第1頁/共1頁2023北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編平面向量及其應(yīng)用章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線交于點，則下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．2．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）化簡后等于（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）正方形的邊長為1，則（

）A．1 B．3 C． D．5．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）在中，D為BC的中點，則（

）A． B．C． D．7．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知，，則線段中點的坐標為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，是非零向量，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．? B．1 C．? D．210．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┮阎?，，則（

）A．1 B． C．2 D．或211．（2023秋·北京·高一?？计谀┮阎蛄?，，，若，則（

）A． B． C． D．12．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知，是不共線的向量，，，那么，，三點共線的充要條件為（

）．A． B． C． D．二、填空題13．（2023秋·北京·高一?？计谀└鶕?jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若，則__________.14．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則__________.15．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則________．16．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，非零向量滿足，請寫出的一個坐標________．三、解答題17．（2023秋·北京·高一校考期末）如圖所示，在中，點是邊的中點，點是線段靠近的三等分點.過點的直線與邊分別交于點.設(shè)，其中.(1)試用與表示，寫出過程；(2)求證：為定值，并求此定值.18．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┰谥校瑸檫吷系狞c，且滿足.(1)若為邊長為2的等邊三角形，，求；(2)若，求；(3)若，求的最大值；(4)若將“為邊上的點”改為“在的內(nèi)部（包含邊界）”，其它條件同（1），則是否為定值？若是，則寫出該定值；若不是，則寫出取值范圍.（不需要說明理由）19．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，設(shè)．試用求表示及．20．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，.設(shè).(1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點，且.求證：三點共線.21．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，，．設(shè)，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法證明：A，F(xiàn)，C三點共線．22．（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，不共線，且，，．(1)將用，表示；(2)若，求的值；(3)若，求證：A，B，C三點共線．

參考答案1．D【分析】由矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合各線段對應(yīng)向量的關(guān)系判斷各項的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯誤；不相等，即，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D2．B【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算即可求解.【詳解】因為，故選：.3．B【分析】對于前者是否能推出后者，我們舉出反例即可，對于后者是否推前者，由后者可得共線且同方向，則，即后者能推出前者，最后即可判斷.【詳解】若，則，但此時不存在，使得，故不存在，使得，故前者無法推出后者，若存在，使得，則共線且同方向，此時，故后者可以推出前者，故“”是“存在,使得的必要不充分條件”，故選：B.4．D【分析】利用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合正方形中垂直關(guān)系及邊長即可求解.【詳解】在正方形中，如圖所示,，故選：D.5．B【分析】根據(jù)向量運算得.【詳解】由圖知，故選：B.6．B【分析】根據(jù)向量加減法運算法則運算求解即可.【詳解】解：因為中，D為BC的中點,所以，，故選：B7．D【分析】通過線段的點和點坐標，由中點坐標公式即可求出線段中點的坐標.【詳解】在線段中，，∴線段中點的坐標為.故選：D.8．A【分析】利用向量平行的坐標表示判斷即可.【詳解】若，則，，,則；若，則，解得，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9．A【分析】首先通過條件求得，然后根據(jù)數(shù)量積的運算公式求出，進而求解在方向上投影.【詳解】平面向量是非零向量，，，則.設(shè)與夾角為，則，在方向上投影為.故選：A10．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可求出.【詳解】因為，所以，.故選：C.11．B【分析】首先求出的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】解：因為，，，所以，又，所以，解得.故選：B12．B【分析】若、、三點共線，則向量與平行，根據(jù)題中等式結(jié)合向量平行的充要條件列式，即可找出使、、三點共線的充要條件．【詳解】解：若、、三點共線，則向量即存在實數(shù)，使得，，，可得，消去得即、、三點共線的充要條件為故選：B．13．【分析】建立平面直角坐標系，標出各個點的坐標，利用平面向量的坐標運算即可得解.【詳解】如圖，以A為原點，分別以為軸建立平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，正方形邊長為可知，，，則，，即又，即，即，化簡得故答案為：14．【分析】由圖知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求得，即可得結(jié)果.【詳解】由圖知：，則，又，則.故答案為：15．【分析】根據(jù)向量坐標運算即得.【詳解】因為，，所以.故答案為：.16．(答案不唯一)【分析】設(shè)出向量的坐標，根據(jù)題意可得，進而即得.【詳解】設(shè)向量，，由，可得，，又，所以，令，可得，所以向量的坐標可為.故答案為：.17．(1)，(2)【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；（2）由平面向量基本定理、向量的三點共線可得答案.【詳解】（1）因為點是邊的中點，所以，；（2）因為，所以，因為，所以，因為三點共線，所以，可得為定值.18．(1)(2)(3)(4)不是定值，理由見解析【分析】（1）分別是的中點，的夾角為，，，計算即可；（2）若，則距離是近的三等分點，是距離近的三等分點，則由可得，從而求出；（3），，，且，由，，令，由函數(shù)的單調(diào)性定義可得在上單調(diào)遞增，可求出的最大值；（4）以的中點為原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，，設(shè)，，可得點在以為圓心，半徑為1的三角形內(nèi)部的圓弧上，包括與三角形的邊上的兩個交點，點在三角形內(nèi)部線段的垂直平分線上，包括點和的中點，取點、點特殊位置可得答案.【詳解】（1）若為邊長為2的等邊三角形，，則分別是的中點，的夾角為，，，所以；（2）若，則距離是近的三等分點，是距離近的三等分點，則，所以，；（3）因為，所以，，，因為，所以，且，所以，，，令，設(shè)，所以，因為，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時有最大值為；（4）以的中點為原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立如圖所示平面直角坐標系，則，設(shè)，，因為，所以，，化簡得，，所以點在以為圓心，半徑為1的三角形內(nèi)部的圓弧上，包括與三角形的邊上的兩個交點，并且都為所在邊的中點，點在三角形內(nèi)部線段的垂直平分線上，包括點和的中點，當(dāng)點為中點H，與點重合時，，，所以，而當(dāng)時，由（1），故不是定值.，所以向量與的夾角為，設(shè)，則，，則，所以，而，可得，所以.19．【分析】結(jié)合圖形關(guān)系，根據(jù)平面向量的線性運算即可求解.【詳解】在平行四邊形中,,所以進而得20．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由圖中線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用表示出，即可得結(jié)果；（2）用表示，得到，根據(jù)向量共線的結(jié)論即證結(jié)論.【詳解】（1）由題圖，，.（2）由，又，所以，故三點共線.21．(1)，；(2)答案見詳解.【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得，由結(jié)合已知可得；（2）根據(jù)可推出，即.再根據(jù)有公共點，可證得三點共線.【詳解】（1）解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得..（2）證明：由（1）知，，所以，所以，所以，，