1),AB=(1,3,0).設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則n·AD=-x+z=0,n·AB=-x+因為C(1,0,0),F0,34,34,所以CF=1,34,34,所以cos<n,CF>=n·CF|n||設(shè)CF與平面ABD所成的角為θ0≤θ≤π2,所以sinθ=|cos<n,CF>|=437所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為43鞏固訓(xùn)練C【解析】以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,則A(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),AD=(1,0,0),AC=(1,2,0),AD1=(設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則AC·n=-x+2y=0∴n=(2,1,2).∴|cos<AD,n>|=|AD·n||∴直線AD與平面ACD1所成角的余弦值為1-cos探究3情境設(shè)置問題1:<n1,n2>=θ或<n1,n2>=180°θ.cosθ=|cos<n1,n2>|.問題2:(1)幾何法.找二面角,證明,解三角形得結(jié)論.(2)向量法.求兩個平面的法向量,再利用兩個法向量夾角的余弦值與二面角余弦值間的關(guān)系求解.新知運用例3【解析】(1)如圖,連接DE,AE,因為DC=DB,且E為BC的中點,所以DE⊥BC.因為∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,所以△ADB≌△ADC(SAS).可得AC=AB,故AE⊥BC.因為DE∩AE=E,DE,AE?平面ADE,所以BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,所以BC⊥DA.(2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC.不妨設(shè)DA=DB=DC=2,因為∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2.由題意可知△DBC為等腰直角三角形,故DE=EB=EC=2.因為AE⊥BC,所以AE=AB2-在△ADE中,AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED.以E為坐標(biāo)原點,ED所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則D(2,0,0),B(0,2,0),A(0,0,2),DA=(2,0,2),BA=(0,2,2).設(shè)F(xF,yF,zF),因為EF=DA,所以(xF,yF,zF)=(2,0,2),可得F(2,0,2),所以FA=(2,0,0).設(shè)平面DAB的法向量為m=(x1,y1,z1),則DA·m=0,BA·m=0,即-2x1+2z1設(shè)平面ABF的法向量為n=(x2,y2,z2),則FA·n=0,BA·n=0,即2x2=0,-2y2+所以cos<m,n>=m·n|m||記二面角DABF的大小為θ,則sinθ=1-cos2<故二面角DABF的正弦值為33鞏固訓(xùn)練B【解析】如圖,以C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4).設(shè)平面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z),∵BA=(2,4,0),BB1∴n令x=2,則y=1,z=0,∴n=(2,1,0).同理得平面B1CD的一個法向量為m=(2,1,1).故|cos<n,m>|=|n·m||設(shè)平面ABB1A1與平面B1CD的夾角為θ,則θ∈0,π2,則cosθ=3010,故平面ABB1A1與平面B1CD夾角的正弦值sinθ=1-cos隨堂檢測·精評價1.D【解析】以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略).設(shè)AB=1,則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),∴A1B=(0,1,2),AD1=(1,0,2),故|cos<A