課時(shí)檢測（三十八）拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.下列命題正確的是()A.拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)B.拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=1C.拋物線C:y2=2px的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線C:y2=2px的圖象關(guān)于y軸對稱2.(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦)長為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為()A.y2=8x B.y2=8xC.x2=8y D.x2=8y3.已知拋物線C的方程為x2=12y,過點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(t,0)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(∞,1)∪(1,+∞)B.?∞,?C.(∞,22)∪(22,+∞)D.(∞,22)∪(2,+∞)4.已知A,B是拋物線x2=2y上的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OA|=|OB|,且△AOB的面積為123,則∠AOB=()A.30° B.45°C.60° D.120°5.已知拋物線E:x2=4y與圓M:x2+(y1)2=16交于A,B兩點(diǎn),圓心M(0,1),點(diǎn)P為劣弧上不同于A,B的一個(gè)動點(diǎn),平行于y軸的直線PN交拋物線于點(diǎn)N,則△PMN的周長的取值范圍是()A.(6,12) B.(8,10)C.(6,10) D.(8,12)6.(多選)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,M為C上一動點(diǎn),E(3,1)為定點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.準(zhǔn)線l的方程是x=2B.|ME|+|MF|的最小值為4C.|ME||MF|的最大值為5D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,且A,C位于x軸同側(cè).若|AC|=2|AF|,則|BF|等于()A.2 B.3 C.4 D.58.已知拋物線y2=2px(p>0),直線x=m與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y1+y2=.

9.(5分)已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交的公共弦長為23,則拋物線的方程為.10.(5分)過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)且傾斜角為3π4的直線被拋物線截得的弦長為.11.(5分)半立方拋物線是一種特殊曲線,其特點(diǎn)為以坐標(biāo)原點(diǎn)為尖點(diǎn),以x軸為對稱軸,并且x軸是半立方拋物線在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線.如圖為移動后的半立方拋物線C:y2=8(x1)3的圖象,若直線l:y=22(x1)與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.12.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知拋物線C:y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1.(1)求拋物線C的方程;(4分)(2)若過點(diǎn)F(1,0)的直線l與曲線C相交于不同的A,B兩點(diǎn),求OA·OB的值.(6分)13.(10分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)(1,1).(1)求拋物線C的方程;(3分)(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線C上異于原點(diǎn)O的不同兩點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,若k1k2=2,求證:直線AB過定點(diǎn).(7分)14.(15分)如圖,已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3.(1)求拋物線E的方程;(6分)(2)已知點(diǎn)G(1,0),延長AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:GF為∠AGB的平分線.(9分)課時(shí)檢測(三十八)1．選C拋物線C：y2＝－4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝1，故A、B錯(cuò)誤；拋物線C：y2＝2px的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯(cuò)誤．故選C.2．選CD設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.3．選B由題意知過A(0，－4)和B(t,0)兩點(diǎn)的直線斜率kAB＝eq\f(4,t)，∴過A，B的直線方程為y＝eq\f(4,t)x－4，與拋物線方程聯(lián)立得x2－eq\f(2,t)x＋2＝0，Δ＝eq\f(4,t2)－8<0，∴t<－eq\f(\r(2),2)或t>eq\f(\r(2),2)，故選B.4．選C如圖，∵|OA|＝|OB|，知A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,2)))(a>0)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)＝12eq\r(3)，解得a＝2eq\r(3)，∴B(2eq\r(3)，6)，∴tanθ＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.故選C.5．選B如圖，可得圓心M(0,1)也是拋物線的焦點(diǎn)，直線PN與準(zhǔn)線垂直，垂足為H，根據(jù)拋物線的定義，可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周長為|NH|＋|NP|＋|MP|＝|PH|＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x2＋(y－1)2＝16，))可得B(2eq\r(3)，3)．∴|PH|的取值范圍為(4,6)，∴△PMN的周長的取值范圍為(8,10)，故選B.6．選BD由拋物線C：y2＝4x，則其焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1，A錯(cuò)誤；如圖所示，其中MA⊥準(zhǔn)線于A，則|MF|＝|MA|，故|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|，當(dāng)且僅當(dāng)E，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，|ME|＋|MF|最小，為E到準(zhǔn)線的距離4，B正確；由||ME|－|MF||≤|EF|＝eq\r(5)?－eq\r(5)≤|ME|－|MF|≤eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)E，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號，其最大值為eq\r(5)，C錯(cuò)誤；設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,M),4)，yM))，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋y\o\al(2,M),8)，\f(yM,2)))，而|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,M),4)－1))2＋y\o\al(2,M))＝eq\f(y\o\al(2,M),4)＋1，故eq\f(|MF|,2)＝eq\f(4＋y\o\al(2,M),8)，所以以線段MF為直徑的圓與y軸相切，D正確．故選BD.7.選C拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程l：x＝－1，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H，不妨設(shè)點(diǎn)A在第四象限，過A和B分別作AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D，E，如圖，由拋物線的定義可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，則∠ACD＝eq\f(π,6).所以直線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，因?yàn)閨HF|＝p＝2，eq\f(|HF|,|AD|)＝eq\f(|CF|,|AC|)＝eq\f(3,2)，所以|AF|＝|AD|＝eq\f(4,3).在Rt△CEB中，∠ECB＝eq\f(π,6)，設(shè)|BE|＝|BF|＝x，則2|BE|＝|BC|，即2x＝eq\f(8,3)＋eq\f(4,3)＋x，解得x＝4，所以|BF|＝4.8．解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.答案：09．解析：設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由對稱性，知x1＝x2，y2＝－y1，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2y1＝2eq\r(3)，所以y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以點(diǎn)(1，eq\r(3))在拋物線y2＝2px上，點(diǎn)(－1，eq\r(3))在拋物線y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.答案：y2＝3x或y2＝－3x10．解析：拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，直線l的傾斜角為eq\f(3π,4)，設(shè)直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，則直線l的方程為y＝－x＋1，代入x2＝4y得y2－6y＋1＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝6，故所求弦長為|MN|＝|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8.答案：811．解析：由題得C與直線l均過定點(diǎn)(1,0)，如圖，直線l：y＝2eq\r(2)(x－1)與C交于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8(x－1)3，,y＝2\r(2)(x－1)，))消去y得8(x－1)3＝8(x－1)2，即8(x－1)2(x－2)＝0，解得x＝1或x＝2.不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則A(1,0)，xB＝2，代入l：y＝2eq\r(2)(x－1)，可得yB＝2eq\r(2)，即B(2，2eq\r(2))，故|AB|＝eq\r((2－1)2＋(2\r(2)－0)2)＝3.答案：312．解：(1)依題意，P(x，y)到拋物線C焦點(diǎn)的距離為x＋eq\f(p,2)，則x＋eq\f(p,2)－x＝1，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4ty－4＝0，顯然Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－4，x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3.13．解：(1)因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p＞0)過點(diǎn)(1,1)，所以1＝2p，解得p＝eq\f(1,2)，所以拋物線C的方程為y2＝x.(2)證明：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(yeq\o\al(2,1)，y1)，(yeq\o\al(2,2)，y2)，所以k1＝eq\f(y1,y\o\al(2,1))＝eq\f(1,y1)，k2＝eq\f(y2,y\o\al(2,2))＝eq\f(1,y2)，所以k1k2＝eq\f(1,y1y2)＝－2，即y1y2＝－eq\f(1,2).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，y1＝－y2，直線AB的方程為x＝eq\f(1,2)；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝kx＋m，))消去x整理，得ky2－y＋m＝0，故y1y2＝eq\f(m,k)＝－eq\f(1,2)，得k＝－2m，則直線AB的方程為y＝－2mx＋m，可化為y＝－2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，所以直線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).綜上，直線AB過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).14．解：(1)由拋物線定義可得|AF|＝2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2.∴拋物線E的方程為y2＝4x.(2)證明：∵點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2eq\r(2).由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2，2eq\r(2))，由A(2,2eq\r(2))