2025年統(tǒng)計學期末考試：抽樣調查方法與主成分分析試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。下列每小題備選答案中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內。1.從一個包含N個元素的總體中，每個元素被抽中的概率都相等，且每次抽取后不放回，這種抽樣方式稱為（）。A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣2.在抽樣調查中，由抽樣引起的樣本指標與總體指標之間的差異稱為（）。A.抽樣框誤差B.無回答誤差C.抽樣誤差D.登記誤差3.對于一個給定的樣本相關系數(shù)矩陣，其特征值的個數(shù)等于（）。A.樣本量B.變量個數(shù)C.相關系數(shù)的個數(shù)D.14.在主成分分析中，若要確定提取多少個主成分，通常依據(jù)的標準之一是使后續(xù)提取的主成分的方差貢獻率（）。A.大于某個預設閾值B.小于某個預設閾值C.累計方差貢獻率達到90%以上D.逐漸減小5.若對原始數(shù)據(jù)進行標準化處理后計算得到的相關系數(shù)矩陣為單位矩陣，則原始變量之間存在（）。A.完全相關B.完全不相關C.可能存在相關關系D.不確定關系二、填空題：本大題共5空，每空2分，共10分。請將答案填寫在答題紙上對應的位置。6.抽樣調查中，影響抽樣誤差大小的因素主要有______、______和樣本容量的大小。7.在分層抽樣中，理想的分層標準是層內方差盡可能______，層間方差盡可能______。8.主成分分析的首要步驟是計算原始變量的______矩陣。9.KMO統(tǒng)計量用于衡量變量間偏相關程度以及樣本數(shù)據(jù)是否適合進行主成分分析，其取值范圍是______。10.若一個變量在主成分分析中的載荷矩陣值為0.8，說明該變量與對應的主成分之間的______程度較高。三、簡答題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。請將答案寫在答題紙上。11.簡述分層抽樣的優(yōu)缺點。12.解釋什么是主成分，并說明主成分分析的主要目的。13.在進行主成分分析時，計算得到特征值λ1=4.5,λ2=1.2,λ3=0.3(假設有三個主成分)，請計算第一個主成分的方差貢獻率。四、計算題：本大題共2小題，每小題10分，共20分。請將計算過程和結果寫在答題紙上。14.某城市共有100萬戶家庭，欲采用簡單隨機抽樣方法抽取1000戶進行調查，試計算在不考慮無回答的情況下，按不重置抽樣方法所需的抽樣間隔k。15.對某研究涉及的兩個變量X和Y進行標準化處理，得到樣本量為n=6的數(shù)據(jù)，計算得到樣本相關系數(shù)r=0.6。假設X和Y的標準化后的樣本方差均為1，請計算第一主成分的方差貢獻率。五、綜合應用題：本大題共1小題，共20分。請將答案寫在答題紙上。16.假設某公司希望對員工的工作績效進行綜合評價，收集了員工在三個方面（創(chuàng)新能力A、團隊協(xié)作B、工作效率C）的得分數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)已省略，假設已對數(shù)據(jù)進行標準化處理，并計算得到相關系數(shù)矩陣如下：rAB=0.7,rAC=0.4,rBC=0.5）。請運用主成分分析方法，說明如何構建一個綜合績效得分的主成分，并解釋該主成分的主要含義。試卷答案一、選擇題1.A*解析：簡單隨機抽樣定義即為從總體N個元素中，每次抽取一個元素，且每個元素被抽中的概率相等，且不放回。2.C*解析：抽樣誤差是抽樣調查中由抽樣引起的樣本指標與總體指標之間的隨機誤差。3.B*解析：樣本相關系數(shù)矩陣是一個方陣，其特征值的個數(shù)等于變量（特征）的個數(shù)。4.B*解析：確定主成分個數(shù)的一個常用方法是看后續(xù)主成分的方差貢獻率是否小于某個預設閾值（如0.1或0.05），若小于則停止提取。5.C*解析：標準化后的相關系數(shù)矩陣為單位矩陣，表示原始變量之間兩兩不相關，但不代表原始變量之間一定不存在其他類型的關系（如非線性關系）。二、填空題6.抽樣方法；總體方差*解析：抽樣誤差的大小受抽樣方法（概率抽樣誤差通常小于非概率抽樣）、總體分布離散程度（總體方差）以及樣本量的影響。7.??；大*解析：分層抽樣的目的是通過劃分層，使得層內同質性增強（方差?。瑢娱g差異性增大（方差大），從而提高抽樣效率和精度。8.相關系數(shù)*解析：主成分分析是基于原始變量之間的相關關系進行的，計算主成分需要先得到原始變量的相關系數(shù)矩陣。9.0到1之間*解析：KMO值的范圍在0到1之間，越接近1表示變量間的偏相關性越強，數(shù)據(jù)越適合進行主成分分析。10.線性相關*解析：載荷矩陣的絕對值表示原始變量與主成分之間的線性相關程度，絕對值越大，相關性越強。三、簡答題11.答：優(yōu)點：①可以保證樣本的代表性，使樣本結構更接近總體結構；②可以縮小抽樣誤差，提高抽樣效率；③便于分片調查或進行數(shù)據(jù)處理。缺點：①需要預先掌握總體單元的分層信息，且層內同質性要高，層間差異性要大，這在實際中有時難以滿足；②分層抽樣的實施相對復雜。12.答：主成分是指通過線性變換將原始的多個相關變量組合成少數(shù)幾個不相關的綜合變量（主成分）的過程，這些綜合變量能最大限度地保留原始變量的信息。主要目的是：①降維，將多個相關變量簡化為少數(shù)幾個主成分，減少數(shù)據(jù)分析的復雜性；②消除多重共線性，為后續(xù)的多變量統(tǒng)計分析（如回歸分析）創(chuàng)造條件；③數(shù)據(jù)可視化，利用主成分在低維空間中進行展示。13.答：第一個主成分的方差貢獻率=第一個主成分的方差/原始變量總方差=λ1/(λ1+λ2+λ3)=4.5/(4.5+1.2+0.3)=4.5/6.0=0.75。即第一個主成分的方差貢獻率為75%。四、計算題14.解：根據(jù)不重置抽樣公式，抽樣間隔k=總體單位數(shù)N/樣本單位數(shù)n=100萬/1000=1000。答：所需的抽樣間隔為1000。15.解：設X和Y的標準化樣本協(xié)方差矩陣為Σ，則Σ=1*1*0.6/(n-1)*1*1*0.6/(n-1)=0.6/(n-1)*I(其中I為單位矩陣)。假設n=6，則Σ=0.6/5*I=0.12*I。計算相關系數(shù)矩陣的特征值：設特征值為λ，則(Σ-λI)=0.12*I-λI=0。即(0.12-λ)I=0。解得λ=0.12。由于相關系數(shù)矩陣是實對稱矩陣，其特征值都是實數(shù)。通常在主成分分析中，我們計算的是協(xié)方差矩陣的特征值，協(xié)方差矩陣的特征值λ1,λ2,λ3分別為Var(Z1),Var(Z2),Var(Z3)。這里題目直接給出相關系數(shù)矩陣的特征值為0.12（假設只有一個非零特征值，或者理解為所有變量標準化后協(xié)方差相同，其對應的特征值為標準化后的方差乘以樣本量/（樣本量-1），這里簡化處理為0.12）。第一主成分的方差貢獻率=第一主成分的特征值/(所有主成分特征值之和)=0.12/0.12=1。答：第一主成分的方差貢獻率為1。五、綜合應用題答：首先計算相關系數(shù)矩陣的特征值和特征向量（這里假設已完成計算，得到特征值λ1,λ2,λ3，及對應的單位特征向量v1,v2,v3）。假設計算結果為：λ1>λ2>λ3>0，特征向量分別為v1,v2,v3。第一主成分P1的表達式為：P1=v1'X=a11X+a12Y+a13Z（其中aij是v1的分量）。第二主成分P2的表達式為：P2=v2'X=b11X+b12Y+b13Z（其中bij是v2的分量）。...（依此類推）主成分的方差貢獻率依次為：Var(P1)=λ1,Var(P2)=λ2,...累計方差貢獻率為：CumVar(P1)=λ1/(λ1+λ2+λ3),CumVar(P1,P2)=(λ1+λ2)/(λ1+λ2+λ3),...選擇主成分個數(shù)：根據(jù)累計方差貢獻率，選擇一個能解釋大部分總方差（如85%或90%）的最小主成分個數(shù)k。例如，如果累計到P1和P2時，累計方差貢獻率已達到90%以上，則選擇P1和P2。構建綜合績效得分：若選擇P1作為綜合績效得分的主成分，則綜合績效得分即為P1=a11X+a12Y+a13Z。解釋主成分含義：主成分P1的系數(shù)（a11,a12,a13）反映了原始變量X,Y,Z在P1上的相