2025年初中數(shù)學(xué)九年級上冊全冊知識點梳理第一章

特殊的平行四邊形一、平行四邊形1.平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（對邊）（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（對角）（3）平行四邊形的對角線互相平分。（對角線）（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3.平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（對邊）（2）定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（對邊）（3）定理2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（對邊）（4）定理3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（對角）（5）定理4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（對角線）4.兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

注意：平行線間的距離處處相等。5.平行四邊形的面積:

S平行四邊形=底邊長×高=ah二、菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2.菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對邊平行。

（邊）（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等。（對角）（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。（對角線）（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3.菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。（邊）（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（對角線）（4）定理3：對角線垂直且平分的四邊形是菱形。（對角線）4.菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半三、矩形1.矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.矩形的性質(zhì)（1）矩形的對邊平行且相等。（對邊）

（2）矩形的四個角都是直角。（內(nèi)角）（3）矩形的對角線相等且互相平分。（對角線）（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3.矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。（角）（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。（對角線）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.矩形的面積:S矩形=長×寬=ab四、正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2.正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對邊平行。（邊）（2）正方形的四個角都是直角（角）（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（對角線）（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3.正方形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。（2）定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（3）定理2：對角線互相垂直的矩形是正方形。（4）定理3：有一個角是直角的菱形是正方形。（5）定理4：對角線相等的菱形是正方形。（6）定理5：對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：（1）先證它是矩形，再證它是菱形。

（2）先證它是菱形，再證它是矩形。4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，則五、有關(guān)中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接多角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形。第二章

一元二次方程一、一元二次方程1.一元二次方程定義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。二、一元二次方程的解法1.直接開平方法直接開平方法適用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。當(dāng)b≥0時，當(dāng)b＜0時，方程沒有實數(shù)根。2.配方法一般步驟：（1）方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊同時除以a，將二次項系數(shù)化為1。（2）將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。（3）所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方。（4）配方，化成(x+a)2=b。（5）開放，當(dāng)b≥0時，當(dāng)b＜0時，方程沒有實數(shù)根。3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：4.因式分解法一元二次方程的一邊為0，一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。三、補充：一元二次方程根的判別式1.定義：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。2.性質(zhì)：當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根。四、補充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么溫馨提示：初三復(fù)習(xí)——初中數(shù)學(xué)全套知識點第三章

概率的進(jìn)一步認(rèn)識

一、頻率與概率的含義

在試驗中，每個對象出現(xiàn)的頻繁程度不同，我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率，即把刻畫事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為事件A發(fā)生的概率。二、

通過實驗運用穩(wěn)定的頻率來估計某一時間的概率

1.在進(jìn)行試驗的時候，當(dāng)試驗的次數(shù)很大時，某個事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近。2.我們可以通過多次試驗，用一個事件發(fā)生的頻率來估計這一事件發(fā)生的頻率。第四章

圖形的相似一、成比例線段1.定義：（1）線段比：如果選用一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m,n，那么這兩條線段的比就是它們長度的比，即AB：CD=m:n,或者寫成AB/CD=m/n.（2）成比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a/b=c/d，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。

2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b

二、平行線分線段成比例1.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。2.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交。截得的線段成比例。

三、相似多邊形定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。四、探索三角形相似的條件1.兩角分別相等的兩個三角形相似。2.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。3.三邊成比例的兩個三角形相似。4.概念：一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。

五、相似三角形判定定理的證明判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。六、利用相似三角形測高1.利用陽光下的影子2.利用標(biāo)桿3.利用鏡子的反射

七、相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比等于相似比。2.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

八、圖形的位似定義：一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點P、P1所在的直線都經(jīng)過同一個點O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心。實際上，k就是這兩個相似多邊形的相似比。

第五章

投影與視圖一、三視圖

1.主視圖——從正面看到的圖

左視圖——從左面看到的圖

俯視圖——從上面看到的圖。

2.畫物體的三視圖時,要符合如下原則:大小：長對正,高平齊,寬相等。3.虛實:在畫圖時,看的見部分的輪廓通常畫成實線,看不見部分的輪廓線通常畫成虛線。

二、投影

1.物體在光線的照射下,會在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影現(xiàn)象。2.太陽光線可以看成平行光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

3.在同一時刻,物體高度與影子長度成比例。

4.物體的三視圖實際上就是該物體在某一平行光線(垂直于投影面的平行光線)下的平行投影。5.探照燈,手電筒,路燈,和臺燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的光線,像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。6.皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子.它們是中心投影。

三、視點、視線、盲區(qū)的定義以及在生活中的應(yīng)用。

1.眼睛所在的位置稱為視點，2.由視點發(fā)出的光線稱為視線，3.眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。第六章

反比例函數(shù)一、反比例函數(shù)的概念一般地如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。）二、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函