2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：抽樣調(diào)查方法實(shí)戰(zhàn)試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.在概率抽樣中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（重復(fù)抽樣）的抽樣誤差主要取決于（）。A.樣本量的大小B.總體方差的大小C.抽樣方法本身D.A和B2.某城市共有10萬(wàn)戶家庭，按戶號(hào)順序每隔50戶抽取1戶進(jìn)行家庭收入調(diào)查，這種抽樣方法屬于（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣3.在分層抽樣中，若要縮小抽樣誤差，通常采取的策略是（）。A.增加樣本量B.減少層數(shù)C.提高層內(nèi)方差，降低層間方差D.采用不平等比例抽樣4.一項(xiàng)調(diào)查的置信水平為95%，這意味著（）。A.總體參數(shù)有95%的可能性落在置信區(qū)間內(nèi)B.如果重復(fù)抽樣100次，得到的100個(gè)置信區(qū)間中有95個(gè)包含總體參數(shù)C.抽樣誤差為5%D.樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之差有95%的可能性小于該區(qū)間寬度的一半5.下列關(guān)于抽樣框的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）。A.抽樣框是實(shí)施抽樣調(diào)查的依據(jù)B.完整的抽樣框應(yīng)包含總體中所有單元的清單C.抽樣框的質(zhì)量直接影響抽樣效果D.任何列表都可以作為抽樣框使用二、判斷題（每題2分，共10分，請(qǐng)將“對(duì)”或“錯(cuò)”填入括號(hào)內(nèi)）1.抽樣調(diào)查的目的是通過(guò)樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)精確推斷總體的參數(shù)。（）2.整群抽樣的抽樣誤差通常大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（在樣本量相同的情況下）。（）3.分層抽樣的目的是為了提高抽樣效率，它通過(guò)增大層內(nèi)差異、減小層間差異來(lái)實(shí)現(xiàn)。（）4.系統(tǒng)抽樣的優(yōu)點(diǎn)是抽樣方便、可以保證每個(gè)單元都有非零的概率被抽中，因此它總是優(yōu)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（）5.抽樣誤差是可以通過(guò)改進(jìn)調(diào)查方式、減少非抽樣誤差來(lái)完全消除的。（）三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的操作步驟。2.與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣有哪些優(yōu)缺點(diǎn)？3.影響抽樣誤差的因素有哪些？4.解釋置信區(qū)間的含義，并說(shuō)明影響置信區(qū)間寬度的因素。四、計(jì)算題（每題8分，共24分）1.某工廠生產(chǎn)某種零件，為估計(jì)其合格率，隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)合格品為980個(gè)。若要求用95%的置信水平估計(jì)合格率的置信區(qū)間，且允許誤差不超過(guò)0.02，試計(jì)算至少需要抽取多少個(gè)零件？2.某學(xué)校有學(xué)生8000人，按年級(jí)比例（一年級(jí)20%，二年級(jí)25%，三年級(jí)30%，四年級(jí)25%，五年級(jí)10%）抽取了一個(gè)包含400人的分層隨機(jī)樣本。已知各年級(jí)學(xué)生體重的樣本均值和方差如下表所示（此處不展示表格，請(qǐng)假設(shè)數(shù)據(jù)已知）：一年級(jí)樣本均值為65kg，方差為4；二年級(jí)樣本均值為67kg，方差為5；三年級(jí)樣本均值為66kg，方差為6；四年級(jí)樣本均值為68kg，方差為5；五年級(jí)樣本均值為63kg，方差為4。試估計(jì)全校學(xué)生平均體重的抽樣均值，并計(jì)算其抽樣平均誤差。3.某社區(qū)共有2000戶家庭，欲采用整群抽樣方法抽取200戶家庭進(jìn)行調(diào)查。將社區(qū)家庭按門(mén)牌號(hào)順序排列，每10戶作為一個(gè)群，共分成200個(gè)群。隨機(jī)抽取了編號(hào)為5,16,27,...,1985的20個(gè)群，調(diào)查結(jié)果顯示這20個(gè)群的平均每戶收入為15000元，群內(nèi)方差（或平均群內(nèi)方差）的估計(jì)值為500000元。試估計(jì)該社區(qū)每戶平均收入的點(diǎn)估計(jì)值，并計(jì)算其抽樣平均誤差。五、綜合應(yīng)用題（共26分）假設(shè)你要為某市市容環(huán)境管理部門(mén)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，了解市民對(duì)該市垃圾分類(lèi)實(shí)施效果的滿意程度。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)抽樣調(diào)查方案的大致框架，包括以下內(nèi)容：1.明確調(diào)查的主要目標(biāo)和需要收集的核心信息。2.說(shuō)明選擇合適的抽樣方法，并闡述理由。3.描述具體的抽樣步驟，包括如何構(gòu)建抽樣框（如果需要），如何劃分抽樣單元（如果需要），如何抽取樣本。4.說(shuō)明如何運(yùn)用抽樣結(jié)果對(duì)全市市民的總體滿意度進(jìn)行估計(jì)（例如，計(jì)算樣本滿意度比例，給出置信區(qū)間）。5.討論抽樣結(jié)果可能存在的局限性，并提出至少兩條改進(jìn)抽樣方案或減少誤差的建議。試卷答案一、選擇題1.D2.D3.A4.B5.D解析：1.抽樣誤差的大小與樣本量n和總體方差σ2有關(guān)，n越大，σ2越小，抽樣誤差越小。A和B都正確。2.按固定間隔從有序總體中抽取樣本是系統(tǒng)抽樣的特征。3.分層抽樣的目的是通過(guò)分層減少層內(nèi)方差、增大層間方差來(lái)降低抽樣誤差。A是增加樣本量，可以減小誤差，但不一定是分層抽樣的主要策略。B是減少層數(shù)可能增加層內(nèi)同質(zhì)性，不一定減小誤差。C描述與分層抽樣原理相反。D不平等比例抽樣本身不直接影響誤差大小，關(guān)鍵在于分層方法。4.置信水平P(θ∈Δ)=1-α。選項(xiàng)A是對(duì)θ∈Δ的誤判。選項(xiàng)B是置信區(qū)間的定義。選項(xiàng)C是α的值，不是抽樣誤差。選項(xiàng)D是置信區(qū)間的解釋，但不是95%置信水平的準(zhǔn)確定義。5.抽樣框要求包含所有總體單元且無(wú)重復(fù)，并非任何列表都符合要求。二、判斷題1.錯(cuò)2.對(duì)3.錯(cuò)4.錯(cuò)5.錯(cuò)解析：1.抽樣調(diào)查目的是用樣本信息推斷總體特征，存在抽樣誤差，推斷是近似的而非精確的。2.整群抽樣將總體分群，抽取整群，樣本單元集中，同質(zhì)性強(qiáng)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，導(dǎo)致抽樣變異增大，誤差通常大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。3.分層抽樣目的是通過(guò)分層減小層內(nèi)方差（提高組內(nèi)同質(zhì)性）、增大層間方差（使層間差異最大化）來(lái)提高抽樣效率。4.系統(tǒng)抽樣抽樣方便、等概率（重復(fù)）抽取，但若抽樣間隔與總體某種周期性模式重合，可能產(chǎn)生系統(tǒng)性偏差，不一定優(yōu)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。5.抽樣誤差是隨機(jī)抽樣產(chǎn)生的不可避免的隨機(jī)誤差，只能控制其大小，不能完全消除。非抽樣誤差（如測(cè)量誤差、無(wú)回答誤差）更難控制。三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的操作步驟。答：①編制包含總體所有單元的抽樣框，并賦予每個(gè)單元唯一的編號(hào)。②根據(jù)樣本量n，確定抽樣間隔k（總體N/k取整）。③使用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)生成器，在1到k之間抽取一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)r。④按照固定的抽樣間隔k，從起點(diǎn)開(kāi)始，逐個(gè)抽取樣本單元，即抽取編號(hào)為r,r+k,r+2k,...,r+(n-1)k的單元，直至抽滿n個(gè)單元。2.與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣有哪些優(yōu)缺點(diǎn)？答：優(yōu)點(diǎn)：①組織實(shí)施方便，尤其是在單元地理上分散的情況下。②節(jié)省抽樣成本，特別是交通和調(diào)查費(fèi)用。③若群內(nèi)單元同質(zhì)性高，群間差異大，抽樣誤差可能較小。缺點(diǎn)：①抽樣誤差通常大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（若群內(nèi)同質(zhì)性低于群間同質(zhì)性）。②樣本分布不均勻，可能代表性較差。③若群內(nèi)單元同質(zhì)性高，則無(wú)法充分利用群內(nèi)信息，效率可能低于分層抽樣。3.影響抽樣誤差的因素有哪些？答：①樣本量的大?。簶颖玖吭酱?，抽樣誤差越小。②總體方差的大?。嚎傮w單元間差異越大（方差越大），抽樣誤差越大。③抽樣方法：不同抽樣方法的抽樣變異程度不同。④抽樣組織形式：如分層抽樣通過(guò)分層可減少誤差。⑤非抽樣誤差：如測(cè)量誤差、無(wú)回答誤差等也會(huì)影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。4.解釋置信區(qū)間的含義，并說(shuō)明影響置信區(qū)間寬度的因素。答：置信區(qū)間是用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，以一定置信水平（如95%）包含總體參數(shù)真值的區(qū)間范圍。它表示估計(jì)的精確度，區(qū)間越寬，精確度越低；區(qū)間越窄，精確度越高。影響置信區(qū)間寬度的因素：①置信水平：置信水平越高，所需置信區(qū)間越寬。②樣本量的大?。簶颖玖吭酱?，抽樣誤差越小，置信區(qū)間越窄。③總體方差的大?。嚎傮w方差越大，抽樣誤差越大，置信區(qū)間越寬。四、計(jì)算題1.某工廠生產(chǎn)某種零件，為估計(jì)其合格率，隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)合格品為980個(gè)。若要求用95%的置信水平估計(jì)合格率的置信區(qū)間，且允許誤差不超過(guò)0.02，試計(jì)算至少需要抽取多少個(gè)零件？答：已知：p?=980/1000=0.98,E=0.02,Zα/2(95%置信水平)≈1.96。估計(jì)總體方差：p(1-p)≈p?(1-p?)=0.98*0.02=0.0196。當(dāng)p未知時(shí)，用p?替代，方差估計(jì)值不變。所需樣本量：n≥(Zα/2)^2*p?(1-p?)/E^2=(1.96)^2*0.0196/0.02^2=3.8416*0.0196/0.0004=0.07529/0.0004=188.225。因樣本量必須為整數(shù)，且需滿足誤差要求，向上取整，n≥189。至少需要抽取189個(gè)零件。2.某學(xué)校有學(xué)生8000人，按年級(jí)比例（一年級(jí)20%，二年級(jí)25%，三年級(jí)30%，四年級(jí)25%，五年級(jí)10%）抽取了一個(gè)包含400人的分層隨機(jī)樣本。已知各年級(jí)學(xué)生體重的樣本均值和方差如下表所示（此處不展示表格，請(qǐng)假設(shè)數(shù)據(jù)已知）：一年級(jí)樣本均值為65kg，方差為4；二年級(jí)樣本均值為67kg，方差為5；三年級(jí)樣本均值為66kg，方差為6；四年級(jí)樣本均值為68kg，方差為5；五年級(jí)樣本均值為63kg，方差為4。試估計(jì)全校學(xué)生平均體重的抽樣均值，并計(jì)算其抽樣平均誤差。答：估計(jì)全校學(xué)生平均體重（抽樣均值）：μ?=Σ(w_i*μ?_i)其中，w_i為各層權(quán)重（層內(nèi)比例）。μ?_i為各層樣本均值。μ?=0.20*65+0.25*67+0.30*66+0.25*68+0.10*63=13+16.75+19.8+17+6.3=73.25kg。計(jì)算抽樣平均誤差：σ?_μ=sqrt[Σ(w_i^2*σ?_i^2)/n]其中，σ?_i^2為各層樣本方差。σ?_μ=sqrt[(0.20^2*4+0.25^2*5+0.30^2*6+0.25^2*5+0.10^2*4)/400]=sqrt[(0.04*4+0.0625*5+0.09*6+0.0625*5+0.01*4)/400]=sqrt[(0.16+0.3125+0.54+0.3125+0.04)/400]=sqrt[1.375/400]=sqrt[0.0034375]=0.0586kg。估計(jì)全校學(xué)生平均體重的抽樣均值為73.25kg，抽樣平均誤差為0.0586kg。3.某社區(qū)共有2000戶家庭，欲采用整群抽樣方法抽取200戶家庭進(jìn)行調(diào)查。將社區(qū)家庭按門(mén)牌號(hào)順序排列，每10戶作為一個(gè)群，共分成200個(gè)群。隨機(jī)抽取了編號(hào)為5,16,27,...,1985的20個(gè)群，調(diào)查結(jié)果顯示這20個(gè)群的平均每戶收入為15000元，群內(nèi)方差（或平均群內(nèi)方差）的估計(jì)值為500000元。試估計(jì)該社區(qū)每戶平均收入的點(diǎn)估計(jì)值，并計(jì)算其抽樣平均誤差。答：點(diǎn)估計(jì)值：μ?_g=x?_g=15000元。總體群數(shù)：N=2000戶，分成K=200群，k=N/K=10戶/群。抽取樣本群數(shù)：n=20群。樣本平均群收入：x?_g=15000元。群內(nèi)方差估計(jì)值：s2_ig≈σ2_ig=500000元2。估計(jì)總體平均收入（點(diǎn)估計(jì)）：μ?=x?_g=15000元。計(jì)算抽樣平均誤差：σ?_μ=sqrt[(N-n)/(N-1)]*s_ig/sqrt(n)其中，s_ig為樣本群內(nèi)方差的平均數(shù)（此處題目直接給出s2_ig≈σ2_ig）。σ?_μ=sqrt[(2000-20)/(2000-1)]*sqrt(500000)/sqrt(20)=sqrt[(1980/1999)*707.1/4.47]=sqrt[0.995*158.5]=sqrt[157.7]=12.56元。該社區(qū)每戶平均收入的點(diǎn)估計(jì)值為15000元，抽樣平均誤差為12.56元。五、綜合應(yīng)用題假設(shè)你要為某市市容環(huán)境管理部門(mén)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，了解市民對(duì)該市垃圾分類(lèi)實(shí)施效果的滿意程度。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)抽樣調(diào)查方案的大致框架，包括以下內(nèi)容：1.明確調(diào)查的主要目標(biāo)和需要收集的核心信息。答：主要目標(biāo)：評(píng)估市民對(duì)本市垃圾分類(lèi)實(shí)施效果的總體滿意度，并了解影響滿意度的因素及市民的需求與建議。核心信息：a.市民對(duì)垃圾分類(lèi)實(shí)施效果的總體滿意度評(píng)分（如使用李克特量表）。b.市民對(duì)垃圾分類(lèi)設(shè)施（如分類(lèi)垃圾桶設(shè)置、清運(yùn)頻率）的滿意度。c.市民對(duì)垃圾分類(lèi)宣傳教育的滿意度。d.市民對(duì)垃圾分類(lèi)政策執(zhí)行（如執(zhí)法、獎(jiǎng)懲）的滿意度。e.市民參與垃圾分類(lèi)的頻率和意愿。f.不同特征市民（如年齡、性別、居住區(qū)域、教育程度）在滿意度上的差異。g.市民對(duì)改進(jìn)垃圾分類(lèi)工作的建議。2.說(shuō)明選擇合適的抽樣方法，并闡述理由。答：建議采用分層整群抽樣方法。理由：①該市范圍大，家庭數(shù)量多，采用整群抽樣可以按區(qū)域（如街道、社區(qū)）劃分群，分塊抽取，便于組織實(shí)施，降低成本。②市民居住在不同區(qū)域，受當(dāng)?shù)乩诸?lèi)實(shí)施情況影響可能不同，按區(qū)域分層可以保證樣本在地理上的分布，提高代表性，并可能減少抽樣誤差。③家庭是垃圾分類(lèi)的基本單位，以戶為單位抽樣符合實(shí)際情況。3.描述具體的抽樣步驟，包括如何構(gòu)建抽樣框（如果需要），如何劃分抽樣單元（如果需要），如何抽取樣本。答：①構(gòu)建抽樣框：獲取全市所有街道或社區(qū)的列表。②劃分抽樣單元：將全市所有街道或社區(qū)作為抽樣單元（群）。③分層：根據(jù)街道或社區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人口密度、垃圾分類(lèi)實(shí)施年限等因素，將所有街道/社區(qū)劃分為若干層（如劃分為A、B、C三層）。④確定各層樣本量：根據(jù)層內(nèi)差異大小和成本考慮，確定每層抽取的群數(shù)（如按比例分配或最優(yōu)分配）。⑤抽取群：在每個(gè)層內(nèi)，按門(mén)牌號(hào)順序?qū)⑺凶簦☉簦┚幪?hào)，每戶作為一個(gè)初級(jí)單元。根據(jù)每層樣本量，計(jì)算抽樣間隔k（層內(nèi)單元總數(shù)/該層樣本量）。在每個(gè)層內(nèi)，使用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)生成器，抽取一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)r。按固定間隔kr抽取樣本戶，直至抽滿該層樣本量。⑥聯(lián)系調(diào)查：找到抽中的住戶，與戶主或家庭成員聯(lián)系，預(yù)約進(jìn)行調(diào)查時(shí)間。4.說(shuō)明如何運(yùn)用抽樣結(jié)果對(duì)全市市民的總體滿意度進(jìn)行估計(jì)（例如，計(jì)算樣本滿意度比例，給出置信區(qū)間）。答：①計(jì)算樣本指標(biāo)：計(jì)算總體樣本戶的垃圾分類(lèi)滿意度均值（如加權(quán)平均分）、不同維