/2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)因式分解一．選擇題（共8小題）1．下列由左邊到右邊的變形，不屬于因式分解的是（）A．3a+3b＝3（a+b） B．a(chǎn)2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a(chǎn)2+4a+4＝（a+2）2 D．a(chǎn)2﹣9＝（a+3）（a﹣3）2．一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）3．對(duì)于任何整數(shù)n（n≠0），多項(xiàng)式（5n+7）2﹣9都能（）A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除4．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．5224805．下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式因式分解的是（）A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+16．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a(chǎn)（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）7．已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+x+a能分解因式成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，其中一個(gè)一次多項(xiàng)式是x﹣2，則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+38．對(duì)任意整數(shù)n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除二．填空題（共11小題）9．已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，則b﹣d＝．10．如圖①，是一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體中挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為b的小正方體（a＞b）（1）如圖①所示的幾何體的體積是．（2）用另一種方法表示圖①的體積：把圖①分成如圖②所示的三塊長(zhǎng)方體，將這三塊長(zhǎng)方體的體積相加后得到的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．比較這兩種方法，可以得出一個(gè)代數(shù)恒等式．11．已知a、b、c、d、e、f都為正數(shù)，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，則a212．觀察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（）2＝．根據(jù)以上規(guī)律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（）2＝[]2．（2）猜想：113+123+133+143+153＝．13．若正整數(shù)m滿足個(gè)位數(shù)字是1，其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1，且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱正整數(shù)m為“言行合一數(shù)”，交換“言行合一數(shù)”m的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)n，并記P(m)=m+n11?m?n111+15，那么最小的四位“言行合一數(shù)”為；若四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y14．已知：a=?1999×1999?19991998×1998+1998，b15．已知a=12019+2018，b=12019+2019，c=12019+2020，則代數(shù)式2（a2+b2+c216．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足24a+b＝abc，則a+b+c的最小值為．17．已知a、b、c為三角形的三邊，且則a2+b2+c2＝ab+bc+ac，則三角形的形狀是．18．若正整數(shù)m滿足個(gè)位數(shù)字是1，其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1，且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱正整數(shù)m為“群鳳和鳴數(shù)”，交換“群鳳和鳴數(shù)”m的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)n，并記P（m）=m+n11?m?n111+15那么最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”為；若四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、19．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則a5+三．解答題（共11小題）20．教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代數(shù)式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+6有最小值是2．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；（2）求代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值；（3）當(dāng)a，b，c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0時(shí)，判斷△ABC的形狀并說明理由．21．已知多項(xiàng)式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t為任意有理數(shù)．（1）問A?B+30的值能否等于4，說明理由；（2）當(dāng)t是整數(shù)時(shí)，判斷A2﹣B2的值能否被8整除．22．先閱讀下列材料，再解決問題．材料：因?yàn)椋▁﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．即x2+x﹣6能被x﹣2整除．所以x﹣2是x2+x﹣6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝2時(shí)，x2+x﹣6＝0．（1）【類比思考】因?yàn)椋▁+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被整除，所以是x2+5x+6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝時(shí)，x2+5x+6＝0；（2）【拓展探究】根據(jù)以上材料，若多項(xiàng)式x2+mx﹣14能被x+2整除，試求m的值．23．給出三個(gè)單項(xiàng)式：a2，b2，2ab．（1）任選兩個(gè)單項(xiàng)式相減，并進(jìn)行因式分解；（2）利用因式分解進(jìn)行計(jì)算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．24．【閱讀材料】某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”成員研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社團(tuán)成員經(jīng)過討論交流后發(fā)現(xiàn)可以將這樣的式子先分組，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決下列問題：【問題解決】（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；【方法延伸】（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．25．七年級(jí)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；【應(yīng)用】（3）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，請(qǐng)通過計(jì)算說明△ABC是什么三角形？26．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請(qǐng)回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）猜測(cè)（a+b+c+d）2＝；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由．27．將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．請(qǐng)仔細(xì)閱讀上述解法后，解決下列問題：（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．28．發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．驗(yàn)證：如，112﹣92＝（+）×（11﹣9）＝×8，所以112﹣92是8的倍數(shù)；探究：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），請(qǐng)說明“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確；延伸：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是的倍數(shù)（填最大整數(shù)值）．29．在學(xué)習(xí)完“因式分解”這章內(nèi)容后，為了開拓學(xué)生的思維，張老師在黑板上寫了下面兩道題目讓學(xué)生解答：因式分解：（1）x2﹣xy+5x﹣5y；（2）36﹣x2﹣16﹣8x．下面是晶晶和小舒的解法：晶晶：x2﹣xy+5x﹣5y＝（x2﹣xy）+（5x﹣5y）（分成兩組）＝x（x﹣y）+5（x﹣y）（直接提公因式）＝（x+5）（x﹣y）小舒：36﹣x2﹣16﹣8x＝62﹣（x2+8x+42）（分成兩組）＝62﹣（x+4）2（直接運(yùn)用公式）＝（6+x+4）（6﹣x﹣4）＝（10+x）（2﹣x）請(qǐng)?jiān)谒齻兊慕夥▎l(fā)下解答下面各題：（1）因式分解：a2﹣25+4b2﹣4ab；（2）若b﹣a＝4，b﹣2c＝﹣3，求b2﹣2bc+2ac﹣ab的值．30．利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性．由圖1，利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由圖2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）已知正數(shù)a、b、c和m、n、l滿足a+m＝b+n＝c+l＝k，試?yán)脠D形面積來說明al+bm+cn＜k2．

2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)因式分解參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．下列由左邊到右邊的變形，不屬于因式分解的是（）A．3a+3b＝3（a+b） B．a(chǎn)2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a(chǎn)2+4a+4＝（a+2）2 D．a(chǎn)2﹣9＝（a+3）（a﹣3）【答案】B【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：3a+3b＝3（a+b）符合因式分解的定義，則A不符合題意，a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1中等號(hào)右邊不是積的形式，則B符合題意，a2+4a+4＝（a+2）2符合因式分解的定義，則C不符合題意，a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）符合因式分解的定義，則D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）【答案】D【分析】分別利用公式法、提取公因式法分解因式得出答案．【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，正確，不合題意；B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），正確，不合題意；C、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正確，不合題意；D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法、提取公因式法分解因式，正確應(yīng)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．3．對(duì)于任何整數(shù)n（n≠0），多項(xiàng)式（5n+7）2﹣9都能（）A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除【答案】D【分析】將多項(xiàng)式（5n+7）2﹣9進(jìn)行因式分解，利用平方差公式展開并整理，分析其因式結(jié)構(gòu)，結(jié)合選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可．【解答】解：（5n+7）2﹣9＝（5n+7﹣3）（5n+7+3）＝（5n+4）（5n+10）＝5（n+2）（5n+4），∴多項(xiàng)式（5n+7）2﹣9都能n+2整除，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是利用平方差公式展開并整理．4．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【答案】B【分析】先提公因式x，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解．【解答】解：∵x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），∵x＝52，y＝28，則各個(gè)因式的值為x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，∴產(chǎn)生的密碼不可能是522824，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．5．下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式因式分解的是（）A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式的表現(xiàn)形式進(jìn)行判斷即可．【解答】解：x2﹣9能運(yùn)用平方差公式因式分解，則A符合題意，x2+16不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則B不符合題意，x2+2x+1不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則C不符合題意，4x2﹣4x+1不能運(yùn)用平方差公式因式分解，則D不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握平方差公式的表現(xiàn)形式是解題的關(guān)鍵．6．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a(chǎn)（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【答案】D【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等號(hào)右邊不是積的形式，則A不符合題意，a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法運(yùn)算，則B不符合題意，x（x+2y）＝x2+2xy是乘法運(yùn)算，則C不符合題意，x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）符合因式分解的定義，則D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．7．已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+x+a能分解因式成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，其中一個(gè)一次多項(xiàng)式是x﹣2，則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3【答案】D【分析】設(shè)另一個(gè)一次多項(xiàng)式是（x+m），然后計(jì)算（x+m）（x﹣2）后得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)另一個(gè)一次多項(xiàng)式是（x+m），則（x+m）（x﹣2）＝x2﹣2x+mx﹣2m，＝x2+（m﹣2）x﹣2m，＝x2+x+a，則m﹣2＝1，解得：m＝3，則另一個(gè)一次多項(xiàng)式是x+3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，熟練掌握因式分解及整式乘法的互逆性是解題的關(guān)鍵．8．對(duì)任意整數(shù)n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】B【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此對(duì)任意整數(shù)n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一個(gè)因數(shù)，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），∴對(duì)任意整數(shù)n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一個(gè)因數(shù)，∴對(duì)任意整數(shù)n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共11小題）9．已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，則b﹣d＝179．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x為正整數(shù)），根據(jù)已知a﹣c＝65，運(yùn)用因式分解的方法得到關(guān)于m，x的方程組，從而求解．【解答】解：∵a5＝b4，c3＝d2，∴可設(shè)a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x為正整數(shù)），∵a﹣c＝65，∴m4﹣x2＝65，即（m2+x）（m2﹣x）＝65，∴m2+x解得m2=33x則m=33x=32（∴b﹣d＝m5﹣x3＝243﹣64＝179．【點(diǎn)評(píng)】此題要注意借助巧妙的設(shè)法，運(yùn)用因式分解的知識(shí)達(dá)到降次的目的求解．10．如圖①，是一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體中挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為b的小正方體（a＞b）（1）如圖①所示的幾何體的體積是a3﹣b3．（2）用另一種方法表示圖①的體積：把圖①分成如圖②所示的三塊長(zhǎng)方體，將這三塊長(zhǎng)方體的體積相加后得到的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．比較這兩種方法，可以得出一個(gè)代數(shù)恒等式（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)正方體體積公式即可求解；（2）根據(jù)正方體和三塊長(zhǎng)方體的體積公式即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得a3﹣b3．故答案為a3﹣b3．（2）根據(jù)題意，得a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝a3﹣a2b+a2b﹣ab2+b2a﹣b3＝a3﹣b3∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故答案為（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方體和長(zhǎng)方體的體積、因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是表示三塊長(zhǎng)方體的體積的和．11．已知a、b、c、d、e、f都為正數(shù)，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，則a2+b【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等式性質(zhì)及分式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果．【解答】解：將每個(gè)等式的左右兩邊相乘，得(abcdef∴abcdef＝1，bcdef?∴a2＝2．同理可得：b2＝4，c2＝8，d2=12，e2=14，∴a2+b2+c2+d2+e2+f2=119故答案為1198【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的基本性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用．12．觀察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152．根據(jù)以上規(guī)律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2＝[12n（n+1）]2（2）猜想：113+123+133+143+153＝11375．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】平方的底數(shù)為立方和底數(shù)的和；（1）平方的底數(shù)為從1到n的和；（2）所求代數(shù)式應(yīng)等于從1到15的立方和減去從1到10的立方和．【解答】解：1+2+3+4+5，152（1）1+2+3+…+n，12n（n（2）原式＝（13+23+…+153）﹣（13+23+33+…+103）[12×15×（15+1）]2﹣[1＝1202﹣552＝（120+55）（120﹣55）＝11375．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道找規(guī)律題，作答過程中注意運(yùn)用已得到的結(jié)論使計(jì)算簡(jiǎn)便．13．若正整數(shù)m滿足個(gè)位數(shù)字是1，其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1，且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱正整數(shù)m為“言行合一數(shù)”，交換“言行合一數(shù)”m的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)n，并記P(m)=m+n11?m?n111+15，那么最小的四位“言行合一數(shù)”為2001；若四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y【答案】2001，12212．【分析】根據(jù)“言行合一數(shù)”的定義和最小數(shù)的性質(zhì)即可確定最小的四位“言行合一數(shù)”；然后根據(jù)“言行合一數(shù)”和交換“言行合一數(shù)”求得k、k′，進(jìn)而求得P（k），然后再根據(jù)“言行合一數(shù)”的定義即可解答．【解答】解：由題意可得，在“言行合一數(shù)”中，百位數(shù)字和十位數(shù)字相等且不為1，則最小的四位“言行合一數(shù)”的千位上只能是2、十位和百位數(shù)為0，個(gè)為位為1，即2001；∵四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均為整數(shù)）與P（k）均為“言行合一數(shù)”，∴交換k的首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)k′，則k′＝1×1000+100y+10y+x，∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，∴P（k）=1001x+220y+1001∵k與P（k）均為“言行合一數(shù)”且20y的個(gè)位數(shù)數(shù)字為0，115的末尾數(shù)字為5，則82x的末尾數(shù)字必為6，即x＝3或x＝8，當(dāng)x＝3時(shí)，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，∵P（k）均為“言行合一數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，∴y＝4，∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；當(dāng)x＝8時(shí)，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，∵k與P（k）均為“言行合一數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，∴y＝0，∴k＝1000x+100y+10y+1＝8771；∴所有滿足條件的k的和為3441+8771＝12212．故答案為：2001，12212．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了“言行合一數(shù)”的定義、數(shù)字的運(yùn)用、整式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解“言行合一數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．14．已知：a=?1999×1999?19991998×1998+1998，b【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將a、b、c的分子分母先分別用提供因式法分解因式，再約分即可將a、b、c化簡(jiǎn)，再代入abc求值即可．【解答】解：∵a=?1999×(1999?1)b=?2000×(2000?1)c=?2001×(2001?1)∴abc＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是因式分解的應(yīng)用，要熟悉提公因式法等因式分解的基本方法，解答此題的關(guān)鍵是找到公因式．15．已知a=12019+2018，b=12019+2019，c=12019+2020，則代數(shù)式2（a2+b2+c2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)完全平方公式分解因式后整體代入即可求解．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用．16．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足24a+b＝abc，則a+b+c的最小值為46+2【答案】46+【分析】根據(jù)一直等式分別表示出a，b，c，求bc，ac的取值范圍，然后將c值代入a+b+c，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，采用配方法求解最小值即可，最后驗(yàn)證是否滿足題意．【解答】解：∵24a+b＝abc，∴a=bbc?24＞0，b=∴bc＞24，ac＞1，∴a+b+c＝a+b+24b+1a=（a?1a）2當(dāng)a=1a∴a＝1，b＝26，此時(shí)，c＝26+∴bc＝24+26＞24，ac＝26∴a+b+c的最小值為46+故答案為：46+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，合理構(gòu)造完全平方式是本題解題的關(guān)鍵．17．已知a、b、c為三角形的三邊，且則a2+b2+c2＝ab+bc+ac，則三角形的形狀是等邊三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2，利用配方法變形，得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷．關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題18．若正整數(shù)m滿足個(gè)位數(shù)字是1，其他數(shù)位上的數(shù)字均不為1，且百位數(shù)字和十位數(shù)字相等，則稱正整數(shù)m為“群鳳和鳴數(shù)”，交換“群鳳和鳴數(shù)”m的首位數(shù)字和個(gè)位得到一個(gè)新數(shù)n，并記P（m）=m+n11?m?n111+15那么最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”為2001；若四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、【答案】2001，11442．【分析】群鳳和鳴數(shù)根據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”的定義和最小數(shù)的性質(zhì)即可確定最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”；然后根據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”和交換“群鳳和鳴數(shù)”求得k、k′，進(jìn)而求得P（k），然后再根據(jù)“群鳳和鳴數(shù)”的定義即可解答．【解答】解：由題意可得，在“群鳳和鳴數(shù)”中，百位數(shù)字和十位數(shù)字相等且不為1，則最小的四位“群鳳和鳴數(shù)”的千位上只能是2、十位和百位數(shù)為0，個(gè)為位為1，即2001；∵四位正整數(shù)k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均為整數(shù)）與P（k）均為“群鳳和鳴數(shù)”，∴交換k的首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)k′，則k′＝1×1000+100y+10y+x，∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，∴P（k）=1001x+220y+1001∵k與P（k）均為“群鳳和鳴數(shù)”且20y的個(gè)位數(shù)字為0，115的末尾數(shù)字為5，則82x的末尾數(shù)字必為6，即x＝3或x＝8，當(dāng)x＝3時(shí)，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，∵P（k）均為“群鳳和鳴數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，∴y＝4，∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；當(dāng)x＝8時(shí)，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，∵k與P（k）均為“群鳳和鳴數(shù)”，即百位和十位上數(shù)字相同，∴y＝0，∴k＝1000x+100y+10y+1＝8001；∴所有滿足條件的k的和為3441+8001＝11442．故答案為：2001，11442．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的應(yīng)用、整式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解“群鳳和鳴數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．19．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則a5+b5【答案】5【分析】利用完全平方公式得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，結(jié)合已知條件得出ab+bc+ca=?12，再由a3+b3+c3＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc及a5+b5+c5＝（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴0＝1+2（ab+bc+ca），∴ab+bc+ca=?1∵a3+b3+c3＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc＝3abc，∴a5+b5+c5＝（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b3）]，＝3abc﹣[a2b2（a+b）+a2c2（a+c）+b2c2（b+c）]＝3abc+（a2b2c+a2c2b+b2c2a）＝3abc+abc（ab+bc+ca）＝3abc?=5∴a5故答案為：52【點(diǎn)評(píng)】本題考查立方和公式，關(guān)鍵到了高中也不一定會(huì)做．三．解答題（共11小題）20．教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代數(shù)式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+6有最小值是2．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；（2）求代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值；（3）當(dāng)a，b，c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0時(shí)，判斷△ABC的形狀并說明理由．【答案】（1）（m+1）（m﹣5）；（2）3；（3）△ABC是等腰三角形，理由見解析．【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先配出完全平方，然后再根據(jù)完全平方的非負(fù)性即可求得最小值；（3）將等式的左邊拆項(xiàng)后重新組合，配出三個(gè)完全平方，再根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0”求解出a、b、c的值，據(jù)此即可解答．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5，＝m2﹣4m+4﹣4﹣5，＝（m﹣2）2﹣9，＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3），＝（m+1）（m﹣5）．故答案為：（m+1）（m﹣5）．（2）∵x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；∴x2﹣6x+12的最小值是3．（3）∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣6c+9＝0，（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，三個(gè)完全平方式子的和為0，所以三個(gè)完全平方式子分別等于0．a(chǎn)﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，得，a＝3，b＝5，c＝3．∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法、用公式法進(jìn)行因式分解、非負(fù)性的應(yīng)用，熟練的掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．21．已知多項(xiàng)式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t為任意有理數(shù)．（1）問A?B+30的值能否等于4，說明理由；（2）當(dāng)t是整數(shù)時(shí)，判斷A2﹣B2的值能否被8整除．【答案】（1）不可能等于4，理由見解析；（2）能被8整除．【分析】（1）因?yàn)锳＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A?B+30＝4t2+5，據(jù)此求出A?B+30＝4t2+5的值不可能等于4；（2）因?yàn)锳＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A2﹣B2＝40t，當(dāng)t是整數(shù)時(shí)，40t能被8整除，據(jù)此證明．【解答】解：（1）A?B+30的值不可能等于4；理由如下：A?B+30＝（2t+5）（2t﹣5）+30＝4t2+5，因?yàn)閠為任意有理數(shù)，所以t2≥0，所以4t2+5≥5，即A?B+30≥5，所以A?B+30的值不可能等于4；（2）A2﹣B2＝（2t+5）2﹣（2t﹣5）2＝40t，當(dāng)t是整數(shù)時(shí)，40t能被8整除，即A2﹣B2一定能被8整除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法公式，解決本題的關(guān)鍵是將A、B代入要求的式子中計(jì)算．22．先閱讀下列材料，再解決問題．材料：因?yàn)?，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．即x2+x﹣6能被x﹣2整除．所以x﹣2是x2+x﹣6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝2時(shí)，x2+x﹣6＝0．（1）【類比思考】因?yàn)椋▁+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除，所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝﹣2或﹣3時(shí)，x2+5x+6＝0；（2）【拓展探究】根據(jù)以上材料，若多項(xiàng)式x2+mx﹣14能被x+2整除，試求m的值．【答案】（1）（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．（2）﹣5．【分析】（1）根據(jù)示例（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被兩個(gè)因式中的任何一個(gè)因式整除，這兩個(gè)因式都是x2+5x+6的因式，且x+2＝0或x+3＝0時(shí)，x2+5x+6＝0；（2）因?yàn)槎囗?xiàng)式x2+mx﹣14能被x+2整除，所以當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+mx﹣14＝0，將x＝﹣2代入式子計(jì)算求出m即可．【解答】解：（1）因?yàn)椋▁+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除，所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝﹣2或﹣3時(shí)，x2+5x+6＝0．故答案為：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．（2）因?yàn)閤2+mx﹣14能被x+2整除，所以當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+mx﹣14＝0，所以（﹣2）2+m×（﹣2）﹣14＝0，解得m＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式的除法、因式分解的意義，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用題中示例的方法解決問題．23．給出三個(gè)單項(xiàng)式：a2，b2，2ab．（1）任選兩個(gè)單項(xiàng)式相減，并進(jìn)行因式分解；（2）利用因式分解進(jìn)行計(jì)算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（答案不唯一）；（2）4．【分析】（1）任選兩個(gè)單項(xiàng)式相減，然后運(yùn)用提公因式法或平方差公式分解因式即可；（2）運(yùn)用完全平方公式分解因式，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，當(dāng)a＝2026，b＝2024時(shí)，原式＝（2026﹣2024）2＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用、單項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用提公因式法和公式法分解因式．24．【閱讀材料】某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”成員研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社團(tuán)成員經(jīng)過討論交流后發(fā)現(xiàn)可以將這樣的式子先分組，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決下列問題：【問題解決】（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；【方法延伸】（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．【答案】（1）x3﹣2x2+2x﹣4＝（x2+2）（x﹣2）；（2）x2﹣6xy+9y2﹣1＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；（3）4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1＝（2a﹣3b﹣1）2．【分析】（1）根據(jù)分組分解法求解即可；（2）根據(jù)分組分解法求解即可；（3）根據(jù)分組分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝x2（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x2+2）（x﹣2）；（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣1＝（x﹣3y）2﹣1；＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；（3）原式＝（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a﹣6b）+1＝（2a﹣3b）2﹣2（2a﹣3b）+1＝（2a﹣3b﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解，掌握分組分解法是關(guān)鍵．25．七年級(jí)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；【應(yīng)用】（3）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，請(qǐng)通過計(jì)算說明△ABC是什么三角形？【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；（3）等腰三角形．【分析】（1）運(yùn)用分組分解法將式子進(jìn)行因式分解；（2）運(yùn)用分組分解法將式子進(jìn)行因式分解；（3）運(yùn)用分組分解法將式子進(jìn)行因式分解，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得a＝b，據(jù)此可得三角形為等腰三角形．【解答】解（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）a2﹣2ab+b2﹣16＝（a2﹣2ab+b2）﹣16＝（a﹣b）2﹣16＝（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；（3）a2﹣b2﹣ac+bc＝（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵△ABC的三邊a，b，c，∴a+b＞c，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴三角形為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用題中示例的分組分解法分解因式．26．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請(qǐng)回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜測(cè)（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積＝各個(gè)矩形的面積之和求解即可；（2）根據(jù)（1）中等式，猜想得出；（3）將a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算；（4）根據(jù)（2）得到等式，再對(duì)等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行因式分解，最后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到三邊的關(guān)系．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，故答案為：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122＝2×48+（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴該三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方式的應(yīng)用和因式分解，尤其是（3）中對(duì)等式進(jìn)行因式分解需要對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是盲點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)加以注意．27．將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．請(qǐng)仔細(xì)閱讀上述解法后，解決下列問題：（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．【答案】（1）（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（2）9．【分析】（1）將式子分成兩組，先運(yùn)用完全平方公式，再運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可；（2）將式子進(jìn)行分組，運(yùn)用提公因式法、平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）1﹣m2﹣n2+2mn＝1﹣（m2+n2﹣2mn）＝1﹣（m﹣n）2＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（2）m2﹣n2+2m﹣2n＝（m2﹣n2）+（2m﹣2n）＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n+2），因?yàn)閙+n＝7，m﹣n＝1，所以原式＝1×（7+2）＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用分組分解法分解因式．28．發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．驗(yàn)證：如，112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝5×8，所以112﹣92是8的倍數(shù)；探究：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其